Análise+Harmônica resumo

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Análise	Harmônica	
Objetivo	
A análise harmônica é uma situação particular de um MMQ, que visa aproximar uma função 
(seja ela contínua ou dada por uma tabela de valores) por um polinômio trigonométrico, isto é, funções 
do tipo sen(kx) e cos(lx), k e l inteiros. 
  Basicamente, estamos querendo projetar a função dada em um espaço vetorial gerado pelos 
vetores: 
{1, cos(x), sen(x), cos(2x), sen(2x), ..., cos(kx), sen(kx)}, sendo k a ordem do polinômio trigonométrico, 
que é o valor máximo que multiplica x (diminuindo seu período). 
	Prática:	
  Se tivermos um produto interno conveniente, de forma que os vetores {1, sen(x), cos(x), ..., 
sen(kx), cos(kx)} sejam ortogonais, então teremos um sistema normal do tipo: 
ܣ ൌ
ۉ
ۈ
ۇ
൏ 1,1 ൐ ⋯ 0 0
0 ൏ ݏ݁݊ሺݔሻ, ݏ݁݊ሺݔሻ ൐ 0 0
0 0 ൏ cosሺݔሻ , cosሺݔሻ ൐ 0
⋮ ⋱ 0 ⋮
0 ⋯ 0 ൏ cosሺ݇ݔሻ , cosሺ݇ݔሻ ൐ی
ۋ
ۊ 
 
Que é uma matriz diagonal, que, pois, já está escalonada. 
Sendo assim, é fácil de resolver um sistema do tipo: 
ۉ
ۈ
ۇ
൏ 1,1 ൐ ⋯ 0 0
0 ൏ ݏ݁݊ሺݔሻ, ݏ݁݊ሺݔሻ ൐ 0 0
0 0 ൏ senሺ2ݔሻ , senሺ2ݔሻ ൐ 0
⋮ ⋱ 0 ⋮
0 ⋯ 0 ൏ cosሺ݊ݔሻ , cosሺ݊ݔሻ ൐ی
ۋ
ۊ .
ۉ
ۈ
ۇ
ݔଵݔଶݔଷ⋮
ݔ௡ی
ۋ
ۊ ൌ
ۉ
ۈ
ۇ
൏ ݂ሺݔሻ, 1 ൐
൏ ݂ሺݔሻ, ݏ݁݊ݔ ൐
൏ ݂ሺݔሻ, ݏ݁݊2ݔ ൐
⋮
൏ ݂ሺݔሻ, cos	ሺ݊ݔሻ ൐ی
ۋ
ۊ 
Já que precisamos apenas isolar a variável: 
ۉ
ۈ
ۇ
ݔଵݔଶݔଷ⋮
ݔ௡ی
ۋ
ۊ ൌ
ۉ
ۈ
ۈ
ۈ
ۈ
ۈ
ۈ
ۇ
ݎଵ 	 1൏ 1,1 ൐
ݎଶ 	 1൏ ݏ݁݊ሺݔሻ, ݏ݁݊ሺݔሻ ൐
ݎଷ 	 1൏ cos	ሺݔሻ, cos	ሺݔሻ ൐
⋮
ݎ௡ 1൏ cos	ሺ݊ݔሻ, cos	ሺ݊ݔሻ ൐ی
ۋ
ۋ
ۋ
ۋ
ۋ
ۋ
ۊ
 
Sendo ݎ௜ o produto interno da linha correspondente. 
Note que o vetor x é o vetor de multiplicadores de 1, sen(x), cos(x)...cos(nx), em ordem, no polinômio! 
Notas:	
O produto
Que, para
ou 0, 2	ߨ.
Note que 
variáveis d
Exemp
Aproxime
 
 
Q
função ao
destacado
trigonomé
definirem
variável p
interessan
cos(x) não
intervalo.
 
 
Pa
  Tr
   
  N
pede para
  N
  B
o interno con
a as funções t
 
nem sempre
de forma que
plo:	
e a função fሺx
Queremos apr
o lado, no inte
o, com polinô
étricos. Para 
mos uma muda
para um interv
nte, já que se
o são ortogon
 
ara facilitar o
ransformand
ote que mud
a aproximarm
ossa função a
ܽ଴ ൅ ܽଵ cos
asta encontra
veniente é: 
൏
rigonométric
e os exercícios
e o intervalo p
xሻ ൌ |ݔ| no in
roximar a 
ervalo 
ômios 
isso, 
ança de 
valo 
en(x), 
nais nesse 
o entendimen
o o intervalo 
damos a funçã
mos em f(t), lo
aproximadora
ሺݔሻ ൅ ܽଶ cos
armos os coe
݂ሺݔሻ, ݃ሺݔሻ ൐
cas, garante a
s serão dados
passe de [‐T, T
tervalo [‐1, 1
to, vamos su
݂ሺݐሻ ൌ |ݐ
[‐1, 1] em [‐ߨ
ݐ ൌ ݔߨ → 	ܨ
ão f(t) para a
ogo teremos q
a, por restriçã
ሺ2xሻ ൅ aଷ co
ficientes do p
൐	ൌ න ݂ሺ
௖ାଶగ
௖
 ortogonalida
s nesse interv
T] para [‐ߨ, ߨ
] com polinôm
bstituir x por 
ݐ| ൌ 	 ቄ ݐ, ∀	ݐെݐ	∀	ݐ
ߨ, ߨሿ: 
ܨሺݔሻ ൌ ݂ ቀݔߨቁ
 função F(x),
que, ao final d
ão do enuncia
sሺ3ݔሻ ൅ ܾଵݏ݁
polinômio par
ሺݔሻ݃ሺݔሻ݀ݔ 
ade procurad
valo, o que m
ߨሿ. 
mios trigonom
r t na função d
൐ 0
ݐ ൑ 0 
ൌ ቚݔߨቚ ; 
, que é compo
do exercício, 
ado, é do tipo
݁݊ሺݔሻ ൅ ܾଶݏ݁
ra encontrarm
da. Um interva
otivará uma m
métricos de o
dada. Temos:
osta de f(t) e 
voltar às vari
o: 
݁݊ሺ2ݔሻ ൅ ܾଷݏ
mos a aproxim
alo bom é –	ߨ
mudança de 
ordem ≤ 3. 
: 
t(x). O proble
iáveis iniciais.
ݏ݁݊ሺ3ݔሻ 
mação deseja
ߨ, ߨ, 
ema 
. 
ada. 
Sistema normal: 
ۉ
ۈۈ
ۈ
ۇ
൏ 1,1 ൐ 0 0 0 0 0 0
0 ൏ ݏ݁݊ݔ, ݏ݁݊ݔ ൐ 0 0 0 0 0
0 0 ൏ ݏ݁݊2ݔ, ݏ݁݊2ݔ ൐ 0 0 0 0
0 0 0 ൏ ݏ݁݊3ݔ, ݏ݁݊3ݔ ൐ 0 0 0
0 0 0 0 ൏ ܿ݋ݏݔ, ܿ݋ݏݔ ൐ 0 0
0 0 0 0 0 ൏ ܿ݋ݏ2ݔ, ܿ݋ݏݔ2ݔ ൐ 0
0 0 0 0 0 0 ൏ ܿ݋ݏݔ2ݔ, ܿ݋ݏ3ݔ ൐ی
ۋۋ
ۋ
ۊ
  
 
Fazendo os produtos internos: 
൏ 1,1 ൐	ൌ 	න 1	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ 2ߨ 
൏ senx, senx ൐	ൌ 	න senଶሺxሻ	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ π 
൏ senሺ2xሻ, senሺ2xሻ ൐	ൌ 	න senଶሺ2xሻ	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ π 
൏ cosx, cosx ൐	ൌ 	න cosଶሺxሻ	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ න senଶሺxሻ	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ ߨ 
... 
൏ senሺnxሻ, senሺnxሻ ൐	ൌ൏ cosሺnxሻ , cos	ሺnxሻ ൐ൌ 	න senଶሺnxሻ	݀ݔ
గ
ିగ
ൌ π 
 
Logo, o sistema normal é: 
ۉ
ۈۈ
ۈ
ۇ
2ߨ 0 0 0 0 0 0
0 ߨ 0 0 0 0 0
0 0 ߨ 0 0 0 0
0 0 0 ߨ 0 0 0
0 0 0 0 ߨ 0 0
0 0 0 0 0 ߨ 0
0 0 0 0 0 0 ߨی
ۋۋ
ۋ
ۊ
 
Que NÃO VAI VARIAR nos exercícios, se usarmos este intervalo! 
Agora basta fazermos os produtos internos <F(x), 1>, <F(x), cos(x)>, ... e, finalmente, resolvermos o 
sistema: Note que usaremos F(x), e não f(x), pois f é definida em t, e nossa variável é x! 
൏ ܨሺݔሻ, 1 ൐	ൌ 	න ܨሺݔሻ	݀ݔ
గ
ିగ	
ൌ න ቚݔߨቚ 	݀ݔ
గ
ିగ	
ൌ∗ 2න ቚݔߨቚ 	݀ݔ
గ
଴	
	ൌ 	ߨ 
*Podemos fazer isso porque a função módulo é simétrica (Par). 
   
ܽ଴ ൌ 	൏ ܨ
ሺݔሻ, 1 ൐
൏ 1,1 ൐ ൌ
1
2 
 
Para os ou
função de
como incó
Vemos, po
൏ ܨሺݔሻ, ܿ݋ݏ
Logo, tem
Daí podem
En
O
 
 
utros produto
e n, o multipli
ógnita. 
൏ ܨሺݔሻ, ݏ݁
ortanto, que 
ݏሺ݊ݔሻ ൐	ൌ 	න
mos os seguint
mos calcular o
ncontramos a
Observe que e
os internos, te
cador de x, p
݁݊ሺ݊ݔሻ ൐	ൌ 	
o seno não te
න ܨሺݔሻܿ݋ݏሺ
గ
ିగ	
tes valores pa
os valores do
ܽ
a aproximaçã
essa não é a fu
entaremos en
para não ter q
න ܨሺݔሻݏ݁݊
గ
ିగ	
erá contribuiç
ሺ݊ݔሻ݀ݔ ൌ න
గ
ିగ
ara os produt
൏ ܨሺݔሻ, ܿ
൏ ܨሺݔሻ,
൏ ܨሺݔሻ, ܿ݋
s outros coef
ܽଵ ൌ 	൏ ܨ
ሺݔ
൏ ܿ݋
ܽଷ ൌ ൏ ܨ
ሺݔሻ
൏ ܿ݋ݏ3
o ܩሺݔሻ ൌ 	 ଵଶ െ
unção que qu
ncontrar uma
que calcular to
݊ሺ݊ݔሻ݀ݔ ൌ නି
ção nenhuma
ቚݔߨቚ 	ܿ݋ݏሺ݊ݔ
గ
గ	
tos internos:
ܿ݋ݏሺݔሻ ൐	ൌ 	
, ܿ݋ݏሺ2ݔሻ ൐	ൌ
݋ݏሺ3ݔሻ ൐	ൌ 	
ficientes: 
ݔሻ, ܿ݋ݏሺݔሻ ൐
݋ݏݔ, ܿ݋ݏݔ ൐
ܽଶ ൌ 0 
, ܿ݋ݏሺ3ݔሻ ൐	
3ݔ, ܿ݋ݏ3ݔ ൐
െ ସ	గ cosሺݔሻ െ
ueremos, mas
a relação mai
odas as integ
න ቚݔߨቚ 	ݏ݁݊ሺ݊
గ
ିగ	
a em nossa ap
ݔሻ݀ݔ ൌ 2ሺߨ݊
െ 4	ߨ	 
ൌ 	0 
െ 4	9	ߨ 
ൌ െ 4ߨଶ 
ൌ െ 49	ߨ² 
െ ସଽ	గమ cosሺ3ݔሻ
s é, sim, uma 
s geral para d
rais. Deixarem
݊ݔሻ݀ݔ ൌ 0	∀	
proximação. 
ݏ݁݊ሺߨ݊ሻ ൅ c
ߨ݊²
ሻ, em x: 
aproximação
determina‐los
mos, portanto
݊ ∈ ܴ 
cosሺߨ݊ሻ െ 1ሻ
 
o para F(x) = ቚ
s em 
o, n 
ሻ	∀	݊ ∈ ܴ 
ቚ௫గቚ . 
Q
 
ܩሺݔሻ ൌ
 
Queremos pas
ൌ	12 െ
4
	ߨ cosሺ
ssar essa apro
ሺݔሻ െ 49	ߨଶ co
oximação para
sሺ3ݔሻ 											ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ
a a função f(x
ݐ ൌ ߨݔ								ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬറ݃
x) = |x|, e sab
݃ሺݔሻ ൌ 12 െ
4
	ߨ
bemos que t =
4
ߨ cosሺߨݔሻ െ 9
= ݔ	ߨ 
4
9	ߨଶ cosሺ3ሺߨݔሻሻ