Apostila 4 Exercícios Resolvidos Reedição 2017

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APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
COLETÂNEA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
APOSTILA 4 
 
CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS CORPOS FLUIDOS ELEMENTOS 
CARCTERISTICOS NA SECÇÃO. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE. 
 
 
 
OSWALDO FERNANDES 
PROF. ASSISTENTE DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
EPUSP – 1996 (Reedição 2017) 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
4.1 – Elementos Característicos na Seção 
4.2 – Equação da Continuidade 
 
A – INTRODUÇÃO 
A seguir são transcritos alguns conceitos importantes sobre o assunto 
desta apostila, conforme já exarados no Livro Texto (ver bibliografia adiante). 
 
A1 – Vazão em volume, ou volumétrica, através da secção S. 
É o voluma de fluido que passa através da secção S, por unidade de tempo: 
  13
s
TLQ onde ,dSnxvQ 

 
A2 – Vazão em massa, ou mássica, através da secção S. 
É a massa de fluido que passa através da secção S, por unidade de tempo: 
  TFLM onde ,dSnxvM -11
s

MT

 
A3 – Vazão em peso, ou gravimétrica, através da secção S. 
É o peso de fluido que passa através da secção S, por unidade de tempo: 
  -31
s
MLTG onde ,dSnxvG 
FT

 
A4 – Velocidade média na secção S. 
É a média dos componentes normais das velocidades em cada ponto de S: 
 
S
Q
dSnxv
1
V

S
 
A5 – Valores médios ρm e ϒQ = gM, onde Q = VS e M = ρVS. 
 
ss
mm γdQ
Q
1
 γρdQ;
Q
1
 
A6 – Se ρ = cte na secção S, G = ϒQ = gM, onde Q = VS e M = ρVS 
 
 
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A7 – Coeficiente α da energia cinética: 
.dS
V
v
S
1
s
3
 






 
A8- Coeficiente β da quantidade de movimento: 
.dS
V
v
S
1
s
2
 






 
A9 – Relação entre α e β: 
.23  
 
A10 – Derivada da integral de volume 
.dSnxv
t
f
dt
dF
 :fdF
sC



 


 
A11 – Equação da continuidade na forma integral: 
,d m onde 0,dSnxv
t
m
CSC
  



 
 
 


,MM
t
m
 , seou
 
Onde 
eM
 = vazão em massa em secção de entrada da SC, e 
sM
 = vazão em 
massa em secção da saída da SC. 
A12 – Principio da conservação do volume: 
Para um fluido incompressível, homogêneo ou heterogêneo, ocupando 
totalmente o volume de controle, resulta, 
  
SC
se ,QQou 0,dSnxv

 
Ainda que o movimento seja variável, Qe = vazão em volume em secção de 
entrada do 
C
 e Qs, a de saída. 
A13 – Equação da continuidade na forma diferencial; 
. 0 v div 
t
ρ
, 0 v div ρ
dt
dρ







ou
 
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Para fluido incompressível, 
, 0 v div e 0
dt
dρ


 
Para movimento permanente, 
0.v div 

 
 
Parte B: FILMES - MULTIMIDIAS 
 
Escoamento entre Placas Planas 
https://www.youtube.com/watch?v=XVn-Yyu10Bg 
Este vídeo mostra o perfil de velocidades de um fluido em escoamento entre 
placas planas, com algumas explicações teóricas sobre o assunto. 
Tubo de pitot: 
 https://www.youtube.com/watch?v=Wd9iMV_-b7o 
Linha de trajetória, emissão e corrente: 
 https://www.youtube.com/watch?v=k-XHZjwsKag 
Em português: https://www.youtube.com/watch?v=MUHXzH37Pbc 
 
 
C- BIBLIOGRAFIA 
Assy, Tufi Mamed Mecânica dos Fluidos – Livro III – Cinemática e Dinâmica dos 
Corpos Fluidos – Capitulo VII – Cinemática dos Corpos Fluidos Equação da 
Continuidade. 
 
4.1 – ELEMENTOS CARACTERISTICOS NA SECÇÃO 
 
Exercício 4.1.1 – Determinar vazão em volume, velocidade média, coeficiente α 
e β, bem como os fluxos de energia cinemática, Φc, e da quantidade de 
movimento Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dos escoamentos a seguir. 
Item a: Placas planas concorrentes (θ=π/6), para as quais vr=
1-t
r
, vθ=vz=0 
Solução do item a: 
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 v⃗ =
1-t
r
er⃗⃗ ⃗ e Q=∫ v⃗ A .n⃗ dA, onde n⃗ =er⃗⃗ ⃗ e dA=b.r.dθ (Ver fig. 4.1.1a-I) 
 
Daí, 
Q=b ∫
1-t
r
 .rdθ
π
6
0
 
Q=
bπ(1-t)
6
 
Então, 
v=
Q
A
=
bπ(1-t)
6.b.rθ
=
1-t
r
 
sobre a superfície cilíndrica de raio r (secção de escoamento). 
Como v=
1-t
r
, α=β=1 e 
Φc=
αṁv2
2
=
αρv3A
2
=
ρ
2
(
1-t
r
)
3
(
brπ
6
)=
πbρ
12
(1-t)3
r2
 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗= ∫ ρv⃗ v⃗ .n⃗ dA
Sc
=∫ ρv2er⃗⃗ ⃗brdθ
Sc
=ρ (
1-t
r
)
2
b∫er⃗⃗ ⃗dθ 
Mas er⃗⃗ ⃗=-
deθ⃗⃗ ⃗⃗ 
dθ
 e er⃗⃗ ⃗dθ=-deθ⃗⃗⃗⃗ 
Daí, 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=
ρb(1-t)2
r
(eθ,1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗-eθ,2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=
ρb(1-t)2
r
er⃗⃗ ⃗ 
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Conforme figura 4.1.1a-II, onde er⃗⃗ ⃗=ey⃗⃗ ⃗(1- sin α)-ex⃗⃗ ⃗ cos α, de módulo 
√2(1- sin α)=0,518. 
 
Item b: Canal de fundo inclinado de θ: 
 
v⃗ =vxex⃗⃗ ⃗=v0 [1- (1-
y
h
)
2
] ex⃗⃗ ⃗ 
vy=vx=0 
Sendo 𝑏 a largura do canal na direção de Oz, n⃗ =ex⃗⃗ ⃗ e dA=b dy, então: 
Q=∫ v⃗ .n⃗ dA
Sc
=v0b ∫ [1- (1-
y
h
)
2
] dy
h
0
=
2
3
v0bh=
2
3
v0A 
Então: 
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v=
Q
A
=
2
3
v0 
Daí, 
α=
1
bh
∫
[
 
 
 v0 (2y-
y2
h
2)
2
3
v0
]
 
 
 
3
bdh=
54
35
=1,54
h
0
 
β=
1
bh
∫
[
 
 
 v0 (2y-
y2
h
2)
2
3
v0
]
 
 
 
2
bdh
h
0
=1,2 
Fluxo da Ecin: 
φ
c
=
αṁv2
2
=
αρv35
2
=0,228ρv0
3bh 
Fluxo da quantidade de movimento: 
φ
q
=(βṁv)ex⃗⃗ ⃗=βρv
2Aex⃗⃗ ⃗=0,533ρv0
2bhex⃗⃗ ⃗ 
Item c: Placa Planas finas paralelas: 
 
v⃗ =v0 (1-
y2
h2
) ex⃗⃗ ⃗, com vy=vz=0 
Solução do item c: 
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Q=∫ v⃗ .n⃗ dA
Sc
=∫ v0 (1-
y2
h
2
)bdy 
Com b sendo a largura das placas, segundo Oz. 
Daí: 
Q=
4
3
v0bh=
2
3
v0A 
Então, α=
54
35
=1,54 e β=1,2, iguais aos do exercício anterior. 
Φc=0,456v0
3bh 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=1,067ρv0
2bh 
Item d: tubo cilíndrico circular – movimento laminar; 
 
v⃗ =v0 (1-
r2
R2
) ez⃗⃗ ⃗, com vr=vθ=0 
Solução do item d: 
Q= ∫ v⃗ .n⃗ dA
Sc
 
onde n⃗ =ez⃗⃗ ⃗ e dA=2πdr. 
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Então, 
Q=2πv0 ∫ (1-
r2
R
2
) rdr
R
0
=
πR
2
v0
2
=
v0
2
A 
Portanto, 
v=
Q
A
=
v0
2
=
vmax
2
 
Também, 
α=
1
πR
2
∫
[
 
 
 v0 (1-
r2
R
2)
v0
2 ]
 
 
 
3
2πdr
R
0
=2 
β=
1
πR
2
∫
[
 
 
 v0 (1-
r2
R
2)
v0
2 ]
 
 
 
2
2πdr
R
0
=
4
3
 
Donde, 
Φc=α
ṁv2
2
=
α
2
ρv3A=
πρR
2
vmax
3
8
 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=(βṁv)ez⃗⃗ ⃗=
πρR
2
3
vmax
2 ez⃗⃗ ⃗ 
Item e: Tubo cilíndrico circular – movimento turbulento 
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v⃗ =vmax (
R-r
R
)
1
7
ez⃗⃗ ⃗ 
com vr=vθ=0. 
Solução do item e: 
Q=
98
120
vmax.πR
2
 
v=
98vmax
120
 
α=1,06 e β=1,02 
Φc=0,907ρR
2
vmax
3 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=2,137ρR
2
vmax
2 ez⃗⃗ ⃗ 
Item f: Tubo cilíndrico circular – perfil cônico das velocidades: 
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v=vmax (
R-r
R
)ez⃗⃗ ⃗ 
Com vr=vθ=0. 
Solução do item f: 
Q=
πR
2
3
vmax 
v=
vmax
3
 
α=2,7 e β=1,5 
Φc=0,157ρR
2
vmax
3 
Φq⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=0,524ρR
2
vmax
2 ez⃗⃗ ⃗ 
 
 
Exercício
4.1.2 – Calcular a vazão em massa através da superfície 
paralelepipédica 
0≤x≤a, 0≤y≤b, 0≤z≤c 
do escoamento de campo de velocidades: 
vx=t
2x 
 vy=t
2y 
 vz=z 
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Solução: 
 Sabemos que: 
ṁ= ∫ ρv⃗ .n⃗ dA
Sc
 
onde Sc =S1+S1
'
+S2+S2
'
+S3+S3
'
 
 Determinação de ρ 
dρ
dt
+ρ ∇.v⃗ =0 
∇.v⃗ =
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
=t2-t2+1=1 
Daí, 
dρ
dt
=-ρ e ρ=ρ
0
e-t, onde ρ
0
 é a massa específica para t=0. 
ṁ=∫ ρv⃗ .n⃗ dA
Sc
=ρ
0
e-t ∫ v⃗ .n⃗ dA
Sc
 
para cada instante t. (n⃗ é a normal exterior ao paralelepípedo). 
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∫ v⃗ .n⃗ dA
A1
=- ∫ v⃗ .ey⃗⃗ ⃗dA
A1
=- ∫ vydA
A1
=0 
 
pois em A, vy=-t
2y=0. 
∫ v⃗ .n⃗ dA
A1
'
= ∫ v⃗ .ey⃗⃗ ⃗dA
A1
'
= ∫ vydA
A1
'
=-t2b.a.c. 
Analogamente, 
∫ v⃗ .n⃗ dA
A2
=- ∫ vzdA=0
A2
 
pois vz=z=0 em A2. 
∫ v⃗ .n⃗ dA
A2
'
= ∫ vzdA
A2
'
=c.a.b 
∫ v⃗ .n⃗ dA
A3
=- ∫ vxdA=0
A3
 
pois vx=0 em 𝐴3. 
 
∫ v⃗ .n⃗ dA
A3
'
= ∫ vxdA=t
2a.b.c
A3
'
 
Daí, 
ṁ=ρ
0
e-tabc=ρ
0
∀0e
-t 
onde ∀0 é o volume do paralelepípedo. 
 
 
Exercício 4.1.3 – A velocidade do óleo, que escoa entre duas placas 
convergentes, varia em uma seção de escoamento segundo a equação V =
 Vmax ∗ 
4n
n0
2 ∗ (n − n0), sendo dados: 
Vmax = 15 cm/seg 
n0 = 2cm 
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Determine: 
a) A vazão em volume, supondo que o contorno tem uma largura constante 
b = 23cm. 
b) A velocidade média para esta seção. 
 
Solução: 
 Campo de velocidades: v⃗ = Vmax 
4n 
n0
2
(n0 − n) en⃗⃗⃗⃗ 
 Na seção de escoamento (por definição v⃗ = v en⃗⃗⃗⃗ ) temos Vmax = 15
cm
s
, 
 n0 = 2 cm, b = 23cm (normalmente ao plano representado). 
a) Vazão em volume 
Q = ∫ v⃗ n⃗ 
S
 dA = ∫ v dA
S
=
4Vmax
n0
2 . ∫ n (
n0
0
n0 − n)bdn 
Daí, 
 Q =
2
3
bn0Vmax = 0,46 ∗ 10
−3 m
3
s
= 0,46
l
s
= 460
cm3
s
 
a) Velocidade média 
V =
Q
S
=
2
3bn0Vmax
bn0
=
2
3
Vmax = 0,10
m
s
 
 
 
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Exercício 4.1.4 – Ao medir as velocidades da água no coroamento de um 
vertedor de barragem, foi necessário fazê-lo em uma secção vertical em lugar 
da normal às linhas de corrente. Qual é a vazão estabelecida na secção vertical 
para as velocidades indicadas? 
Dados: 
 Largura do vertedor: 1m. 
 a = 0,305m 
 b = 0,610m 
Pontos Inclinação [◦] Velocidade [m/s] 
1 18 4,57 
2 15 5,11 
3 11 5,94 
4 8 6,82 
5 4 8,01 
 
Cálculo aproximado da vazão: 
Q = ∫ v⃗ n⃗ 
S
 dA =̃ ∑ vi⃗⃗⃗ n⃗ ∆Si = ∑vni⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∆Si, com vni = vi cos αi 
Pontos 1 2 3 4 5 
∆Si [m
2] 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 
cos αi 0,951 0,966 0,982 0,990 0,998 
vi [
m
s
] 4,57 5,11 5,94 6,82 8,01 
vni 4,35 4,94 5,83 6,75 7,99 
Q = ∆Si ∑vni = 0,61 ∗ 29,86 = 18,21 
m3
s
 
 
 
Exercício 4.1.5 – Entre duas placas planas e paralelas está contido um fluido. A 
placa superior é móvel e a inferior é fixa, e o diagrama de velocidade na seção 
é o indicado na figura. Pede-se: 
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a) A velocidade média na seção; 
b) Os coeficientes α e β; 
c) O fluxo da energia cinética e o fluxo da quantidade de movimento. 
Resposta: 
a) V = v0 2⁄ ; b) α = 2 e β = 4/3; 
c) ΦK = ρ.b.y0. v0
3 8⁄ e Φ⃗⃗⃗ Q = ρ.b.y0. v0
2 3⁄ e⃗ x. 
 
 
Exercício 4.1.6 – Quando a velocidade sobre metade de uma seção transversal 
é uniforme e vale 40% da velocidade uniforme sobre o resto da seção, qual é o 
valor de α e β? 
 
Solução: A figura ao lado é uma das 
possíveis representações dos dados do 
problema. 
 
 
Primeiramente, calcularemos V: 
V=
1
S
. ∫ v⃗ . n⃗ . dA
S
, onde S = S1+S2 e S1 = S2 = S 2⁄ . 
V=
1
S
. ∫ v⃗ 1 . n⃗ . dAS1
+
1
S
. ∫ v⃗ 2. n⃗ . dAS2
. 
Em S1: v1= v⃗ 1. n⃗ = 0,4. v2= 0,4 . v⃗ 2. n⃗ ⇒ V = 
1
S
. v1. S1+
1
S
. v2 . S2= 
v1+v2
2
= 0,7. v2. 
 
Cálculo de α e β: 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
α = 
1
S
. [∫ (
v1
0,7.v2
)
3
. dA1+
S1
∫ (
v2
0,7.v2
)
3
. dA2
S2
] =1,55; 
β = 
1
S
. [∫ (
v1
0,7.v2
)
2
. dA1+
S1
∫ (
v2
0,7.v2
)
2
. dA2
S2
] =1,18. 
 
 
Exercício 4.1.7 – Quando a velocidade sobre metade de uma secção vale -10% 
da velocidade uniforme sobre o resto da secção, qual o valor de α e β? 
 
 
Figura 1 - Esquema do campo de velocidades para a questão 4.1.7. 
Resposta: 
V = 0,45 . v0; 
α = 5,48; 
β = 2,49. 
 
 
Exercício 4.1.8 – A distribuição de velocidade num canal percorrido por 
trajetórias retas e paralelas segue a lei: 
v = k(y y0⁄ )
2 
Dado o tubo de Pitot, instalado conforme a figura, pedem-se: 
a) O valor de k; 
b) A vazão por unidade de largura do canal e a velocidade média; 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
c) O coeficiente β, da quantidade de movimento. 
 
São conhecidos: yo = 0,5 m, γ = 1000 N/m³ e g = 10m/s². 
 
 
 
Figura 2 - Esquema da montagem do tubo de Pitot para a questão 4.1.8. 
 
Nota: Para cada trajetória vale a equação de Bernoulli: 
 
𝑣2
2𝑔
+
𝑝
𝛾
+ 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 
 
 
Onde v é a velocidade da partícula fluida, p a pressão e z a altura em relação a 
um referencial fixo. 
 
Resposta: a) k = 5,66 m/s; b) v = k/3; Q = 943 l/s; c) β = 1,8. 
 
 
 
Exercício 4.1.9 – Indica-se na figura a instrumentação necessária para se 
determinar o diagrama de velocidades na secção de diâmetro 0,2 m. Pedem-se: 
a) velocidade em O; 
b) admitindo os diagramas de velocidades constantes na secção, determinar os 
valores de α, β e H (carga total média na secção). 
Dados: 
γ = 1000 kg/m³ ; 
γman = 2870 kg/m
3; 
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pA = 196,13 kPa. 
 
Resposta: vO = 6,12 m/s. Sugestão: 
v2
2g
+ 
p
γ
+ z = cte sobre a trajetória da 
partícula; 
v = V0, α = 1, β = 1, 
H =
αv2
2g
+ 
pA
γ
+ zA = 1,91 + 20,00 − 0,10 = 21,81 m. 
 
 
Exercício 4.1.10 – Pelo funil da figura escoa um líquido, estabelecendo-se, em 
cada instante, o campo vetorial de velocidades dado por: 
v ⃗⃗ ⃗ = −vrer ⃗⃗⃗⃗ ; 
A vazão varia linearmente de 1 m³/s até 0 m³/s entre o instante inicial e final, 
atingido dois minutos depois. Pede-se: 
a) Determinar as componentes da velocidade em coordenadas de Euler. 
b) Determinar as equações das trajetórias e linhas de corrente. 
c) Calcular a aceleração. 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
Solução: 
 Cálculo da vazão 
A vazão variando linearmente com o tempo terá por equação: 
Q = a. t + b 
Para t = 0 s, Q = 1 m³/s e b = 1. 
Para t = 120 s, Q = 0 e a = −
1
120
. 
Daí, 
Q = 1 −
t
120
. 
 Cálculo de vr 
Sendo 
Q = ∫v ⃗⃗ 
S
· n ⃗⃗⃗ dA , 
 
E considerando A como secção de escoamento, com n ⃗⃗⃗⃗ = − er⃗⃗ ⃗ , 
 
Q = ∫−vr
S
er⃗⃗ ⃗ · (−er⃗⃗ ⃗)dA = ∫vrdA .
S
 
Podemos tomar dA = lrdθ e considerar Vr constante sobre a superfície cilíndrica 
de escoamento, r = cte. 
Daí, 
Q = ∫ vr
π
3
0
lrdθ = vrl
π
3 
r. 
 
Nota: Para cada instante a vazão é igual para qualquer secção r = cte, devido à 
equação da continuidade aplicada a um fluido incompressível homogêneo (Veja-
se item 4.2.). 
Então, em coordenadas de Euler (r, θ,
z, t), 
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vr = 
3Q
πlr
 = 
3
πlr
(1 − 
t
120
) ; vθ = 0; vz = 0. 
Determinação das trajetórias: 
vr = 
dr
dt
= 
3
πlr
(1 − 
t
120
) , 
rdr = 
3
πl
(1 − 
t
120
)dt 
Integrando 
r2 − r0
2 = 
6
πl
(t −
t2
240
) , 
𝑟 = √r0
2 + 
6
π𝑙
(t −
t2
240
) ; 
vθ = r
dθ
dt
= 0 e θ = cte = θ0 ; (Plano contendo Oz) 
vz =
dz
dt
= 0 e z = cte = z0 . (Plano normal a Oz) 
 
As trajetórias são retas radiais, intersecção dos planos acima. 
Determinação das linhas de corrente: 
dr
vr
= 
rdθ
vθ
= 
dz
vz
 . 
Como vθ = 0 ; r
dθ
dt
= 0 e θ = cte = c1 ; 
vz = 0 ; 
dz
dt
= 0 e z = cte = c2 . 
Como vemos, as trajetórias e linhas de corrente coincidem apesar do movimento 
ser variado. 
 Cálculo da aceleração: 
a ⃗⃗ = 
dv⃗⃗ 
dt
= 
∂v⃗⃗ 
∂t
+ (v⃗ ^∇). v⃗ e v⃗ = −vrer⃗⃗ ⃗ ; 
dv⃗ 
dt
= derivada local = −
∂vr⃗⃗ ⃗
∂t
er⃗⃗ ⃗ = 
er⃗⃗ ⃗
40πrl
 ; 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
 
4.2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
Exercício 4.2.1 – Um fluido incompressível escoa numa tubulação conforme a 
figura 
 
Calcule a velocidade média do trecho 2, sabendo-se que no trecho 1: 
v⃗ = vmax (
R − r
R
)
1
7
 
vmax = 0,122 m/s 
Solução: 
 Aplicando a equação da continuidade aos sistemas fluidos que em 
instantes sucessivos ocupam o volume de controle fixo representado em 
pontilhado na figura. A superfície de controle pode ser desdobrada em: 
Sc = Ss + Se + SL 
Tem-se: 
∂
∂t
∫ ρd∀
∀C
= 0 
e 
∫ 
Sc
= ∫ 
Ss
+ ∫ 
Se
+ ∫ 
SL
 
Sobre SL, v⃗ . n⃗ = 0 e daí: ∫ ρv⃗ . n⃗ dA = 0
SL
. 
Sobre Se, ve⃗⃗ ⃗. ne⃗⃗⃗⃗ < 0 e sobre Ss, vs⃗⃗ ⃗. ns⃗⃗ ⃗ > 0. 
O fluido, sendo incompressível, ρe = ρs = ρ. 
Então, 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
∫ ρve⃗⃗ ⃗. ne⃗⃗⃗⃗ dAe
Se
+ ∫ ρvs⃗⃗ ⃗. ns⃗⃗ ⃗dAs
Ss
= −ρveSe + ρvsSs = 0 
Daí, veSe = vsSs 
E vs = ve
Se
Ss
= ve (
De
Ds
)
2
= 25ve 
Como vimos no exercício 4.1.1 e), 
ve =
98
120
vmax = 0,1
m
s
 
Portanto, 
vs = 2,5 m/s 
 
 
Exercício 4.2.2 – O foguete da figura queima β kg/s do fluído combustível 
e tem inicialmente uma massa m0. A boca de exaustão tem área S e os gases 
atravessam com massa específica ρ. Determinar a velocidade de saída dos 
gases. 
 
 
Solução: 
 Aplicando a equação da continuidade na forma integral ao ∀C figurado 
em pontilhado, 
∂
∂t
∫ ρd∀
∀c
+ ∫ ρv⃗ . n⃗ dA
Sc
= 0 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
com 
∂
∂t
∫ ρd∀
∀C
=
∂m
∂t
 
 Se o foguete queima constantemente β kg/s de combustível, 
m = m0 − βt 
onde 𝑚0 é a massa no instante 𝑡 = 0 (origem da contagem do tempo). Daí, 
∂m
∂t
= −β 
 Como SC = S + SL e, em SL, v⃗ . n⃗ = 0, 
∫ ρv⃗ . n⃗ dA
Sc
= ρvS 
 Portanto, 
−β + ρvS = 0 
vz =
β
ρS
 
Obs: Esta é a velocidade relativa ao foguete. 
 
 
Exercício 4.2.3 – Um reservatório de gás tem uma válvula que controla a saída 
do gás de forma que a pressão interna será reduzida segundo a lei: 
p = p0(1 − αt
2) 
 Sabendo-se que a transformação do gás no reservatório é isotérmica 
(p/ρ constante), e que no instante t = 10 s a abertura da válvula é tal que a 
área de passagem é A = 0,5 m2, calcular: 
1. Vazão em massa do gás no instante t = 10 s; 
2. Vazão em volume nesse instante; 
3. Velocidade média de saída do gás nesse instante; 
4. Massa de gás contida no reservatório nesse mesmo instante; 
5. Tempo de esvaziamento do reservatório; 
6. Massa de gás no reservatório após o esvaziamento; 
7. Traçar a curva de esvaziamento do reservatório em função do tempo 
ṁ = ṁ(t), e verificar que a área abaixo da curva representa a massa do 
gás que saiu até o instante considerado. 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
Dados: 
∀= 10 m3 
ρ0 = 5
kg
m3
 
p0 =
10kg
cm2
 
α = 0,005 s−2 
patm = 1
kg
cm2
 
SC = S + SL 
Solução: 
 Cálculo da vazão em massa: 
ṁ(t) = ρ(t). v(t). S(t) 
 Sendo isotérmica a transformação do gás no reservatório, 
p
ρ
=
p0
ρ0
 
p
p0
=
ρ
ρ0
= 1 − αt2 
 Da equação da continuidade, 
∂m
∂t
+ ∫ ρv⃗ . n⃗ dA
Sc
= 0 
∂m
∂t
+ ṁ = 0 
m = ρ∀= ρ0∀(1 − αt
2) = m0(1 − αt
2) 
onde, 
m0 = ρ0∀= 50 kg 
∂m
∂t
= −2αm0t 
ṁ(t) = 2αm0t 
Daí, 
1. 
ṁ(10) = 2.0,005.50.10 = 50 kg/s 
2. 
Q(t) =
ṁ(t)
ρ(t)
=
2αm0t
ρ0(1 − αt2)
∴ Q(10) = 2
m3
s
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
3. 
v(t) =
Q(t)
S
=
2αm0t
ρ0S(1 − αt2)
; v(10) =
2
0,5
= 4
m
s
 
4. m(t) = m0(1 − αt
2) e m(1) = 25 kg 
5. O gás parará de sair quando a pressão no interior do reservatório igualar 
a pressão atmosférica, quando: 
 
p
p0
=
1
10
= 1 − 0,005t2 
no qual 
t = 13,4 s 
6. m(13,4) = 50(1 − 0,005.13,42) = 50.0,1 = 5 kg 
7. Curva ṁ = ṁ(t) 
 
 
m(t) = ∫ ṁ(t). dt
T
0
 
O que corresponde à área hachurada do gráfico ao lado. 
 
 
Exercício 4.2.4 – Um botijão de gás tem, no instante t = 0, um quinto de seu 
volume ocupado por gás liquefeito. Sendo V a velocidade de saída do gás na 
secção A, determinar: 
a) O volume de gás liquefeito num instante t[Vi (t)]: 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
b) O tempo decorrido até termos somente gás no botijão: 
 
Dados: 
ρg = massa específica do gás 
ρL = massa específica do gás liquefeito 
V0 = Volume do botijão 
 
Solução: 
No instante inicial VL =
V0
A
 
Vazão em massa do gás em S, ṁ = ρg ∗ V ∗ A 
Aplicando a equação da continuidade ao VC indicado em pontilhado, 
δm
δt
+ ρg ∗ V ∗ A = 0 (A) 
Onde ṁ = ṁL + ṁG 
Como a pressão é constante, enquanto houver gás liquefeito, ρg = cte 
1) Seja ∆VL =
V0
A
− VL =
∆mL
ρL
= Variação de volume da fase líquida . Então: 
∆mL = ρL∆VL 
Mas a variação da massa de gás liquefeito deve suprir a saída de gás e o 
preenchimento de ∆V com gás. Daí, usando a equação (A), 
∆mL = ρL∆VL = ρg∆VL + ρg ∗ V ∗ A ∗ t e VL =
V0
A
− 
ρg∗V∗A∗t
ρL−ρg
 
2) Para VL = 0 
T=V0(ρL−ρg)
5ρgVA
 
 
 
Exercício 4.2.5 – No dispositivo da figura que gira a 10rad/s, são admitidos 
0,5𝑚3/𝑠 de água pela parte central, os quais se repartem por 4 guias com áreas 
de saída, normalmente ao fluxo de água, 0,05 m2 cada uma. A água deixa o 
dispositivo a 30 ̊ em relação à normal n⃗ = er⃗⃗ ⃗. Qual é a velocidade média de saída 
da água em relação à Terra? 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
 
Solução: 
Aplicando-se a equação da continuidade ao VC formado pelas 4 guias e 
a entrada central obtém-se: 
δm
δt
+ ∫ ρ v⃗ X n⃗ dA = 0
Sc
 
Onde: 
SC = S1 + S2 + S3 + S4 + ∑ (∑ á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑔𝑢𝑖𝑎𝑠) 
 
Sendo o movimento permanente (regime dinamicamente estabelecido, 
isto é, w = cte e Q = cte) chegamos a: 
δm
δt
= 0 ṁ1 + ṁ2 + ṁ3 + ṁ4 = 0 
Por simetria, ṁi = ṁ =
ṁ0
4
= 
ρQ0
4
= ρQi. 
Então, 
Qi = VniSi =
Q0
4
 
Vni =
Q0
4Si
=
0,5
4 ∗ 0,05
= 2,5m s⁄ 
Daí, 
Vi =
Vni
cos30°
= 2,89m s⁄ 
Esta é a velocidade relativa à guia. Para se obter a velocidade em relação 
à Terra deve-se somar, vetorialmente, a velocidade de arrastamento, em 
Pi, à velocidade relativa V⃗⃗ i. 
Daí: 
VT⃗⃗⃗⃗ = ω R eθ⃗⃗⃗⃗ + V⃗⃗ i 
VT⃗⃗⃗⃗ = 10 ∗ 0,5 ∗ eθ⃗⃗⃗⃗ + 2,89 ∗ ei⃗⃗ = 5 eθ⃗⃗⃗⃗ + 2,89ei⃗⃗ 
ei⃗⃗
= ei⃗⃗ ^er⃗⃗ ⃗ ∙ er⃗⃗ ⃗ + ei⃗⃗ ^ eθ⃗⃗⃗⃗ ∙ eθ⃗⃗⃗⃗ =
√3
2
 er⃗⃗ ⃗ −
eθ⃗⃗⃗⃗ 
2
 
VT⃗⃗⃗⃗ = 3,555eθ⃗⃗⃗⃗ + 2,5 er⃗⃗ ⃗ 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
VT⃗⃗⃗⃗ = √3,5552 + 2,52 = 4,35
m
s⁄ 
 
Exercício 4.2.6 – Verificar se as distribuições de velocidade abaixo 
satisfazem a equação de continuidade para fluidos incompressíveis: 
 
a) v⃗ = (4 − 2x + y)ex⃗⃗ ⃗ + (3 + 2y − z)ey⃗⃗ ⃗ + 27(x − 1)ez⃗⃗ ⃗; 
b) v⃗ = (2xy)ex⃗⃗ ⃗ + (x
2 + y2)ey⃗⃗ ⃗; 
c) v⃗ = (ln x2y2)ex⃗⃗ ⃗ + (
2x
y
− ln xt) ey⃗⃗ ⃗; 
d) v⃗ = (
4x
x2+y2
) ex⃗⃗ ⃗ + (
4y
x2+y2
) ey⃗⃗ ⃗, para (x, y) ≠ (0,0); 
Sugestão: Dada a equação da continuidade na forma diferencial 
dρ
dt
+
ρdiv v⃗ = 0, esta se reduz a div v⃗ = 0 para cada um dos campos de 
velocidade acima. 
Respostas: 
a) Sim 
b) Sim 
c) Não 
d) Não 
 
 
Exercício 4.2.7 – I. Determinar as condições para que vx = a.x + b.y e 
vy= c.x + d.y possam representar as componentes da velocidade de um fluido 
incompressível em movimento permanente. 
 II. Demonstrar que no caso de o movimento ser irrotacional (isto é, rot 
v⃗ = 0), as linhas de corrente são hipérboles. 
 Resposta: 
I. a = −d; c = b; 
II. a = b; x2 – y2 – 2xy = c1; z = c2; 
 
Exercício 4.2.8 – A água escoa por um conduto longo de diâmetro D, vinda de 
um reservatório aberto para a atmosfera. Numa seção 1 − 1 do conduto, 
suficientemente afastada do reservatório, o diagrama de velocidades é dado por 
v(r,t)=vmáx(t). (
R-r
R
)
1 7⁄
 
 Pedem-se: 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
a) A velocidade média na superfície livre 0 − 0 da água no reservatório; 
b) A variação da massa de água em relação ao tempo, em cada instante, 
entre as seções 0 − 0 e 1 − 1. Deve-se procurar a solução deste problema 
supondo: 
I. Uma região de controle fixa limitada por 1 − 1 e contendo em seu 
interior o reservatório e o trecho do conduto desde o reservatório 
até a seção 1 − 1; 
II. Uma região de controle parcialmente deformável limitada pelas 
seções 1 − 1 e 0 − 0 e pelas paredes do reservatório e do conduto; 
III. Uma região de pontos contendo o sistema fluido delimitado no 
instante t por 1 − 1 e 0 − 0 a fim de fazer uso da Equação da 
Continuidade na forma integral. 
 
 
Solução: 
 Tomemos inicialmente a região de controle I de ∀C1 e SC1. Da 
equação da continuidade na forma integral, 
∂m
∂t
+∫ ρ(SC)1
. (v⃗ .n⃗ ). dA=0, onde SC1 = S1+ SL1. Em SL1, (v⃗ .n⃗ )=0. 
 Daí, 
∂m
∂t
+ṁ1=
∂m
∂t
+ ρ . V1(t) . S1=0. (4.2.8.1) 
 No interior do (∀C)1 a massa de água m pode ser posta na forma 
m(t)= ρ . Q(t), com ρ = cte. 
 Então, 
∂m
∂t
= ρ . 
∂∀
∂t
 . 
 Sendo SO = cte no reservatório, 
∂∀
∂t
 = SO.
dz
dt
=SO. VO , 
e, substituindo em (4.2.8.1), S1. V1= SO .VO . 
 Temos pelo exercício 4.1.1. e), que V1=
98
120
. Vmax . 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 Daí, VO=
98
120
.Vmax .
S1
SO
 e, 
∂t
∂m
=-ρ.V1 .S1=-
98.π
120
.ρ.Vmax . R
2
 . 
 Tomemos, em seguida, o ∀C2 em pontilhado cuja SC2 = S1 + SO +
SL2. A SC2 é deformável e, então, a equação da continuidade será, 
fazendo-se v⃗ =vb⃗⃗ ⃗+vf⃗⃗ , 
d
dt
. ∫ ρ.
(SC)2
d∀+ ∫ ρ
(SC)2
. vf⃗⃗ .n⃗ .dA=0 , 
com 
d
dt
∫ ρ.
𝑆𝐶2
d∀ = 
∂
∂t
∫ ρ.
∀𝐶2
d∀+ ∫ ρ
𝑆𝐶2
. vb⃗⃗ ⃗.n ⃗⃗⃗ .dA , 
onde vb⃗⃗ ⃗ = velocidade em cada ponto P de (SC)2 em relação ao sistema S 
de referência, ou seja, a velocidade de arrastamento do bordo; 
 vf⃗⃗ = velocidade da partícula com centro em P em relação à SC2 que 
também passa por P, ou seja, é a velocidade do fluido relativa ao bordo. 
 Ora, em SL2: vf⃗⃗ .n⃗ =0 e vb⃗⃗ ⃗=0; 
 SO :vb⃗⃗ ⃗.n⃗ =-VO e vf⃗⃗ =0 ; 
 S1 :vb⃗⃗ ⃗=0 e vf⃗⃗ .n⃗ =V1 . 
Então, 
∂
∂t
∫ ρ.
∀𝐶2
d∀ - ρ. VO. SO+ρ.V1. S1=0. 
O primeiro termo é nulo, pois fixado ∀C2 e sendo ρ=cte, 
∂
∂t
∫ ρ(∀C)2
.d∀=0 e VO=
V1.S1
S0
 
Também, 
d
dt
∫ ρ.(∀C)2
d∀ =-ρ.VO. SO=ρ.V1 .S1, como no caso do ∀𝐶1 já visto. 
Considerando finalmente o sistema fluido delimitado no instante t pelas 
secções 1 − 1, 0 − 0 e por SL2, e aplicando a equação da continuidade, 
∂
∂t
∫ ρ.
∀
d∀ + ∫ ρ.v⃗ .n⃗ .dA
S
=0, chegamos aos mesmos resultados. 
 
 
Exercício 4.2.9 – Pelas seções 0 − 0 e 1 − 1 de um misturador entram, 
respectivamente, água com a vazão de QO=0,3 L s⁄ e óleo com a vazão de 
Q1=0,06 L s⁄ . Determinar a velocidade média da mistura homogênea na seção 
2 − 2 de diâmetro D2=30 cm, para as condições seguintes: 
a) o pistão imóvel no cilindro; 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
b) o pistão se desloca para o interior do cilindro com a velocidade de 
30 cm/s; 
Adotar o peso específico do óleo igual a 8000 N/m3 e o diâmetro do cilindro igual 
a 5 cm. 
 
Solução: 
a) Pistão imóvel: 
Adotaremos a SC pontilhada na figura. É, neste caso, uma SC 
indeformável. Da Equação da Continuidade, temos: 
∂
∂t
∫ ρ.
∀C
dV+ ∫ ρ.v⃗ .n⃗ .dA
SC
=0 e -ṁ0-ṁ1+ṁ2=0 
Nota: Os sinais das vazões em massa ṁ são dados pelos sinais 
de v⃗ .n⃗ em cada seção. A vazão em S3 é nula (ṁ3=0). Então: 
ṁ2=ṁ0+ṁ1=ρ0. Q0+ρ1. Q1=1000.0,3.10
-3
+800.0,06.10
-3
=348.10
-3
kg s⁄ 
Por outro lado, sendo o fluido incompressível, o sistema fluido, que 
tem por característica principal massa constante, terá também volume constante, 
isto é: 
d∀
dt
=0. Daí: 
∂∀
∂t
+ ∫ v⃗ .n⃗ .dA
SC
=0 e Q2=Q0+Q1=0,36 L s⁄ . 
Também, Q2=∫ v⃗ .n⃗ .dAS2
=v2. S2 e v2=
Q2
S2
=
4.0,36.10-3
3,14.0,32
=0,51 cm s⁄ . 
Para se obter a massa específica média teríamos, em 2 − 2: 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
ρ
2
=
ṁ2
Q2
=
348.10
-3
0,36.10
-3
=967 kg m3⁄ . 
 
b) Pistão móvel: 
Neste caso a SC escolhida será parcialmente deformável (devido 
ao movimento de 𝑆3). A Equação da Continuidade será: 
d
dt
∫ ρ.
∀CD(t)
d∀+∫ ρ
SCD(t0)
. vf⃗⃗ ⃗⃗ .n⃗ .dA=0 (I) 
Onde 
d
dt
∫ ρ.
∀CD(t)
d∀ = 
∂
∂t
∫ ρ.
∀CD(t0)
d∀+ ∫ ρ.
SCD(t0)
vb⃗⃗ ⃗.n⃗ .dA . 
Em S0, S1 e S2, vf⃗⃗ é a velocidade do fluido que atravessa as 
seções conforme se considerou no item a. Em S3, entretanto, vf⃗⃗ =0, pois o fluido 
não a atravessa. Em S0, S1 e S2, vb⃗⃗ ⃗, velocidade do bordo em relação ao 
sistema de referência, é nula. Em S3, entretanto, vb⃗⃗ ⃗=-v3. n⃗ 3, com v3=0,3 m s⁄ . 
Conforme visto em 4.2.8, 
∂
∂t
∫ ρ.
∀CD(t0)
d∀=0. Assim: 
d
dt
∫ ρ.
∀CD(t)
d∀ = ∫ ρ.
SCD(t0)
vb⃗⃗ ⃗.n⃗ .dA=-ρm.v3.S3 
Onde ρ
m
 é a massa específica média no interior do ∀C (considera-
se a existência de uma mistura homogênea). De (I): 
-ṁ0-ṁ1+ṁ2-ρm. v3. S3=0. 
Também devido à conservação de volume: 
-Q0-Q1+Q2-v3.S3=0 
Q2=Q0+Q1+v3.S3=0,3.10
-3
+0,06.10
-3
+
0,3.π.25.10
-4
4
=0,95.10
-3
m3 s⁄ 
v = 1,34 cm s⁄ 
Massa específica média em 2 − 2: 
ρ
2
=
ṁ2
Q2
 com ṁ2=ṁ0+ṁ1+ρm.v3. S3, onde ρm= ρ2; 
ρ
2
=
ṁ0+ṁ1
Q2
+
ρ
2
.(v3. S3)
Q2
=
348
0,95
+ρ
2
.
0,59
0,95
=968 kg m3⁄ 
Nota: Considerando uma SCI, neste caso b), chegaríamos ao 
mesmo resultado. 
Verifique. 
 
 
Exercício 4.2.10. Uma trajetória está sendo aplicada por meio de uma seringa 
cujas dimensões e outros dados estão indicados na figura. Definir dois tipos de 
regiões de contorno a fim de se avaliar a porcentagem do volume do 
medicamento que está sendo perdido por vazamento devido à pequena folga 
entre as meças móveis e fixas da seringa. 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS
Figura 3 - Esquema da seringa para a questão 4.2.10. 
 
Solução: 
Definamos como região de controle a região circundada pela SCD pontilhada na 
figura. 
 
SCD = SS + (S1 + Sf) + SL = SS + S2 + SL, 
 
 
 
 
Onde 
 
SS = superfície de saída =
πDS
2
4
, 
S1 = superfície móvel do êmbolo da seringa =
πD1
2
4
, 
Sf = superfície de fuga do medicamento = S2 − Sf =
π(D2
2 − D1
2)
4
, 
S2 = superfície do cilindro da seringa =
πD2
2
4
, 
 
SL = superfície lateral, em que v⃗ . n⃗ = 0. 
 
Aplicando a equação da continuidade para SC deformáveis (SCD), obtemos: 
 
D
Dt
∫ ρd∀
∀CD(t)
+ ∫ ρ(v⃗ f . n⃗ )dA =
SCD(to)
 0, (A) 
 
Onde 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
D
Dt
∫ ρd∀
∀CD(t)
=
∂
∂t
∫ ρd∀
∀CD(to)
+ ∫ ρ(v⃗ b . n⃗ )dA =
SCD(to)
 0, 
 
 
Em S1, 
 
vf⃗⃗⃗ = 0⃗ e vf⃗⃗⃗ = 0⃗ 
 
Em SS, 
 
vf⃗⃗⃗ = vs⃗⃗ ⃗ = vsex⃗⃗ ⃗ e vb⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 
 
Em Sf, 
 
vf⃗⃗⃗ = −Vex⃗⃗ ⃗ e vb⃗⃗⃗⃗ = vo⃗⃗⃗⃗ 
 
Onde V é a velocidade média relativa do medicamento que se perde. 
 
Em (A): 
 
∂
∂t
∫ ρd∀
∀CD(to)
+ ∫ ρ(v⃗ 0 . n2⃗⃗⃗⃗ )dA + ∫ ρ(vsex⃗⃗ ⃗ . ns⃗⃗ ⃗)dA +
Ss
∫ −ρ(Vex⃗⃗ ⃗ . nf⃗⃗ ⃗)dA
Sf
=
S1+Sf=S2
 0, 
 
Com Qf = ∫ −ρ(Vex⃗⃗ ⃗ . nf⃗⃗ ⃗)dASf
, temos: 
 
−ρv0S2 + ρvsSs + ρQf = 0 ⇒ Qf = v0S2 − vsSs 
 
Daí, 
Qf = 8,71 . 10
−9 m3/s 
Vf = 6,8 . 10
−3 m/s 
∀p= 4,36 . 10
−8 m3, pois t =
12,7
2,54
= 5s e ∀p= Qf . t, 
 
A perda encontrada é de 10,8%, pois o volume inicial de medicamento era de 
402,2 mm³. 
 
Uma outra forma de resolver o problema seria a de considerar uma SCI formada 
pelas secções 0 − 0, S − S e SL. 
Neste caso, 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
∂m
∂t
+ ∫ ρ(v⃗ . n⃗ )dA = 0
SC=Ss+S0+SL
 
 
Ou seja, 
 
∂m
∂t
+ ρvsSs + ∫−ρ(v − vo)ex⃗⃗ ⃗. (−ex⃗⃗ ⃗)dA = 0 
 
 
 
Figura 4 - Esquema da seringa para a solução da questão 4.2.10. 
 
 
Como 
m = m0 − ρS1x = mo − ρv0S1t 
 
 
 
Então: 
∂m
∂t
= −ρv0S1 = ρv0(S2 − S1) − ρQf − ρvsSs 
 
Daí, 
 
Qf = v0S2 − vsSs 
 
Como já havíamos calculado. 
 
 
Exercício 4.2.11. Na instalação da FIGURA, sabe-se que, quando a vazão Q 
passa bruscamente para Q0, a superfície livre do líquido na chaminé adquire um 
movimento de oscilação dado por: 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
z(t) = C . sen(w. t), 
 
Onde w = 2π/T, T é o período e C uma constante. Determinar a lei de variação 
da velocidade média numa seção da galeria. 
 
 
Figura 5 - Esquema da instalação para a questão 4.2.11. 
 
Solução: 
 
z(t) = C. sen(wt), com w = 2. π/T, 
T = período, 
C = constante. 
 
No ∀CD figurado, temos: 
Em ∀1, v ≅ 0. 
Em ∀2, velocidade média = V. 
Em ∀3, velocidade média = U. 
Aplicando a Lei dos nós em (A), para o caso da figura: 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
−V
πD2
4
+ U
πD1
2
4
+ Q0 = 0. 
 
Daí, 
V = U (
D1
D
)
2
+
4Q0
πD2
= velocidade média na galeria, 
 
Onde 
U =
dz
dt
= C.w. cos(wt) =
2πC
T
cos (
2πt
T
). 
 
Para 
T
4
< t < 3
T
4
,U < 0 (movimento descendente), 
V = 
4Q0
πD2
− |U|. (
D1
D
)
2
. 
 
 
Exercício 4.2.12. O filtro de admissão de combustível de uma certa máquina é 
formado por um elemento poroso com forma de tronco de cone. O combustível 
penetra no filtro com uma vazão de 10 l/s. A distribuição de velocidades na face 
superior é linear com vmax = 0,3 m/s. Qual a vazão de combustível que será 
filtrado? 
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
Figura 6 - Esquema do filtro de admissão para a questão 4.2.12. 
 
Resposta: 8,8 l/s. 
 
 
Exercício 4.2.13 - Água escoa por um conduto que possui dois ramais em 
derivação. O diâmetro do conduto principal é 2R1 = 15 cm e os das derivações 
são 2R2 = 2,5 cm e 2R3 = 5 cm respectivamente. O perfil das velocidades no 
conduto principal é dado por v1 = vmax1 [1 − (
r
R1
)
2
] nas derivações v =
 vmax2,3(1 −
r
R2,3
)1/7. Se vmax1 = 0,02 m/s e vmax2 = 0,13 m/s, determinar a 
velocidade média no tubo de 5 cm de diâmetro. 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
 
Solução: 
 
Aplicando a equação da continuidade e sabendo que se trata de um 
sistema em regime permanente, tem-se: 
Q1 + Q2 + Q3 = 0 
∫v1⃗⃗ ⃗ ⋅ n1⃗⃗⃗⃗ dS1
S
+ ∫ v2⃗⃗ ⃗ ⋅ n2⃗⃗⃗⃗ dS2
S2
+ ∫ v3⃗⃗ ⃗ ⋅ n3⃗⃗⃗⃗ dS3
S3
= 0 
 Considerando que o fluido entra pela seção (1) e sai pelas seções (2) e 
(3), e sabendo que, por se tratar de uma seção circular, tem-se: 
dA = 2πrdr 
2π∫ v1rdr
R1
0
= 2π(∫ v2rdr
R2
0
+ ∫ v3rdr
R3
0
) 
 Das aulas de cálculo, tem-se a primitiva da integral abaixo: 
∫(1 −
r
R
)
1
7
rdr = −
7
120
 (1 −
x
R
)
1
7
(R − r)(7R + 8r) 
Substituindo os valores e resolvendo as integrais: 
0,02
(0,075)2
4
= 0,13.6,38.10−5 + vmáx32,55.10
−4 
vmáx3 = 0,078 m/s 
 A velocidade média pode ser dada entre a razão entre a vazão volumétrica 
e a área da seção. Assim: 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
v3̅̅̅ =
∫ v3rdr
R3
0
πR3
2 =
0,078.2,55.10−4
4,91.10−4
= 0,0634 m/s 
 (Algumas contas podem diferir dos valores obtidos pois os mesmos foram 
calculados com precisões maiores, não mostradas na resolução). 
 
 
Exercício 4.2.14 - Por um conduto convergente escoa água. Na seção 
convergente, de 20 cm de diâmetro, água escoa com vazão de Q = 10 l/s. O 
conduto varia de diâmetro linearmente e, na saída, tem 10 cm. Determinar, em 
m/s, a expressão que fornece a velocidade numa seção genérica do convergente 
de abscissa x. Considerar L o comprimento do conduto. 
 
Solução: 
 
A função que relaciona o diâmetro da seção, aqui já adotando o resultado 
em metros, em função da abscissa 𝑥 é: 
D(x) = −
0,1
L
x + 0,2 
 Aplicando a equação da continuidade entre a entrada e uma posição 
genérica em 𝑥, tem-se: 
Qe + Qx = 0 
−Q + A. v̅ = 0 
 O sinal da vazão de entrada é negativo, pois adota-se vazão negativa na 
entrada do volume de controle. A vazão na seção genérica é dada pelo produto 
da área e velocidade média da seção, que é o valor procurado. 
v̅(x) =
4Q
πD(x)2
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
Ou, substituindo a definição de D(x) 
v̅ =
0,04
π (−
0,1
L x + 0,2)
2 
 
 
Exercício 4.2.15 – O perfil de velocidades num líquido escoando em regime 
laminar ao longo de uma parede vertical é: 
vx =
γy
2μ
(2h − y) 
a) provar que a velocidade média do líquido é 2/3 da velocidade na superfície 
livre; 
b) calcular h e a velocidade média para 𝜈 = 10−6𝑚2/𝑠, quando a vazão por metro 
de largura de escoamento é de 0,1 l/s. Considere g = 10 m/s². 
 
 
Solução: 
Item a: 
 A velocidade média é definida como: 
v̅ =
Q
A
 
 v̅ =
1
A
∫v⃗ ⋅ n⃗ dA
S
 
 Supondo que: 
dA = L. dy 
 Onde L é a largura do escoamento. Assim: 
v̅ =
1
Lh
∫
γy
2μ
(2h − y)
h
0
Ldy 
v̅ =
1
h
γ
2μ
 [hy2 −
y3
3
]
0
h
 
APOSTILA 4 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS SISTEMAS FLUIDOS 
v̅ =
γ
3μ
h2 
 O escoamento a 2/3 da velocidade da superfície é: 
vx(2/3h) =
γ
2μ
2
3
h (2h −
2
3
h) 
vx(2/3h) =
γ
3μ
h2 
 Observa-se que
v̅ = vx(2/3h), como desejava-se provar. 
 
Item b: 
 A vazão por metro de largura é dada por: 
Q′ = ∫
γy
2μ
(2h − y)
h
0
dy 
Q′ =
γ
3μ
h3 
Q′ =
ρg
3μ
h3 
Q′ =
g
3ν
h3 
 Substituindo os valores, chega-se à: 
h = 0,000311 m 
Com o valor de h, calcula-se a velocidade média pela expressão 
desenvolvida no item anterior. Assim: 
v̅ =
Q′
h
 
v̅ = 0,322 m/s