Estatística - Poli - Aulas 07 e 08 Estimação de Parâmetros Parte I

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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Aulas 07 e 08
Estimação de Parâmetros –
Parte I
Profs.
Fernando Tobal Berssaneti
André Leme Fleury
Renato de Oliveira Moraes
Leandro Alves Patah
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Introdução
População Amostra
Probabilidades
(Raciocínio Dedutivo)
Estatística Inferencial
(Raciocínio Indutivo)
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Introdução
Cálculo de Probabilidades: entender a incerteza associada à 
tomada da amostra de uma dada população
Estatística Descritiva: como tratar o conjunto de dados, se 
preocupando com sua organização e descrição
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Estatística Indutiva
Estatística Indutiva: tirar conclusões probabilísticas, através de 
análises e interpretações, sobre aspectos das populações com 
base na observação de amostras extraídas dessas populações; 
visando à tomada de decisões
Procedimentos Inferenciais:
- Estimativa por pontos
- Estimativas por intervalo de confiança
- Testes de hipóteses
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Estimadores
Em estudos feitos com base em amostras é preciso escolher qual das estatísticas 
da amostra será o melhor estimador para cada parâmetro estudado
Como os parâmetros serão estimados através das estatísticas (estimadores) de 
uma amostra aleatória e como para cada amostra aleatória as estatísticas 
apresentarão diferentes valores, os estimadores também terão valores aleatórios
Estimador é uma variável aleatória que segue uma distribuição de probabilidades, 
ou seja, a quantidade calculada em função dos elementos da amostra que será 
usada no processo de estimação do parâmetro desejado
Estimativa é cada particular valor assumido por um estimador
Notação
𝜃 = parâmetro a ser estimado
𝑇 = um estimador de 𝜃
𝑡 = uma dada estimativa
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Há basicamente quatro critérios para a escolha de um 
estimador:
– Justeza (não tendenciosidade)
– Consistência
– Eficiência
– Suficiência
Propriedades dos estimadores
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Justeza (não tendenciosidade):
Um estimador T é um estimador justo (não tendencioso, não 
viciado, não viesado) de um parâmetro 𝜃 quando o valor 
esperado de T (média ou expectância) é igual ao valor do 
parâmetro 𝜃 a ser estimado:
𝜇(𝑇) = 𝜃
Isto significa que os valores aleatórios do estimador T
ocorrerão em torno do valor do parâmetro 𝜃
Propriedades dos estimadores
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Consistência
Um estimador T é consistente se para todo ε > 0:
lim
𝑛→∞
𝑃 𝑇 − 𝜃 ≥ 𝜀 = 0
Isto significa que, sendo o estimador consistente, pode-se, com amostras 
suficientemente grandes, tornar o erro da estimação tão pequeno quanto se 
queira
Em outras palavras, sua variância tende a zero à medida que o tamanho da 
amostra aleatória aumenta
lim
𝑛→∞
𝜎2(𝑇) = 0
Propriedades dos estimadores
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Eficiência
Dados dois estimadores, T1 e T2, a serem utilizados na estimação de um 
mesmo parâmetro 𝜃, diremos que T1 é mais eficiente que T2 como estimador 
de 𝜃 se, para o mesmo tamanho de amostra
𝜇 𝑇1 − 𝜃
2 < 𝜇 𝑇2 − 𝜃
2
Se T1 e T2 forem estimadores justos de 𝜃, esta condição indicará que:
𝜎2(𝑇1) < 𝜎
2 𝑇2
Propriedades dos estimadores
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Suficiência
Um estimador T é suficiente se contém o máximo possível de informação com 
referência ao parâmetro por ele estimado
Em problemas de estimação de parâmetros, deve-se procurar trabalhar com 
estimadores justos, consistentes, da maior eficiência possível e, de 
preferencia, suficientes
Propriedades dos estimadores