Gabarito Lista 2

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Noc¸o˜es de Estat´ıstica
2º sem de 2016 - FEA
Lista de exerc´ıcios 2 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA
Exerc´ıcio 01
Os dados a seguir referem-se a medidas de prostaglandina (pg/ml) e ca´lcio (ml/dl)
em pacientes com caˆncer apresentando ou na˜o hipercalcemia.
a) Calcule para cada varia´vel, separando por grupos com e sem hipercalcemia, a me´dia,
a mediana, o desvio padra˜o, o intervalo interquartil e o coeficiente de variac¸a˜o.
b) Compare as variabilidades das varia´veis separadas por grupos (escolha o crite´rio de
comparac¸a˜o).
c) Desenhe o diagrama de caixa para cada varia´vel, separando por grupos com e sem
hipercalcemia, e use-os para concluir sobre o efeito de hipercalcemia nas medidas
de prostaglandina e ca´lcio.
Tabela 1: Pacientes com hipercalcemia
Paciente prostaglandina ca´lcio
1 500 13.3
2 500 11.2
3 301 13.4
4 272 11.5
5 226 11.4
6 183 11.6
7 183 11.7
8 177 12.1
9 136 12.5
10 118 12.2
11 60 18
Tabela 2: Pacientes sem hipercalcemia
Paciente prostaglandina ca´lcio
12 254 10.1
13 172 9.4
14 168 9.3
15 150 8.6
16 148 10.5
17 144 10.3
18 130 10.5
19 121 10.2
20 100 9.7
21 88 9.2
1
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 01
a) ˆ Pacientes com hipercalcemia
– X: Prostaglandina, x = {60, 118, 136, 177, 183, 183, 226, 272, 301, 500, 500}
n∑
i=1
xi = 2.656;
n∑
i=1
x2i = 849.988; n = 11
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
= 241, 45, s2x =
∑n
i=1 x
2
i − nx¯
2
n− 1
= 20.868, 47 ⇒ sx = 144, 46
CV =
sx
x¯
∗ 100% = 59, 83%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n + 1) = 3 ⇒ Q1 = 136
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n+ 1) = 6 ⇒ Md = 183
PQ3 = 0, 75 ∗ (n + 1) = 9 ⇒ Q3 = 301
IIQ = Q3 −Q1 = 165
– Y: Ca´lcio, y = {11, 2; 11, 4; 11, 5; 11, 6; 11, 7; 12, 1; 12, 2; 12, 5; 13, 3; 13, 4; 18}
n∑
i=1
yi = 138, 9;
n∑
i=1
y2i = 1.791, 05; n = 11
y¯ =
∑n
i=1 yi
n
= 12, 63, s2y =
∑n
i=1 y
2
i − ny¯
2
n− 1
= 3, 71 ⇒ sY = 1, 93
CV =
sy
y¯
∗ 100% = 15, 26%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n+ 1) = 3 ⇒ Q1 = 11, 5
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n+ 1) = 6 ⇒ Md = 12, 1
PQ3 = 0, 75 ∗ (n+ 1) = 9 ⇒ Q3 = 13, 3
IIQ = Q3 −Q1 = 1, 8
2
ˆ Pacientes sem hipercalcemia
– X: Prostaglandina, x = {88, 100, 121, 130, 144, 148, 150, 168, 172, 254}
n∑
i=1
xi = 1.475;
n∑
i=1
x2i = 236.749; n = 10
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
= 147, 5, s2x =
∑n
i=1 x
2
i − nx¯
2
n− 1
= 2.131, 83 ⇒ sx = 46, 17
CV =
sx
x¯
∗ 100% = 31, 3%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n+ 1) = 2, 75 ⇒ Q1 =
100 + 121
2
= 110, 5
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n + 1) = 5, 5 ⇒ Md =
144 + 148
2
= 146
PQ3 = 0, 75 ∗ (n+ 1) = 8, 25 ⇒ Q3 =
168 + 172
2
= 170
IIQ = Q3 −Q1 = 59, 5
– Y: Ca´lcio, y = {8, 6; 9, 2; 9, 3; 9, 4; 9, 7; 10, 1; 10, 2; 10, 3; 10, 5; 10, 5}
n∑
i=1
yi = 97, 8;
n∑
i=1
y2i = 960, 18; n = 10
y¯ =
∑n
i=1 yi
n
= 9, 78, s2y =
∑n
i=1 y
2
i − ny¯
2
n− 1
= 0, 41 ⇒ sY = 0, 64
CV =
sy
y¯
∗ 100% = 6, 55%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n+ 1) = 2, 75 ⇒ Q1 =
9, 2 + 9, 3
2
= 9, 25
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n+ 1) = 5, 5 ⇒ Md =
9, 7 + 10, 1
2
= 9, 9
PQ3 = 0, 75 ∗ (n + 1) = 8, 25 ⇒ Q3 =
10, 3 + 10, 5
2
= 10, 4
IIQ = Q3 −Q1 = 1, 15
b) Podemos considerar o desvio padra˜o, o intervalo interquartil ou o coeficiente de
variac¸a˜o. Em todos os casos o grupo de pacientes com hipercalcemia possui uma
variabilidade maior que o grupo sem hipercalcemia. Temos ainda, que a varia´vel
prostaglandina em ambos os grupos possui uma variabilidade maior que a varia´vel
ca´lcio, ver coeficiente de variac¸a˜o.
3
c) A hipercalcemia aumenta os valores das varia´veis prostaglandina e ca´lcio dos paci-
entes, ale´m de aumentar a assimetria. Foram utilizados como limite superior, LS,
e limite inferior, LI, as seguintes fo´rmulas
LS = Q3 + 1, 5 ∗ IIQ e LI = Q1 − 1, 5 ∗ IIQ
4
Exerc´ıcio 02
Os dados abaixo referem-se aos instantes de chamadas para atendimentos em uma
rodovia em dois dias consecutivos.
a) Calcule para cada dia a me´dia, a mediana, o desvio padra˜o e o intervalo interquartil.
b) Utilize diagrama de caixa para comparar os dois dias do ponto de vista da distri-
buic¸a˜o de chamadas.
c) Obtenha os histogramas correspondentes, agrupando os dados em 12 intervalos (com
2 horas em cada intervalo).
1º dia: 0,55 1,30 5,00 5,20 5,20 6,35 6,55 7,00 9,20 9,20 9,30 10,32 11,20 10,40 11,05
11,30 12,10 16,35 16,00 16,10 16,15 18,30 17,35 17,50 17,53 19,20 20,35 21,45 22,00 23,15
23,20 23,50
2ª dia: 4,20 7,00 7,10 8,07 10,10 12,25 12,25 12,40 13,45 14,45 14,45 15,35 15,20
15,20 16,30 16,42 16,42 17,00 17,00 17,00 19,05 22,55 20,30
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 02
a) ˆ D1 = {0, 55; 1, 30; 5, 00; 5, 20; 5, 20; 6, 35; 6, 55; 7, 00; 9, 20; 9, 20; 9, 30; 10, 32; 11, 20;
10, 40; 11, 05; 11, 30; 12, 10; 16, 35; 16, 00; 16, 10; 16, 15; 18, 30; 17, 35; 17, 50; 17, 53;
19, 20; 20, 35; 21, 45; 22, 00; 23, 15; 23, 20; 23, 50}
n∑
i=1
D1 = 419, 35;
n∑
i=1
D2
1
= 6.851, 47; n = 32
D¯1 =
∑n
i=1D1
n
= 13, 10, s2D1 =
∑n
i=1D
2
1
− nD¯1
2
n− 1
= 43, 74 ⇒ sD1 = 6, 61
CV =
sD1
D¯1
∗ 100% = 50, 47%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n+ 1) = 8, 25 ⇒ Q1 =
7, 00 + 9, 20
2
= 8, 10
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n+ 1) = 16, 5 ⇒ Md =
11, 30 + 12, 10
2
= 11, 70
PQ3 = 0, 75 ∗ (n + 1) = 24, 75 ⇒ Q3 =
17, 53 + 18, 30
2
= 17, 92
IIQ = Q3 −Q1 = 9, 82
5
ˆ D2 = {4, 20; 7, 00; 7, 10; 8, 07; 10, 10; 12, 25; 12, 25; 12, 40; 13, 45; 14, 45; 14, 45;
15, 35; 15, 20; 15, 20; 16, 30; 16, 42; 16, 42; 17, 00; 17, 00; 17, 00; 19, 05; 22, 55; 20, 30}
n∑
i=1
D2 = 323, 51;
n∑
i=1
D2
2
= 4.989, 70; n = 23
D¯2 =
∑n
i=1D2
n
= 14, 07, s2D2 =
∑n
i=1D
2
2
− nD¯2
2
n− 1
= 19, 97 ⇒ sD2 = 4, 47
CV =
sy
y¯
∗ 100% = 31, 77%
PQ1 = 0, 25 ∗ (n+ 1) = 6 ⇒ Q1 = 12, 25
PQ2 = PMd = 0, 50 ∗ (n+ 1) = 12 ⇒ Md = 15, 20
PQ3 = 0, 75 ∗ (n+ 1) = 18 ⇒ Q3 = 17, 00
IIQ = Q3 −Q1 = 4, 75
Classes (em horas) 1º dia 2º dia
0 ⊢ 2 2 0
2 ⊢ 4 0 0
4 ⊢ 6 3 1
6 ⊢ 8 3 2
8 ⊢ 10 3 1
10 ⊢ 12 5 1
12 ⊢ 14 1 4
14 ⊢ 16 0 5
16 ⊢ 18 7 6
18 ⊢ 20 2 1
20 ⊢ 22 2 1
22 ⊢ 0 4 1
6
b) Pelos boxplots temos que no primeiro dia os dados esta˜o mais dispersos e possuem
mais chamadas no in´ıcio do dia. Temos tambe´m que a mediana do primeiro dia e´
menor que do segundo. Foram utilizados como limite superior, LS, e limite inferior,
LI, as seguintes fo´rmulas
LS = Q3 + 1, 5 ∗ IIQ e LI = Q1 − 1, 5 ∗ IIQ
c) Pelos histogramas temos que os dados esta˜o mais concentrados ate´ as 12h o que
acontece o oposto no segundo dia.
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Exerc´ıcio 03
Construa o histograma de frequeˆncia e os histograma de densidade da durabilidade
de baterias automotivas de certa marca com base nos dados da tabela abaixo:
Durabilidade (em meses) Quantidade Frequeˆncia relativa h =
Frequeˆncia relativa
Tamanho da classe
0 - 3 40 4/100 0,013
3 - 6 50 5/100 0,017
6 - 9 130 13/100 0,043
9 - 12 250 25/100 0,083
12 - 18 330 33/100 0,055
18 - 24 200 20/100 0,033
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 03
Considerando a quantidade de baterias em cada classe e h podemos fazer os seguintes
histogramas. Comparando os dois notamos que quando observamos tamanhos de classes
diferentes temos que ter cuidado em nossas concluso˜es, pois temos que olhar os valores
relativos, h, nestes os dados esta˜o melhores expressados.
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