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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Aulas 01 e 02 Estatística Descritiva Profs. Fernando Tobal Berssaneti André Leme Fleury Renato de Oliveira Moraes Leandro Alves Patah Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Origens da estatística Historicamente, o desenvolvimento da estatística relaciona-se com dois fenômenos: 1. A necessidade de governos coletarem dados para conhecerem seus habitantes; 2. O desenvolvimento da teoria do cálculo das probabilidades. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Origem da aplicação: Recenseamento – realizado pelos governos para conhecer seus habitantes, sua condição socioeconômica, sua cultura, religião, etc. Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Antiguidade: registro do número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, estimação das riquezas, cobrança de impostos e realização de outras pesquisas quantitativas. Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Idade média: coleta de informações com finalidades tributárias ou bélicas. Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Atualmente: informações numéricas são necessárias para cidadãos e organizações de qualquer natureza, e de qualquer parte do mundo globalizado. Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Aplicações: índices econômicos, pesquisas de intenção de votos, gráficos e médias publicados na mídia .... Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística A estatística é fundamental na análise de dados provenientes de processos em que existe variabilidade. Origens da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Estatísticas demográficas: dados numéricos sobre residentes, nascimentos, falecimentos, matrimônios, etc. Estatísticas demográficas e econômicas Estatísticas: no plural indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Estatísticas econômicas: dados numéricos relacionados com o desempenho do governo, das empresas e dos demais agentes ligados aos vários setores de atividade econômica. Estatísticas demográficas e econômicas Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Importância da estatística Para resolvermos problemas precisamos de informações. Que tipo de informações são necessárias? Que quantidade de informações é suficiente? Como processar estas informações? Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística A estatística associa dados aos problemas, gerando informações relevantes para o estabelecimento de conclusões capazes de viabilizar a tomada de decisões. Importância da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Áreas da estatística Probabilidade - consiste no estudo da aleatoriedade e da incerteza. Utiliza métodos de quantificação das chances associadas aos diversos resultados. Exemplo: qual a probabilidade de chover amanhã? Estatística descritiva e amostragem - conceitos e métodos para coleta, organização, apresentação, análise e síntese de dados obtidos em uma população ou amostra. Exemplo: como determinar o perfil dos alunos em uma sala de aula? Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exemplo: qual o tempo de formatura esperado para um aluno que está ingressando este ano na escola? Estatística inferencial - processo de estimar informações sobre uma população a partir de resultados observados numa amostra. Áreas da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística População: inclui todos os elementos que serão estudados. Exemplo: em 2015 a população brasileira é de aproximadamente 200 milhões de pessoas. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Amostra: inclui os elementos selecionados da população que serão analisados para estabelecer conclusões. Exemplo: 2.000 pessoas consultadas para compreender a intenção de voto da população. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Parâmetro: medida numérica que descreve uma característica de uma população. Exemplo: utilizamos a quantidade de anos vividos para estimar a expectativa de vida de uma população. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Estatística: medida numérica que descreve uma característica de uma população. Exemplo: a expectativa de vida no brasil em 2015 é de 75 anos. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Dados discretos: os resultados possíveis são finitos e podem ser associados a pontos. Exemplo: possibilidades de resultados de um dado. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Dados contínuos: os resultados possíveis são infinitos e só podem ser associados a escalas contínuas. Exemplo: altura de uma pessoa. Termos da estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Conceitos e métodos para coleta, organização, apresentação, análise e interpretação de dados obtidos em uma população ou amostra. Usualmente apresenta dados consolidados e informações referentes ao fenômeno utilizando gráficos e tabelas. Também tem por objetivo calcular medidas que permitam descrever este fenômeno. Estatística descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Sua elaboração envolve a sintetização, em um único número, dos aumentos dos produtos de uma cesta básica. Exemplo: INPC (índice nacional de preços ao consumidor) Estatística descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Apresenta dados sobre educação, saúde, transporte, economia e cultura no brasil. Exemplo: anuário estatístico brasileiro elaborado pelo IBGE. Estatística descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Apresenta, em várias tabelas e gráficos, os mais diversos dados sobre turismo interno e dados sobre entrada de turistas estrangeiros no brasil. Exemplo: anuário estatístico EMBRATUR Estatística descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Processo de estimar informações sobreuma população a partir de resultados observados numa amostra. Estatística inferencial (ou indutiva) 1. Seleção da amostra 2. Determinação do parâmetro de interesse 3. Estabelecimento das hipóteses 4. Seleção das estatísticas de teste 5. Obtenção dos valores 6. Análise dos resultados obtidos 7. Tomada de decisão A estatística indutiva realiza a análise e interpretação dos dados tendo em vista a tomada de decisões relacionadas com uma determinada população de interesse. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exemplo: intenção de voto Estatística inferencial (ou indutiva) Um determinado jornal está interessado em saber qual o número de eleitores que pretende votar em cada candidato no segundo turno. Exemplo: altura dos alunos A secretaria de educação deseja estimar a altura média dos alunos do 6o ano no estado de São Paulo. Para isto seleciona algumas escolas e, nestas escolas, mede a altura média de todos os alunos do 6o ano. Exemplo: análise financeira Os analistas financeiros coletam e analisam dados sobre a economia buscando identificar tendências sobre produção e consumo. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Estatística Descritiva • A Estatística Descritiva tem por finalidade o tratamento matemático de determinadas características de interesse, as quais podem ser qualitativas ou quantitativas, dentro de um conjunto de interesse como, por exemplo, uma população. • Funções: – Organização de Dados; – Representação Gráfica; – Medidas Estatísticas. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Caracterização de variável • Variável - é a característica dos elementos da amostra que nos interessa averiguar estatisticamente. • As variáveis de interesse podem ser classificadas em: A. Qualitativas => quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos. B. Quantitativas => quando seus valores forem expressos em números. Podem ser subdivididas: i. Discretas - assumem apenas valores pertencentes a um conjunto enumerável. São obtidos mediante alguma forma de contagem; ii. Contínuas - são aquelas, teoricamente, que podem assumir qualquer valor em um certo intervalo de variação. Resultam, em geral, de uma medição, sendo frequentemente expressos em alguma unidade. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • Características Qualitativas (classificação por tipos ou atributos): – População: moradores de uma cidade • Variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes, azuis, etc.) – População: peças produzidas por uma máquina • Variável: qualidade (conforme ou não conforme) Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • Características Quantitativas: – População: casais residentes em uma cidade • Variável: número de filhos (discreta) – População: pessoas residentes em uma cidade • Variável: altura (continua) • Variável: peso (continua) Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Preto Castanho Azul Verde C or d os O lh os QTDE Representação Gráfica Gráfico de Barras - Sala de Aula (n=40 alunos) Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Cor dos Olhos dos Alunos de uma Sala de Aula (n=40 alunos) 30% 39% 13% 18% Preto Castanho Azul Verde Representação Gráfica Gráfico de Pizza Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 0 20 40 60 80 100 10 01 - 10 10 10 11 - 10 20 10 21 - 10 30 10 31 - 10 40 10 41 - 10 50 10 51 - 10 60 10 61 - 10 70 10 71 - 10 80 Representação Gráfica Histograma da distribuição de frequência da medida externa do diâmetro de uma engrenagem Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 0 1000 2000 3000 4000 5000 Serviço Medido Serviços não Realizados Promoções Serviços não Contratados Reclamações Q TD E 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Representação Gráfica Diagrama de Pareto Estatística Descritiva Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Tempo total de máquina parada no mês: 72 horas Categorias de classificação: manutenção corretiva troca de ferramentas carga e descarga manutenção preventiva testes de engenharia falta de matéria-prima falta de programa falta de energia elétrica Diagrama de Pareto - Exemplo Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística CATEGORIAS Nº de Ocorrências manutenção corretiva 31 troca de ferramentas 18 carga e descarga 9 manutenção preventiva 8 testes de engenharia 1 falta de matéria-prima 2 falta de programa 2 falta de energia elétrica 1 TOTAL 72 Diagrama de Pareto - Exemplo Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística CATEGORIAS Frequência Absoluta (Nº de Ocorrências) Frequência Relativa (%) Frequência Acumulada (%) Manutenção Corretiva 31 43,0 43,0 Troca de Ferramentas 18 25,0 68,0 Carga e Descarga 9 12,5 80,5 Manutenção Preventiva 8 11,1 91,6 Outros 6 8,4 100 TOTAL 72 100 Diagrama de Pareto - Exemplo Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Frequência Absoluta Frequência Acumulada M a n u te n çã o M a n u te n çã o C o rr e ti va C o rr e ti va T ro ca d e T ro ca d e F e rr a m e n ta s F e rr a m e n ta s C a rg a e C a rg a e D e sc a rg a D e sc a rg a M a n u te n çã o M a n u te n çã o P re ve n ti va P re ve n ti va O u tr o s O u tr o s Diagrama de Pareto - Exemplo Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Histograma – Elementos Constitutivos Classe: cada barra Limites de classe: são os valores máximo e mínimo de cada classe Amplitude: intervalo entre os limites de uma classe Frequência: número de observações pertencentes a uma dada classe AMPLITUDE FREQUÊNCIA CLASSE 39 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Histograma – Fases de preparação Definir o número de Classes (K): Ou: NK Número de dados Número de Classes (K) Menos de 50 5 – 7 50 – 100 6 – 10 100 – 250 7 – 12 Mais de 250 10 – 20 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Histograma – Fases de preparação Definir a amplitude das Classes (H): Onde: R = (Valor Máximo – Valor Mínimo) Definir Limites de Classes: K R H Classe Limite Inferior Limite Superior 1ª Classe Valor mínimo Valor mínimo + Amplitude da classe (H) Demais ClassesLimite superior da classes anterior Valor mínimo + Amplitude da classe (H) Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exemplo - desempenho de 50 concessionárias na Região Sudeste Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Coleta de dados: número de vendas em fevereiro em cada montadora Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 61 65 43 53 55 51 58 55 59 56 52 53 62 49 68 51 50 67 62 64 53 56 48 50 61 44 64 53 54 55 48 54 57 40 54 71 57 53 46 48 55 46 57 54 48 63 49 55 52 51 Tabela de desempenho das concessionárias Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 43,4 7 31 7 4071 k R h 5h AMPLITUDE DAS CLASSES Usaremos: 750k TABELA DE FREQUÊNCIAS Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística k x h = 35 Ponto inicial da tabela Po = 40 Maior que a amplitude da amostra R=31 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Limites Aparentes 40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60 60 – 65 65 – 70 70 – 75 Limites Reais 39,5 – 44,5 44,5 – 49,5 49,5 – 54,5 54,5 – 59,5 59,5 – 64,5 64,5 – 69,5 69,5 – 74,5 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Limites Aparentes Limites Reais Frequência fi Freq. Relativa 40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06 45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16 50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32 55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24 60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14 65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06 70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02 50 1 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • Medidas de posição – localizam a distribuição dos dados brutos (ou das frequências) sobre o eixo de variação da variável em questão. – Média Aritmética; – Mediana; – Moda; – Quartil. • Medidas de dispersão – indicam o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. – Amplitude; – Variância; – Desvio Padrão; – Coeficiente de Variação. Distribuições de dados (ou frequências dados) Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Distribuições de dados - notação População Amostra Média 𝑋 Variância 2 𝑆𝑥 2 Desvio Padrão 𝑆𝑥 Proporção P p’ Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • Amostra: Média (aritmética) - valor esperado, expectância, esperança matemática ( ou E[x]) • Tabela de frequência: 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑋 = 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖∗𝑓𝑖 𝑛 = 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 ∗ 𝑝𝑖 ′ Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Propriedades da Média K é uma constante; X e Y são variáveis aleatórias independentes i. E(k) = k ii. E(k * X) = k * E(X) iii. E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) iv. E(X ± k) = E(X) ± k v. E(X * Y) = E(X) * E(Y) Resumindo: • Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada por essa constante. • Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores da variável, a média do conjunto fica acrescida ou subtraída dessa constante. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exemplo • Suponha que certo produto tenha peso médio de 100g e que 10 deles sejam embalados em uma caixa com peso médio de 200g. Determine o peso médio da embalagem completa. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística KggcompletoE embalagemEprodutoEcompletoE embalagemEprodutoEcompletoE embalagemprodutoEcompletoE 2,1200.120010010][ ][][10][ ][]10[][ ]10[][ Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • Li = limite inferior da classe que contém a mediana; • n = números de elementos do conjunto da dados; • Fa = soma das frequências das classes anteriores que contém a mediana; • fmd = frequência da classe que contém a mediana; • hmd= amplitude da classe que contém a mediana. Mediana - caracteriza o centro de uma distribuição pertencente a um conjunto de dados. 𝑚𝑑 = 𝐿𝑖 + 𝑛 2 − 𝐹𝑎 𝑓𝑚𝑑 ℎ𝑚𝑑 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Moda - definida como o valor (ou valores) de máxima frequência. 𝑚𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝑑1 𝑑1 + 𝑑2 ℎ • Li = limite inferior da classe modal; • d1 = diferença entre a classe modal e a da classe imediatamente anterior; • d2 = diferença entre a classe modal e a da classe imediatamente seguinte; • h = amplitude das classes. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Quartil • São valores dados a partir do conjunto de observações ordenado em ordem crescente, que dividem a distribuição em quatro partes iguais. Q1 é o número que deixa 25% das observações abaixo; Q2 é a mediana, deixa 50% das observações abaixo e 50% das observações acima. Q3 é o número que deixa 75% das observações abaixo. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exercício Limites Aparentes Limites Reais Frequência fi Freq. Relativa 40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06 45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16 50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32 55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24 60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14 65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06 70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02 50 1 Dada a distribuição de frequência acima, calcular a Média, Mediana, Moda e os 3 Quartis. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística • A informação fornecida pelas Medidas de Posição em geral necessitam de ser complementas pelas Medidas de Dispersão. • As Medidas de Dispersão indicam o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central, caracterizando o grau de variação existente em um conjunto de valores. Medidas de dispersão Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Amplitude • Amostra: 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 Variância - média dos quadrados da distância em relação à média • Amostra: 𝑆𝑥 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑛 − 1 • Tabela de frequência: 𝑆𝑥 2 = 𝑛 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 2 ∗ 𝑓𝑖 − 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖 2 𝑛 𝑛 − 1 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Propriedades da Variância K é uma constante; X e Y são variáveis aleatórias independentes i. Var(k) = 0 ii. Var(k * X) = k2 * Var(X) iii. Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) iv. Var(X ± k) = Var(X) Resumindo: • Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. • Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, a variância não se altera. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exemplo Uma embalagem é composta de 1 caixa, 5 copos e 5 garfos. Sabe-se que: x(peso) E[x] Var[x] Copo 10g 1g2 Garfo 5g 4g2 Caixa 12g 9g2 Determine a média e a variânciado peso da embalagem completa Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Embalagem = Caixa + Copo1 + Copo2 + Copo3 + Copo4 + Copo5 + Garfo1 + Garfo2 + Garfo3 + Garfo4 + Garfo5 E[Emb] = E[Caixa] + 5 E[Copo] + 5 E[Grafo] E[Emb] = 12 + 5 x 10 + 5 x 5 = 12 + 50 +25 = 87 Var[Emb] = Var[Caixa] + 5 Var[Copo] + 5 Var[Grafo] Var[Emb] = 9 + 5 x 1 + 5 x 4 = 9 + 5 + 20 = 34 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Desvio Padrão - a raiz quadrada positiva da variância. 𝑆𝑥 = 𝑆𝑥 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑛 − 1 • Amostra: • O desvio padrão se expressa na mesma unidade da variável. Dessa forma, além de ser de maior interesse que a variância nas aplicações práticas, também é mais realístico para efeito de comparação de dispersões. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Coeficiente de variação - quociente entre o desvio padrão e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem. 𝐶𝑉(𝑋) = 𝐶𝑉𝑥 = 𝑆𝑥 𝑋 • Amostra: Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exercício Limites Aparentes Limites Reais Frequência fi Freq. Relativa 40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06 45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16 50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32 55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24 60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14 65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06 70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02 50 1 Dada a distribuição de frequência acima, calcular a Variância e o Desvio Padrão. Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a distribuição dos Dados(ou frequências) se afasta da condição de simetria. Distribuições alongadas a direita são ditas Positivamente Assimétricas. Distribuições alongadas a esquerda são ditas Negativamente Assimétricas. Medidas de Assimetria Positiva Negativa Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Medidas de Assimetria • Utiliza-se o momento centrado de terceira ordem como medida de assimetria. • Entretanto é mais conveniente a utilização de uma medida adimensional, definida como Coeficiente de Assimetria (𝑎3), dado por: 𝑎3 = 𝑚3 (𝑆𝑥)3 𝑚3 = 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 3 𝑛 − 3 𝑋 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 2 𝑛 + 2 𝑋3 • Amostra: • Tabela de frequência: 𝑚3 = 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 3 ∗ 𝑓𝑖 𝑛 − 3 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 2 ∗ 𝑓𝑖 𝑛 + 2 𝑋3 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Medidas de Assimetria • Índice de Assimetria de Pearson: Se: 𝐴 < 0,15 → Distribuição praticamente Simétrica; 0,15 < 𝐴 < 1 → Distribuição moderadamente Assimétrica; 𝐴 > 1 → Distribuição fortemente Assimétrica. 𝐴 = 𝑋 −𝑚𝑜 𝑆𝑥 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Medidas de Achatamento ou Curtose • Procuram caracterizar a forma da distribuição quanto ao seu achatamento. • A referencia de comparação é a Distribuição Normal. • Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações: Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas. Leptocúrticas PlaticúrticasMesocúrticas Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Medidas de Achatamento ou Curtose • A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido se a distribuição for aproximadamente Simétrica. • O Coeficiente de Curtose é obtido pelo quociente do momento centrado de 4ª ordem pelo quadrado da variância, ou seja: 𝑎4 = 𝑚4 (𝑆𝑥 2)2 = 𝑚4 𝑆𝑥 4 𝑚4 = 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 4 𝑛 − 4 𝑋 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 3 𝑛 + 6 𝑋2 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 2 𝑛 − 3 𝑋4 • Amostra: • Tabela de frequência: 𝑚4 = 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 4 ∗ 𝑓𝑖 𝑛 − 4 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 3 ∗ 𝑓𝑖 𝑛 + 6 𝑋2 𝑖=1 𝑘 𝑋𝑖 2 ∗ 𝑓𝑖 𝑛 − 3 𝑋4 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Medidas de Achatamento ou Curtose 𝑎4 é um coeficiente adimensional, permitindo a sua classificação. Se: 𝑎4 3 Distribuição Platicúrtica; 𝑎4 3 Distribuição Mesocúrtica; 𝑎4 3 Distribuição Leptocúrtica. 𝑎4 = 𝑚4 (𝑆𝑥 2)2 = 𝑚4 𝑆𝑥 4 Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exercício Limites Aparentes Limites Reais Frequência fi Freq. Relativa 40 – 45 39,5 – 44,5 3 0,06 45 – 50 44,5 – 49,5 8 0,16 50 – 55 49,5 – 54,5 16 0,32 55 – 60 54,5 – 59,5 12 0,24 60 – 65 59,5 – 64,5 7 0,14 65 – 70 64,5 – 69,5 3 0,06 70 – 75 69,5 – 74,5 1 0,02 50 1 Dada a distribuição de frequência acima, verificar se existe assimetria e/ou achatamento (curtose). Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística Exercício Considere a amostra a seguir e construa: i. Distribuição em classes de frequência; ii. Histograma, polígono de frequências e gráfico de frequência acumulada; iii. A partir das classes de frequência, determine: a) Média, Moda, Mediana e Quartis; b) Amplitude, Variância, Desvio Padrão , e Coeficiente de Variação iv. Verifique se existe assimetria e/ou achatamento (curtose). 33,7 29,6 35,6 31,3 36,7 34,4 32,1 34,0 33,6 26,7 28,5 33,5 29,1 36,2 39,1 32,1 29,8 43,6 39,7 40,3 30,6 43,1 36,4 41,5 31,2 43,1 41,9 37,7 35,9 36,2 34,7 38,4 36,6 31,9 39,3 35,5 35,8 33,8 32,8 39,5 31,4 40,3 31,4 36,0 44,0 30,6 38,3 40,1 35,6 44,1 43,7 27,1 41,2 24,7 35,6 38,8
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