Gabarito Lista 4

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Noc¸o˜es de Estat´ıstica
2º sem de 2016 - FEA
Lista de exerc´ıcios 4 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA
Exerc´ıcio 01
Exerc´ıcio 3, cap´ıtulo 3, pa´gina 57 do livro texto Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Suponha que dois eventos A e B, associados a um experimento aleato´rio, sejam
independentes com P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4.
a) Determine P(A ∪ B).
b) Determine P(Ac ∩B), P(A ∩ Bc) e P(Ac ∩Bc).
c) Pode-se concluir dos itens (a) e (b) que A, B, Ac e Bc sa˜o eventos independentes
dois a dois? Justifique. (opcional)
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 01
P(A) = 1/2, P(B) = 1/4
a) P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
Como A e B sa˜o independentes, enta˜o P(A ∩B) = P(A)P(B), assim
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A)P(B) = 1
2
+ 1
4
− 1
2∗4
= 5
8
b) Considerando P(A∪B) = 5
8
, enta˜o P((A∪B)c) = 3
8
, enta˜o podemos fazer o seguinte
diagrama. Considere, sem perda de generalidade, que temos 8 observac¸o˜es.
Assim,
P(Ac ∩ B) = P(B)− P(A ∩B) = 1/4− 1/8 = 1/8
P(A ∩Bc) = P(A)− P(A ∩B) = 1/2− 1/8 = 3/8
P(Ac ∩ Bc) = 1− P(A ∪B) = 1− 5/8 = 3/8
1
c)
P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(Ac) = 1/2, P(Bc) = 3/4
Temos que A e Ac, assim como B e Bc, sa˜o dependentes. Logo os eventos na˜o sa˜o
independentes dois a dois. Vamos verificar as demais combinac¸o˜es
P(Ac ∩ B) = 1/8 = P(Ac)P(B), P(A ∩Bc) = 3/8 = P(A)P(Bc),
P(Ac ∩ Bc) = 3/8 = P(Ac)P(Bc) e P(A ∩ B) = 1/8 = P(A)P(B).
Exerc´ıcio 02
Exerc´ıcio 08, cap´ıtulo 3, pa´gina 59 do livro texto Noc¸o˜es de Estat´ıstica.
Dois tipos de vacina foram aplicadas em uma populac¸a˜o de tal forma que 60% das
pessoas receberam vacina do tipo A e as 40% restantes receberam vacina do tipo B.
Sabendo que a vacina do tipo A fornece 70% de imunizac¸a˜o e a B fornece 80%, determine
a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso:
a) Esteja imunizada dado que foi vacinada por A;
b) Esteja imunizada;
c) Tenha sido vacinada por A dado que na˜o esteja imunizada.
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 02
V : Uma pessoa escolhida aleatoriamente recebeu a vacina do tipo A.
V c: Uma pessoa escolhida aleatoriamente recebeu a vacina do tipo B.
I: Uma pessoa escolhida aleatoriamente esta´ imune.
P(V ) = 0, 6 =⇒ P(V c) = 0, 4, P(I|V ) = 0, 7, P(I|V c) = 0, 8
a) P(I|V ) = 0, 7.
b) P(I) = P(I|V )P(V ) + P(I|V c)P(V c) = 0, 7 ∗ 0, 6 + 0, 8 ∗ 0, 4 = 0, 74 = 37/50
c) P(V |Ic) = P(I
c∩V )
P(Ic)
= P(I
c|V )P(V )
P(Ic)
= 0,3∗0,6
0,26
= 0, 69 = 9/13
Exerc´ıcio 03
Exerc´ıcio 7, cap´ıtulo 3, pa´gina 58 do livro texto Noc¸o˜es de Estat´ıstica.
A probabilidade de uma pessoa contrair meningite durante um certo ano e´ 0,001
se ela for vacinada e 0,005 se ela na˜o for vacinada. Se 95% da populac¸a˜o esta´ vacinada,
responda:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa contrair meningite?
b) Se uma pessoa contrair meningite, qual a probabilidade de ela ter sido vacinada?
2
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 03
M : Uma pessoa selecionada aleatoriamente contraiu meningite.
V : Uma pessoa selecionada aleatoriamente foi vacinada.
P(M |V ) = 0, 001, P(M |V c) = 0, 005, P(V ) = 0, 95, P(V c) = 0, 05.
a) P(M) = P(M |V )P(V ) + P(M |V c)P(V c) = 0, 001 ∗ 0, 95 + 0, 005 ∗ 0, 05 = 0, 0012
b) P(V |M) = P(M∩V )
P(M)
= P(M |V )P(V )
P(M)
= 0,001∗0,95
0,0012
= 0, 79 = 19/24
Exerc´ıcio 04
Exerc´ıcio 14, cap´ıtulo 3, pa´gina 60 do livro texto Noc¸o˜es de Estat´ıstica.
A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada a chave e´ 3/5. Ha´ 10
chaves em um chaveiro das quais exatamente duas abrem a porta. Qual a probabilidade
de que um indiv´ıduo entre na casa podendo utilizar, se necessa´rio, apenas uma das chaves
selecionadas ao acaso do chaveiro?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 04
T : A porta de uma casa esta´ trancada.
A: Um indiv´ıduo abre a porta da casa.
P(T ) = 3/5, P(T c) = 2/5, P(A|T ) = 2/10 = 1/5, P(A|T c) = 1.
P(A) = P(A|T )P(T ) + P(A|T c)P(T c) =
1
5
∗
3
5
+ 1 ∗
2
5
=
13
25
Exerc´ıcio 05
Na figura abaixo temos um sistema chamado ponte. Supondo que todos os compo-
nentes desse sistema tenham a mesma confiabilidade p e funcionem independentemente,
obtenha a confiabilidade do sistema.
Sugesta˜o: Obtenha uma expressa˜o para P(A ∪ B ∪ C).
3
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 05
Ai: O i-e´simo componente esta´ funcionando, i = 1, . . . , 5.
Cj: O j-e´simo caminho liga o in´ıcio ao final da ponte, j = 1, 2, 3.
P(Ai) = p, i = 1, . . . , 5
P(C1) = P(A1 ∩A2) = p
2, P(C2) = P(A3) = p, P(C3) = P(A4 ∩ A5) = p
2
Para que o sistema funcione pelo menos um dos Cj precisa funcionar, assim temos
que encontrar P(C1 ∪ C2 ∪ C3).
P((C1 ∪ C2) ∪ C3) =
= P(C1 ∪ C2) + P(C3)− P((C1 ∪ C2) ∩ C3)
= P(C1) + P(C2)− P(C1 ∩ C2) + P(C3)− P((C1 ∩ C3) ∪ (C2 ∩ C3))
= P(C1)+P(C2)+P(C3)−P(C1∩C2)− (P(C1∩C3)+P(C2∩C3)−P(C1∩C2∩C3))
= P(C1) +P(C2) +P(C3)−P(C1 ∩C2)−P(C1 ∩C3)−P(C2 ∩C3) +P(C1 ∩C2 ∩C3)
Assim, encontramos
P(C1 ∩ C2) = P(A1 ∩A2 ∩A3) = p
3, P(C1 ∩ C3) = P(A1 ∩A2 ∩A4 ∩ A5) = p
4,
P(C2 ∩C3) = P(A3 ∩A4 ∩A5) = p
3, P(C1 ∩C2 ∩C3) = P(A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5) = p
5
Desta forma temos que a confiabilidade do sistema e´ dada por
P(C1 ∪ C2 ∪ C3) = p
2 + p+ p2 − p3 − p4 − p3 + p5 = p+ 2p2 − 2p3 − p4 + p5
4