03 metodo da dicotomia

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Método da Dicotomia
Existem vários métodos para resolver uma equação não linear do tipo
 
f(x) =0.
O mais antigo e intuitivo de todos é talvez o Método da Dicotomia ou Bissecção.
Algoritmo da Dicotomia
INÍCIO
passo1: isolar uma única raiz da função f em um intervalo I = [a, b] onde f é contínua.
Nestas condições, pelo teorema de Bolzano, f(a).f(b)<0;
passo2: calcular f no ponto médio m= (a+b)/2
passo3: identificar qual o sub-intervalo que contém a raiz
será o sub-intervalo [a,m] se f(a).f(m)<0 (ou f(m).f(b)>0);
será o sub-intervalo [m,b] se f(m).f(b)<0 (f(a).f(m)>0)
passo4: repetir os passos 2 e 3 enquanto o critério de parada não for atingido
critérios de parada (use pelo menos um deles)
se f(a).f(m)=0 , então m é a raiz procurada (idem para
f(m).f(b)=0);
se |b-m|/2 (ou |m-a|/2) for menor ou igual à uma
determinada precisão, a raiz está confinada num
intervalo dessa magnitude
se um número máximo de iterações ITMAX for atingido
passo5: imprime a raiz aproximada, avisando o usuário se o critério de parada foi por
número máximo de iterações ou se a precisão foi atingida
FIM
 
Exemplo
Suponha que quer se determinar o valor da raiz quadrada de 5 com erro inferior a 0.001. Calcular essa
raiz equivale a resolver a equação
f(x) = x2 -5 =0,
para valores positivos de x.
Este é o gráfico de f(x) e podemos observar que essa função possui duas raízes
reais.Neste caso queremos apenas calcular a raiz positiva, mas a negativa pode ser
encontrada de forma similar.
passo1: isolar uma única raiz da função f em um intervalo I = [a, b] onde f é contínua.
Para garantir que em [a,b] existe uma única raiz, basta verificar que
f(a).f(b) < 0
a derivada de f não troca de sinal em [a,b]
Leia na página Como Isolar Raízes detalhes técnicos para garantir que uma raiz está
isolada num intervalo.
Os passos seguintes estão representados na tabela abaixo, onde identificamos:
k = índice da iterada
I = [a,b] = [x0, x1] = [0, 2.5], ou seja, a = x0 = 0 e b = x1 = 2.5.
mk = (xk+xk+1)/2 (ponto médio)
cálculo de f(xk), f(xk+1) e f(mk) para definir em qual sub-intervalo a raiz se
encontra. Observe que só é necessário calcular a f num dos extremos, na
tabela ao lado colocamos apenas para qualquer uma das escolhas possam
ser verificadas.
Uma questão importante em qualquer método numérico é verificar se as iteradas estão convergindo
para a solução exata.
No caso do Método da Dicotomia é possível identificar quantas iteradas são necessárias para atingir
uma precisão pré-fixada d . Veja a página Convergência do Método da Dicotomia.
Complete a tabela até encontrar o valor de raiz de 5 com erro inferior a 0.001.
 
k xk xk+1
mk=
(xk+xk+1)/2
f(xk) f (xk+1) f(mk)
Ek=|xk+1-
xk|/2
0 0 2.5 1.25 -5 1.25 -3.438 1.25
1 1.25 2.5 1.875 -3.438 1.25 -1.484 0.625
2 1.875 2.5 2.188 -1.484 1.25 -0.213 0.3125
3 2.188 2.5 2.344 -0.213 1.25 0.494 0.15625
4 2.188 2.344 2.266 -0.213 0.494 0.135 
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