Estatística - Poli - Aulas 01 e 02 Estatística Descritiva

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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Aulas 01 e 02
Estatística Descritiva
Profs.
Fernando Tobal Berssaneti
André Leme Fleury
Renato de Oliveira Moraes
Leandro Alves Patah
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Origens da estatística
Historicamente, o desenvolvimento da estatística 
relaciona-se com dois fenômenos:
1. A necessidade de governos coletarem dados para
conhecerem seus habitantes;
2. O desenvolvimento da teoria do cálculo das 
probabilidades.
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Origem da aplicação:
Recenseamento – realizado pelos 
governos para conhecer seus 
habitantes, sua condição 
socioeconômica, sua cultura, religião, 
etc. 
Origens da estatística
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Antiguidade: registro do número de 
habitantes, de nascimentos, de óbitos, 
estimação das riquezas, cobrança de 
impostos e realização de outras 
pesquisas quantitativas.
Origens da estatística
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Idade média: coleta de 
informações com 
finalidades tributárias 
ou bélicas.
Origens da estatística
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Atualmente: informações 
numéricas são necessárias 
para cidadãos e organizações 
de qualquer natureza, e de 
qualquer parte do mundo 
globalizado.
Origens da estatística
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Aplicações: índices 
econômicos, pesquisas de 
intenção de votos, gráficos e 
médias publicados na mídia .... 
Origens da estatística
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A estatística é fundamental na 
análise de dados provenientes 
de processos em que existe 
variabilidade.
Origens da estatística
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Estatísticas demográficas: 
dados numéricos sobre residentes, 
nascimentos, falecimentos, matrimônios, 
etc. 
Estatísticas demográficas e econômicas
Estatísticas: no plural indica qualquer coleção de 
dados numéricos, reunidos com a finalidade de 
fornecer informações acerca de uma atividade 
qualquer.
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Estatísticas econômicas: dados numéricos
relacionados com o desempenho do 
governo, das empresas e dos demais 
agentes ligados aos vários setores de 
atividade econômica. 
Estatísticas demográficas e econômicas
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Importância da estatística
Para resolvermos problemas precisamos de 
informações. 
 Que tipo de informações são 
necessárias? 
 Que quantidade de 
informações é suficiente? 
 Como processar estas 
informações?
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A estatística associa dados aos 
problemas, gerando informações 
relevantes para o estabelecimento 
de conclusões capazes de viabilizar 
a tomada de decisões.
Importância da estatística
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Áreas da estatística
Probabilidade - consiste no estudo da aleatoriedade e da 
incerteza. Utiliza métodos de quantificação das chances 
associadas aos diversos resultados.
Exemplo: qual a probabilidade de chover amanhã?
Estatística descritiva e amostragem - conceitos e métodos 
para coleta, organização, apresentação, análise e síntese de 
dados obtidos em uma população ou amostra.
Exemplo: como determinar o perfil dos alunos em uma sala de 
aula?
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Exemplo: qual o tempo de 
formatura esperado para um aluno 
que está ingressando este ano na 
escola?
Estatística inferencial - processo de estimar 
informações sobre uma população a partir de 
resultados observados numa amostra.
Áreas da estatística
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População: inclui todos os 
elementos que serão estudados.
Exemplo: em 2015 a população 
brasileira é de aproximadamente 200 
milhões de pessoas.
Termos da estatística
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Amostra: inclui os elementos selecionados da 
população que serão analisados para 
estabelecer conclusões. 
Exemplo: 2.000 pessoas consultadas 
para compreender a intenção de voto 
da população.
Termos da estatística
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Parâmetro: medida numérica que descreve uma 
característica de uma população.
Exemplo: utilizamos a 
quantidade de anos vividos para 
estimar a expectativa de vida de 
uma população.
Termos da estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Estatística: medida numérica que descreve uma 
característica de uma população.
Exemplo: a expectativa de vida 
no brasil em 2015 é de 75 anos.
Termos da estatística
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Dados discretos: os resultados possíveis são 
finitos e podem ser associados a pontos.
Exemplo: possibilidades de 
resultados de um dado.
Termos da estatística
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Dados contínuos: os resultados possíveis são 
infinitos e só podem ser associados a escalas 
contínuas.
Exemplo: altura de uma pessoa.
Termos da estatística
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 Conceitos e métodos para coleta, organização, apresentação, análise e 
interpretação de dados obtidos em uma população ou amostra.
 Usualmente apresenta dados consolidados e informações referentes 
ao fenômeno utilizando gráficos e tabelas.
 Também tem por objetivo calcular medidas que permitam descrever 
este fenômeno.
Estatística descritiva
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Sua elaboração envolve a 
sintetização, em um único número, 
dos aumentos dos produtos de uma 
cesta básica. 
Exemplo: INPC (índice nacional de preços ao 
consumidor)
Estatística descritiva
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Apresenta dados sobre educação, saúde, 
transporte, economia e cultura no brasil.
Exemplo: anuário estatístico 
brasileiro elaborado pelo IBGE.
Estatística descritiva
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Apresenta, em várias tabelas e gráficos, os 
mais diversos dados sobre turismo interno 
e dados sobre entrada de turistas 
estrangeiros no brasil.
Exemplo: anuário estatístico 
EMBRATUR
Estatística descritiva
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Processo de estimar informações sobreuma população a 
partir de resultados observados numa amostra.
Estatística inferencial (ou indutiva)
1. Seleção da amostra
2. Determinação do parâmetro de interesse
3. Estabelecimento das hipóteses
4. Seleção das estatísticas de teste
5. Obtenção dos valores
6. Análise dos resultados obtidos
7. Tomada de decisão
A estatística indutiva realiza a análise e interpretação dos dados tendo em vista a 
tomada de decisões relacionadas com uma determinada população de interesse. 
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Exemplo: intenção de voto
Estatística inferencial (ou indutiva)
Um determinado jornal está interessado em saber qual o número de 
eleitores que pretende votar em cada candidato no segundo turno.
Exemplo: altura dos alunos
A secretaria de educação deseja estimar a altura média dos alunos do 6o ano no 
estado de São Paulo. 
Para isto seleciona algumas escolas e, nestas escolas, mede a altura média de 
todos os alunos do 6o ano. 
Exemplo: análise financeira
Os analistas financeiros coletam e analisam dados sobre a economia buscando 
identificar tendências sobre produção e consumo.
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Estatística Descritiva
• A Estatística Descritiva tem por finalidade o tratamento matemático de 
determinadas características de interesse, as quais podem ser qualitativas 
ou quantitativas, dentro de um conjunto de interesse como, por exemplo, 
uma população.
• Funções:
– Organização de Dados;
– Representação Gráfica;
– Medidas Estatísticas.
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Caracterização de variável
• Variável - é a característica dos elementos da amostra 
que nos interessa averiguar estatisticamente.
• As variáveis de interesse podem ser classificadas em:
A. Qualitativas => quando resultar de uma classificação por 
tipos ou atributos.
B. Quantitativas => quando seus valores forem expressos em 
números. Podem ser subdivididas:
i. Discretas - assumem apenas valores pertencentes a um conjunto 
enumerável. São obtidos mediante alguma forma de contagem;
ii. Contínuas - são aquelas, teoricamente, que podem assumir qualquer 
valor em um certo intervalo de variação. Resultam, em geral, de uma 
medição, sendo frequentemente expressos em alguma unidade.
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• Características Qualitativas (classificação por tipos 
ou atributos):
– População: moradores de uma cidade
• Variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes, azuis, etc.)
– População: peças produzidas por uma máquina
• Variável: qualidade (conforme ou não conforme)
Estatística Descritiva
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• Características Quantitativas:
– População: casais residentes em uma cidade
• Variável: número de filhos (discreta)
– População: pessoas residentes em uma cidade
• Variável: altura (continua)
• Variável: peso (continua)
Estatística Descritiva
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Preto
Castanho
Azul
Verde
C
or
 d
os
 O
lh
os
QTDE
Representação Gráfica
Gráfico de Barras - Sala de Aula (n=40 alunos)
Estatística Descritiva
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Cor dos Olhos dos Alunos de uma Sala de Aula (n=40 alunos)
30%
39%
13%
18%
Preto Castanho Azul Verde
Representação Gráfica
Gráfico de Pizza
Estatística Descritiva
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
0
20
40
60
80
100
10
01
 - 
10
10
10
11
 - 
10
20
10
21
 - 
10
30
10
31
 - 
10
40
10
41
 - 
10
50
10
51
 - 
10
60
10
61
 - 
10
70
10
71
 - 
10
80
Representação Gráfica
Histograma da distribuição de frequência da medida externa do diâmetro de uma 
engrenagem
Estatística Descritiva
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0
1000
2000
3000
4000
5000
Serviço Medido Serviços não
Realizados
Promoções Serviços não
Contratados
Reclamações
Q
TD
E
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Representação Gráfica 
Diagrama de Pareto
Estatística Descritiva
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
 Tempo total de máquina parada no mês: 72 horas
 Categorias de classificação:
 manutenção corretiva
 troca de ferramentas
 carga e descarga
 manutenção preventiva
 testes de engenharia
 falta de matéria-prima
 falta de programa
 falta de energia elétrica
Diagrama de Pareto - Exemplo
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CATEGORIAS Nº de Ocorrências
manutenção corretiva 31
troca de ferramentas 18
carga e descarga 9
manutenção preventiva 8
testes de engenharia 1
falta de matéria-prima 2
falta de programa 2
falta de energia elétrica 1
TOTAL 72
Diagrama de Pareto - Exemplo
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
CATEGORIAS
Frequência Absoluta (Nº 
de Ocorrências)
Frequência Relativa 
(%)
Frequência 
Acumulada (%)
Manutenção Corretiva 31 43,0 43,0
Troca de Ferramentas 18 25,0 68,0
Carga e Descarga 9 12,5 80,5
Manutenção Preventiva 8 11,1 91,6
Outros 6 8,4 100
TOTAL 72 100
Diagrama de Pareto - Exemplo
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Frequência
Absoluta
Frequência
Acumulada
M
a
n
u
te
n
çã
o
M
a
n
u
te
n
çã
o
C
o
rr
e
ti
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C
o
rr
e
ti
va
T
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ca
 d
e
T
ro
ca
 d
e
F
e
rr
a
m
e
n
ta
s
F
e
rr
a
m
e
n
ta
s
C
a
rg
a
 e
 
C
a
rg
a
 e
 
D
e
sc
a
rg
a
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e
sc
a
rg
a
M
a
n
u
te
n
çã
o
M
a
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u
te
n
çã
o
P
re
ve
n
ti
va
P
re
ve
n
ti
va
O
u
tr
o
s
O
u
tr
o
s
Diagrama de Pareto - Exemplo
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Histograma – Elementos Constitutivos
 Classe: cada barra
 Limites de classe: são os valores máximo 
e mínimo de cada classe
 Amplitude: intervalo entre os limites de 
uma classe
 Frequência: número de observações 
pertencentes a uma dada classe 
AMPLITUDE
FREQUÊNCIA
CLASSE
39
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Histograma – Fases de preparação
 Definir o número de Classes (K):
 Ou: 
NK 
Número de dados Número de Classes (K)
Menos de 50 5 – 7
50 – 100 6 – 10
100 – 250 7 – 12
Mais de 250 10 – 20
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Histograma – Fases de preparação
 Definir a amplitude das Classes (H):
 Onde: R = (Valor Máximo – Valor Mínimo)
 Definir Limites de Classes: 
K
R
H 
Classe Limite Inferior Limite Superior
1ª Classe Valor mínimo
Valor mínimo + Amplitude da 
classe (H)
Demais 
ClassesLimite superior da classes 
anterior
Valor mínimo + Amplitude da 
classe (H)
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Exemplo - desempenho de 50 
concessionárias na Região Sudeste
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Coleta de dados: número de vendas em 
fevereiro em cada montadora
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
61 65 43 53 55 51 58 55 59 56
52 53 62 49 68 51 50 67 62 64
53 56 48 50 61 44 64 53 54 55
48 54 57 40 54 71 57 53 46 48
55 46 57 54 48 63 49 55 52 51
Tabela de desempenho das concessionárias
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
43,4
7
31
7
4071



k
R
h
5h
AMPLITUDE DAS CLASSES
Usaremos:
750k
TABELA DE FREQUÊNCIAS
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
k x h = 35
Ponto inicial da tabela Po = 40
Maior que a amplitude da amostra R=31
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Limites
Aparentes
40 – 45
45 – 50
50 – 55
55 – 60
60 – 65
65 – 70
70 – 75
Limites Reais
39,5 – 44,5
44,5 – 49,5
49,5 – 54,5
54,5 – 59,5
59,5 – 64,5
64,5 – 69,5
69,5 – 74,5
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Limites
Aparentes
Limites
Reais
Frequência
fi 
Freq.
Relativa
40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06
45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16
50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32
55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24
60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14
65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06
70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02
50 1
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• Medidas de posição – localizam a distribuição dos dados brutos (ou das 
frequências) sobre o eixo de variação da variável em questão.
– Média Aritmética;
– Mediana;
– Moda;
– Quartil.
• Medidas de dispersão – indicam o quanto os dados se apresentam dispersos 
em torno da região central.
– Amplitude;
– Variância;
– Desvio Padrão;
– Coeficiente de Variação.
Distribuições de dados (ou frequências dados)
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
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Distribuições de dados - notação
População Amostra
Média  𝑋
Variância 2 𝑆𝑥
2
Desvio Padrão  𝑆𝑥
Proporção P p’
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• Amostra: 
Média (aritmética) - valor esperado, expectância, 
esperança matemática ( ou E[x])
• Tabela de frequência: 
 𝑋 =
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑛
 𝑋 =
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖∗𝑓𝑖
𝑛
= 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖 ∗ 𝑝𝑖
′
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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Propriedades da Média
K é uma constante;
X e Y são variáveis aleatórias independentes
i. E(k) = k
ii. E(k * X) = k * E(X)
iii. E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 
iv. E(X ± k) = E(X) ± k 
v. E(X * Y) = E(X) * E(Y) 
Resumindo:
• Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante, a média 
do conjunto fica multiplicada por essa constante. 
• Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores da variável, 
a média do conjunto fica acrescida ou subtraída dessa constante.
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Exemplo
• Suponha que certo produto tenha peso 
médio de 100g e que 10 deles sejam 
embalados em uma caixa com peso 
médio de 200g. Determine o peso médio 
da embalagem completa.
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KggcompletoE
embalagemEprodutoEcompletoE
embalagemEprodutoEcompletoE
embalagemprodutoEcompletoE
2,1200.120010010][
][][10][
][]10[][
]10[][




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• Li = limite inferior da classe que contém a mediana;
• n = números de elementos do conjunto da dados;
• Fa = soma das frequências das classes anteriores que contém a mediana;
• fmd = frequência da classe que contém a mediana;
• hmd= amplitude da classe que contém a mediana.
Mediana - caracteriza o centro de uma distribuição 
pertencente a um conjunto de dados.
𝑚𝑑 = 𝐿𝑖 +
𝑛
2
− 𝐹𝑎
𝑓𝑚𝑑
ℎ𝑚𝑑
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Moda - definida como o valor (ou valores) de 
máxima frequência. 
𝑚𝑜 = 𝐿𝑖 +
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
ℎ
• Li = limite inferior da classe modal;
• d1 = diferença entre a classe modal e a da classe imediatamente anterior;
• d2 = diferença entre a classe modal e a da classe imediatamente seguinte;
• h = amplitude das classes.
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Quartil
• São valores dados a partir do conjunto de 
observações ordenado em ordem crescente, que 
dividem a distribuição em quatro partes iguais.
 Q1 é o número que deixa 25% das observações abaixo;
 Q2 é a mediana, deixa 50% das observações abaixo e 50% 
das observações acima.
 Q3 é o número que deixa 75% das observações abaixo.
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Exercício
Limites
Aparentes
Limites
Reais
Frequência
fi 
Freq.
Relativa
40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06
45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16
50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32
55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24
60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14
65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06
70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02
50 1
Dada a distribuição de frequência acima, calcular a 
Média, Mediana, Moda e os 3 Quartis.
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
• A informação fornecida pelas Medidas de Posição em geral necessitam 
de ser complementas pelas Medidas de Dispersão.
• As Medidas de Dispersão indicam o quanto os dados se apresentam 
dispersos em torno da região central, caracterizando o grau de 
variação existente em um conjunto de valores.
Medidas de dispersão
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
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Amplitude
• Amostra: 
 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛
Variância - média dos quadrados da distância em relação 
à média
• Amostra: 
𝑆𝑥
2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋
2
𝑛 − 1
• Tabela de frequência: 
𝑆𝑥
2 =
𝑛 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
2 ∗ 𝑓𝑖 − 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖
2
𝑛 𝑛 − 1
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Propriedades da Variância
K é uma constante;
X e Y são variáveis aleatórias independentes
i. Var(k) = 0
ii. Var(k * X) = k2 * Var(X)
iii. Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) 
iv. Var(X ± k) = Var(X)
Resumindo:
• Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a 
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. 
• Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma 
variável, a variância não se altera.
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Exemplo
Uma embalagem é composta de 1 caixa, 
5 copos e 5 garfos. Sabe-se que:
x(peso) E[x] Var[x]
Copo 10g 1g2
Garfo 5g 4g2
Caixa 12g 9g2
Determine a média e a variânciado peso 
da embalagem completa
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Embalagem = Caixa + Copo1 + Copo2 + Copo3 + 
Copo4 + Copo5 + Garfo1 + Garfo2 + Garfo3 + 
Garfo4 + Garfo5
E[Emb] = E[Caixa] + 5 E[Copo] + 5 E[Grafo]
E[Emb] = 12 + 5 x 10 + 5 x 5 = 12 + 50 +25 = 87
Var[Emb] = Var[Caixa] + 5 Var[Copo] + 5 Var[Grafo]
Var[Emb] = 9 + 5 x 1 + 5 x 4 = 9 + 5 + 20 = 34
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Desvio Padrão - a raiz quadrada positiva da 
variância.
𝑆𝑥 = 𝑆𝑥
2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑛 − 1
• Amostra: 
• O desvio padrão se expressa na mesma unidade da variável. 
Dessa forma, além de ser de maior interesse que a variância 
nas aplicações práticas, também é mais realístico para efeito 
de comparação de dispersões.
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Coeficiente de variação - quociente entre o desvio 
padrão e a média, sendo frequentemente expresso 
em porcentagem.
 𝐶𝑉(𝑋) = 𝐶𝑉𝑥 =
𝑆𝑥
 𝑋
• Amostra: 
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Exercício
Limites
Aparentes
Limites
Reais
Frequência
fi 
Freq.
Relativa
40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06
45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16
50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32
55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24
60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14
65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06
70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02
50 1
Dada a distribuição de frequência acima, calcular a Variância e o 
Desvio Padrão.
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 Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a distribuição dos 
Dados(ou frequências) se afasta da condição de simetria.
 Distribuições alongadas a direita são ditas Positivamente Assimétricas.
 Distribuições alongadas a esquerda são ditas Negativamente 
Assimétricas.
Medidas de Assimetria
Positiva Negativa
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Medidas de Assimetria
• Utiliza-se o momento centrado de terceira ordem como 
medida de assimetria.
• Entretanto é mais conveniente a utilização de uma medida 
adimensional, definida como Coeficiente de Assimetria 
(𝑎3), dado por:
𝑎3 =
𝑚3
(𝑆𝑥)3
𝑚3 =
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
3
𝑛
− 3 𝑋
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
2
𝑛
+ 2 𝑋3
• Amostra: 
• Tabela de frequência: 
𝑚3 =
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
3 ∗ 𝑓𝑖
𝑛
− 3 𝑋
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
2 ∗ 𝑓𝑖
𝑛
+ 2 𝑋3
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Medidas de Assimetria
• Índice de Assimetria de Pearson:
Se:
 𝐴 < 0,15 → Distribuição praticamente Simétrica;
 0,15 < 𝐴 < 1 → Distribuição moderadamente Assimétrica;
 𝐴 > 1 → Distribuição fortemente Assimétrica.
𝐴 =
 𝑋 −𝑚𝑜
𝑆𝑥
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Medidas de Achatamento ou Curtose
• Procuram caracterizar a forma da distribuição quanto ao 
seu achatamento.
• A referencia de comparação é a Distribuição Normal.
• Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes 
situações: Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas.
Leptocúrticas PlaticúrticasMesocúrticas
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Medidas de Achatamento ou Curtose
• A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido 
se a distribuição for aproximadamente Simétrica.
• O Coeficiente de Curtose é obtido pelo quociente do momento 
centrado de 4ª ordem pelo quadrado da variância, ou seja:
𝑎4 =
𝑚4
(𝑆𝑥
2)2
=
𝑚4
𝑆𝑥
4
𝑚4 =
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
4
𝑛
− 4 𝑋
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
3
𝑛
+ 6 𝑋2
 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
2
𝑛
− 3 𝑋4
• Amostra: 
• Tabela de frequência: 
𝑚4 =
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
4 ∗ 𝑓𝑖
𝑛
− 4 𝑋
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
3 ∗ 𝑓𝑖
𝑛
+ 6 𝑋2
 𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖
2 ∗ 𝑓𝑖
𝑛
− 3 𝑋4
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Medidas de Achatamento ou Curtose
𝑎4 é um coeficiente adimensional, permitindo a sua classificação. Se:
 𝑎4  3  Distribuição Platicúrtica;
 𝑎4  3  Distribuição Mesocúrtica;
 𝑎4  3  Distribuição Leptocúrtica.
𝑎4 =
𝑚4
(𝑆𝑥
2)2
=
𝑚4
𝑆𝑥
4
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Exercício
Limites
Aparentes
Limites
Reais
Frequência
fi 
Freq.
Relativa
40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06
45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16
50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32
55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24
60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14
65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06
70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02
50 1
Dada a distribuição de frequência acima, verificar se existe 
assimetria e/ou achatamento (curtose).
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Exercício
Considere a amostra a seguir e construa:
i. Distribuição em classes de frequência;
ii. Histograma, polígono de frequências e gráfico de frequência acumulada;
iii. A partir das classes de frequência, determine:
a) Média, Moda, Mediana e Quartis;
b) Amplitude, Variância, Desvio Padrão , e Coeficiente de Variação
iv. Verifique se existe assimetria e/ou achatamento (curtose).
33,7 29,6 35,6 31,3 36,7 34,4 32,1
34,0 33,6 26,7 28,5 33,5 29,1 36,2
39,1 32,1 29,8 43,6 39,7 40,3 30,6
43,1 36,4 41,5 31,2 43,1 41,9 37,7
35,9 36,2 34,7 38,4 36,6 31,9 39,3
35,5 35,8 33,8 32,8 39,5 31,4 40,3
31,4 36,0 44,0 30,6 38,3 40,1 35,6
44,1 43,7 27,1 41,2 24,7 35,6 38,8