Estatística - Poli - Aulas 17 e 18 Testes Não Paramétricos

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Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística
Profs. Berssaneti, Fleury, Moraes e Patah PRO 3200 – Estatística 
Aulas 17 e 18
Testes Não-Paramétricos
Profs.
Fernando Tobal Berssaneti
André Leme Fleury
Renato de Oliveira Moraes
Leandro Alves Patah
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• Testes paramétricos são testes sobre como testar hipóteses referentes a 
um parâmetro populacional ou à comparação entre 2 parâmetros, como 
visto anteriormente
• Testes não-paramétricos referem-se a outros aspectos que não os 
parâmetros em si
• Testes de Aderência:
– Teste de Aderência pelo 
– Método de Kolgomorov-Smirnov
– Verificação Gráfica de Aderência
• Teste de Independência
Testes Não-Paramétricos
2
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• A hipótese a ser testada refere-se à forma da distribuição da população
• Admite-se, por hipótese, que a distribuição da variável de interesse na 
população seja descrita por determinado modelo de distribuição de 
probabilidade e testa-se esse modelo para verificar a boa ou má 
aderência dos dados da amostra ao modelo
Testes de Aderência
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• Desenvolvido por Karl Pearson, baseia-se na estatística:
• = estatística do teste com v graus de liberdade
• Oi = frequência observada de uma determinada classe ou valor da 
variável
• Ei = frequência esperada, segundo o modelo testado, dessa classe ou 
valor da variável
Testes de Aderência pelo 
2
 
n
Ei
Oi
Ei
EiOi k
i
k
i
v 

 
 1
22
1
2
2
v
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• = número de elementos da amostra
• k = número de classes ou valores considerados
• v = número de graus de liberdade = k – 1 – m
• m = número de parâmetros do modelo estimados independentemente a 
partir da amostra
• Obs.: deve-se observar a condição de que Ei ≥ 5
Testes de Aderência pelo 
2 


k
i
k
i
EiOin
11
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O número de defeitos por unidade observado em uma amostra de cem 
aparelhos de televisão produzidos em uma linha de montagem apresentou a 
seguinte distribuição de frequências:
Número de defeitos 0 1 2 3 4 5 6 7
Número de aparelhos 25 35 18 13 4 2 2 1
Verificar se o número de defeitos por unidade segue razoavelmente uma 
distribuição de Poisson ao nível de 5% de significância
Exercício 01 (Exemplo pág. 133 – Costa Neto)
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• Kolmogorov e Smirnov desenvolveram um método, em geral mais 
poderoso que o do , para testar a aderência, em que a variável de 
teste é a maior diferença observada entre a função de distribuição 
acumulada do modelo e a da amostra
• A função de distribuição acumulada do modelo testado, ou função de 
repartição fornece as probabilidades acumuladas em cada ponto, ou seja 
F(x) = P (X ≥ x)
• A função de distribuição acumulada da amostra corresponderá ao gráfico 
das frequências relativas acumuladas, visto anteriormente. Esta função 
será denominada G(x)
Método de Kolmogorov - Smirnov
2
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• Onde G(x) à esquerda do ponto Xi é dada por ( i – 1 ) / n
• E G(x) à direita é fornecida por i / n
• O teste consta da simples verificação do valor
d = max │ F(x) – G(x) │
• E da comparação com um valor crítico tabelado em função de α e n
• Se d for maior que o valor crítico, rejeita-se Ho
• A tabela para os valores críticos encontra-se no slide seguinte
Método de Kolmogorov - Smirnov
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• Valores críticos para o teste de Kolmogorov - Smirnov
Método de Kolmogorov - Smirnov
n α = 5% α = 1% n α = 5% α = 1%
1 0,975 0,995 14 0,349 0,418
2 0,842 0,929 15 0,338 0,404
3 0,708 0,829 16 0,327 0,392
4 0,624 0,734 17 0,318 0,381
5 0,563 0,669 18 0,309 0,371
6 0,519 0,617 19 0,301 0,361
7 0,483 0,576 20 0,294 0,352
8 0,454 0,542 25 0,264 0,317
9 0,430 0,513 30 0,242 0,290
10 0,409 0,490 35 0,224 0,269
11 0,391 0,468 40 0,210 0,252
12 0,375 0,449 45 0,198 0,238
13 0,361 0,432 50 0,188 0,227
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• Se n > 50, calcular os valores críticos para α = 5% através de 
• E para α = 1% através de
Método de Kolmogorov - Smirnov n
36,1
n
63,1
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Uma amostra de dez elementos forneceu os seguintes valores:
27,8 29,2 30,6 27,0 33,5
29,5 27,3 25,4 28,0 30,2
Testar a hipótese de que ela seja proveniente de uma população normal de 
média 30 e desvio-padrão 2, ao nível de significância de 5%.
Exercício 02 (Exemplo pág. 136 – Costa Neto)
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• Consiste no uso de processos gráficos para se verificar a aderência dos 
dados experimentais a certos modelos teóricos
• São processos simplificados e aproximados envolvendo subjetividade, 
usados quando não há muita exigência de rigor
• O teste de aderência a uma distribuição normal pode ser feito mediante o 
uso do “papel de probabilidade normal”, que é um papel quadriculado 
em que uma das escalas está subdividida conforme os percentis de uma 
distribuição normal
Verificação Gráfica da Aderência
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• Na escala linear são plotados os valores da variável e na “escala normal”, 
os valores da frequência relativa acumulada
• Os pontos deverão se orientar, aproximadamente, segundo uma reta, se 
a hipótese de normalidade da distribuição for verdadeira
• Cada valor se encontrará no percentil 50 ( 2i – 1 ) / n, onde i é a posição 
do valor em uma escala ordenada
Verificação Gráfica da Aderência
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• Papel de Probabilidade Normal
Verificação Gráfica da Aderência
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Dada a seguinte amostra:
97 83 112 101 94 106 92 96
Mediante o uso do papel de probabilidade normal, verificar se uma distribuição 
normal se ajusta bem a estes dados. Obter através deste mesmo papel uma 
estimativa para a média e o desvio-padrão da população
Exercício 03
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• Quando existem 2 ou mais variáveis qualitativas de interesse, a 
representação tabular das frequências observadas pode ser feita através 
de uma tabela de contingência
• Assim, teríamos o teste formulado da seguinte maneira:
• Ho: As variáveis são independentes
• H1: As variáveis não são independentes (ou seja, apresentam algum grau 
de associação entre si)
Teste de Independência
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Teste de Independência
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Realizar o teste de independência para os dados abaixo, ao nível de 
significância de 1%.
Exercício 04 (Exemplo pág. 141 – Costa Neto)Sexo
Opinião
Totais
Favorável Desfavorável Indiferente
Homens 33 12 15
Mulheres 7 20 13
Totais