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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE – UNINORTE 
LAUREATE INTERNACIONAL UNIVERSITIES 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA MODERNA – PROPRIEDADES DOS GRUPOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus 
2018 
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Everaldo Sampaio 15287254 
Raimundo João da Silva dos Santos 15262596 
Tiago Tadeu 15254364 
George da Silva Araújo 15272737 
Emanuel Gomes da Silva 13320122 
Filipi Jardim 15188728 
 
 
 
 
ÁLGEBRA MODERNA – PROPRIEDADES DOS GRUPOS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado Uninorte para obtenção de 
nota parcial na disciplina Álgebra Moderna, 
ministrada pela professora Mestra Célia Maria 
Batista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus 
2018 
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SUMÁRIO 
 
Introdução....................................................................................................................... 04 
1. Grupos..........................................................................................................................05 
 1.1 Definição de Grupos...............................................................................................05 
2. Propriedades dos Grupo.............................................................................................. 05 
 2.1 Unicidade do Elemento Neutro..............................................................................05 
 2.2 Elementos Simétricos.............................................................................................06 
 2.3 Simétrico de um composto.................................................................................... 06 
 2.4 Elementos Simplificáveis...................................................................................... 07 
 2.5 Equação num Grupo...............................................................................................09 
 2.6 Potência e Múltiplos num Grupo...........................................................................11 
 Referências Bibliograficas............................................................................................. 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
Apresentamos neste trabalho uma parte importante de Álgebra Moderna aplicadas 
nas Propriedades de um Grupo. Iniciamos com a definição de um Grupo e as propriedades 
que o define para a sua existência que são: a associatividade, elemento neutro e elemento 
simétrico, como também a comutatividade que prova que o mesmo é abeliano. 
Depois exploramos todas as propriedades dos grupos pelos seus teoremas, com 
aplicações de exemplos práticos, fechando assim o conjunto G e suas propriedades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. GRUPOS 
 1.1 – Definição: 
 Parte do trabalho de Galoir e Abel. 
 
 Um grupo é um par (G,*) onde G é um conjunto não vazio e * uma 
operação binária em G satisfazendo as propriedades: 
 
 É associativa, ou seja, (x * y) * z = x * (y * z), Ɐ x, y, z E G 
 Admite elemento neutro, ou seja, Ǝ e E G tal que x * e = e * x = x, Ɐ x E G 
 Admite elemento simétrico, ou seja, x E E tal que x´ * x = x * x´ = e, V x E G 
 
 Além disso, se * for comutativa, então o grupo G é denominado comutativo ou 
abeliano. 
 
2. PROPRIEDADES DOS GRUPO 
 2.1 – Unicidade do Elemento Neutro 
 2.1.1 Teorema 
 Num grupo (G, ), o elemento neutro é único. 
 
 Demonstração 1: 
 
 Sejam e a = a (pela esquerda) 
 a e = a (pela direita) Ɐ a E G 
 
Exemplo 1: 
 
 No conjunto G = { x E R, x # 1 }, consideremos a operação definida por 
 
 x * y = x + y – xy. Verifique se ( G, * ) possui um único elemento neutro. 
 
x * e = x = e * x 
 
Resolução: x * e = x 
 x + e – xe = x 
 e – xe = 0 
 e ( 1 – x) = 0 (para que esse produto seja = 0, então e = o e 1-x = 0) 
 
 Mas como x # 1 então: e = 0 (elemento neutro) 
 
 Agora vamos trabalhar com a outra parte e * x 
 
 e * x = e + x – ex 
 0 + x – 0x 
 = x , portanto e = 0 é o elemento neutro 
 
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2.2 – Unicidade do Elemento Simétrico 
 
 2.2.1 Teorema 
 Num grupo ( G, ), cada elemento de G admite um único simétrico. 
 2.2.2 Corolário 
 Para todo elemento do grupo ( G, ) cujo simétrico é x', tem–se (x')' = x. 
 2.2.2 Demonstração: 
 
 Pela definição de simétrico, temos: 
 
 (x')' x' = e e x' (x')' = e 
 [(x')' x' ] x = e x x [x' (x')' ] = x e 
 (x')' [x' x ] = x [x x' ] (x')' = x 
 (x')' e = x e (x')' = x 
 (x')' = x (x')' = x 
 
Exemplo 2: 
 
 I) Seja x∗ y = x + y – 5, definido em R. Qual é o simétrico de 5? 
 
a) Elemento neutro; 
 
x∗ e = x 
x∗ e – 5 = x 
e = 5 
 
b) Elemento simétrico; 
 
a∗ a’ = 5 
a + a’ – 5 = 5 
a + a’ = 10 
a’ = 10 – a 
 
c) Simétrico. 
a’ = 10 – 5 
a’ = 5 
 
 
2.3 Simétrico de um Composto 
 
 2.3.1Teorema 
 Quaisquer que sejam x e y em G, tem–se ( x y )' = y' x'. 
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 2.3.2 Demonstração: 
 Aplicando a propriedade associativa, temos: 
 (x y) (y' x') = x (y y') x' = x e x' = x 
x' = e e, de modo análogo : 
(y' x') ( x y) = y' (x' x) y = y' e y = y' y = e 
Portanto, o simétrico do composto x y é y' x' 
 
Exemplo 3: 
 Prove que para quaisquer x e y em G, tem-se ( x x´ 
 
 Sabemos que da propriedade de Elemento Neutro que: Ɐ x E G, Ǝ x E G tal que 
x x 
 i) simétrico à direita: x x´= e 
 ( x y) ( y´ x´) = e 
 x ( y y´) x´ = e 
 ( x e) x´= e 
 x x´ = e 
 e = e 
 
 ii) simétrico à esquerda: x´ x = e 
 
 ( y´ x´) ( x y = e 
 y´ (x´ x) y ) = e 
 (ý´ e) y = e 
 y´ y = e 
 e = e 
 
 Assim, provamos que o simétrico do composto x y é y´ x´ 
 
 2.4 Elementos Simplificáveis 
 
 Todos os elementos do grupo G são regulares. 
 
 É importante notar que num grupo valem as regras de simplificação à esquerda 
e à direita para a operação do grupo. 
 
2.4.1 Teorema 
Num grupo ( G, de G, então: 
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i) a b = a c implica b = c 
ii) b a = c implica b = c 
2.4.2 Demonstração 
Suponhamos a b = a c . Então: 
a´ (a b) = a´ (a c). 
Pela propriedade associativa: (a´ a) b = ( a´ a) c 
 e b = e c e b = c. 
 
Analogamente: 
 b a = c a ---- ( b a) a´ = ( c a) a´---- b (a a´) = c (a a´) 
 ---- b e = c e ---- b = c 
 
Em particular, num grupo aditivo (G, +): 
a + b = a + c implica b = c 
b + a = c + a implica b = c 
 
e num grupo multiplicativo (G, .): 
a.b = a.c implica b = c 
b.a = c.a implica b = c 
 
Exemplo 4: 
 Encontre quais os elementos não regulares em R+, x*y = x + y 
 1 + xy 
Se x # y, x,y E R+, com a E R é regulara se a * x e a * y 
 a * a # y * a 
Sabendo que x * y = x + y 
 1+xy é comutativa. 
 
Resolução: a*x # a*y ---- a = ? 
 
x + y a + y ------ ( a + x) . (1 + ay) # (a + y). (1 + ax) 
1+xy # 1 + ay 
 
a + a²y + x + ay # a² x + y + axy 
a²y + x # a² x + y 
a = 0 ---- x # y 
 
a = 1 ---- y + x = x + y 
a = 1 ---- y + x = x + y 
 
a = 2 ---- 4y + x # 4x + y 
O único elemento não regular é R+= {1} 
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2.5 EQUAÇÃO NUM GRUPO 
 2.5.1 Teorema 
 A solução da equação x x = x é única, a saber x = e . 
 
 Demonstração: 
 De fato, x x = x (x x) x' = x x' x (x x') = e x e = e x = e 
 Por outro lado, supondo que x0 G é também solução da equação x x = x, tem–se: 
x0 = x0 e = x0 (x0 x0' ) = (x0 x0) x0' = x0 x0' = e 
Deste modo, o único elemento idempotente num grupo é o elemento neutro. 
 
Teorema 
 Quaisquer que sejam os elementos a e b de G, as equações a x = b e y a = b 
admitem solução única em G . 
Demonstração; 
 De fato, 
 
 A x = b y a = b 
a' (a x) = a' b ( y a) a' = b a' 
(a' a) x = a' b y (a a' ) = b a' 
e x = a' b y e = b a' 
x = a' b y = b a' 
 
Por outro lado, supondo que x0 e y0 G são, respectivamente, soluções das equações a x 
= b e y a = b , tem–se : 
 
x0 = e x0 e y0 = y0 e 
x0 = (a' a) x0 y0 = 
y0 (a a' ) x0 = a' (a x0) 
y0 = (y0 a) a' x0 = a' b 
y0 = b a' + 
 
 Exemplo 5: 
 
01. A tábua ao lado representa todas as possíveis operações do grupo G = { a, b, c, d, 
e, f} levando–se em conta que : 
 
 a) G é abeliano 
b) O neutro é e 
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c) a f = b d = e 
d) a d = b c = f 
e) a c = b b = d 
f) c d = a 
 
 a b c d e f 
a b c d f a e 
b c d f e b a 
c d f e a c b 
d f e a b d c 
e a b c d e f 
f e a b c f d 
 
02. Para resolvermos a equação a b c x b = c, devemos proceder do seguinte 
modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deixamos ao encargo do leitor determinar outra forma de obter a solução, 
observando o simétrico de um composto. 
 
 
 
 
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 2.6 Potência e Múltiplos num Grupo 
 
2.6.1 Potência de um Grupo 
 Em um grupo multiplicativo (G, ·) com elemento neutro e, dados x ∈ G e n ∈ š , 
definimos a potência X ² . 
 
2.6.1.1 Definições: 
1) (*a) n = a∗ a∗ a∗ ... ∗ a 
2) (*a) 0 = e (elemento neutro de (E, ∗ )) 
3) (*a) −n = (*a’) n 
Exemplo 6: 
 Considere o grupo (E, ∗ ), definido abaixo: 
Elemento neutro: c 
simétricos: c → c; a → e; b → d 
a) (*d)² = d∗ d) = e 
 
b) (*c)³ = (c∗ c)∗ c = c∗ c = c 
c) (*b)³ = (b∗ b)∗ b = a∗ b = e 
 
d) (*e)² = (*e’)² = (*a)² = a∗ a = d 
 
2.6.2 Múltiplos 
 
 Em um grupo aditivo (G, +) com elemento neutro 0, dados x ∈ G e n ∈ ., 
definimos o múltiplo nx da seguinte forma: 
 
 Pela definição, 0x = 0, nx = |x + x + {xz+ · · · + }x 
 n parcelas 
 
se n > 0 e nx = |(− x ) + ( − x ) + {(−zx ) + · · · + ( − x}) se n < 0. 
 (−n) parcelas 
 
 A definição de múltiplos é muito parecida com a definição de potência. 
 
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Exemplo 7: 
 
Mostre que, se x é elemento de um grupo multiplicativo e xx = x, então x é o 
 
elemento neutro. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
Domingues, Hygino H.; Iezzi, Gelson – Álgebra Moderna, Atual Editora Ltda, São 
Paulo, 2003. 
 
Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, Rio de Janeiro 
 
.Filho, Edgar de Alencar – Teoria dos Grupos 
Andrada 
 
Andrade, Lenmar Nunes, Introdução à Álgebra: Questões Resolvidas, 1ª edição, João 
Pessoa, 2014.