matematica3ano 2005

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COMANDO DA AERONÁUTICA 
DEPARTAMENTO DE ENSINO DA AERONÁUTICA 
ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO AO 3O ANO DO 
CPCAR 2005 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
 
17 de AGOSTO de 2004. 
 
Transcreva este dado para o seu cartão de respostas 
VERSÃO: A 
 
ATENÇÃO! ESTA PROVA CONTÉM 30 QUESTÕES. 
 
 
01 - No cursinho α, onde se ensina somente Matemática, Física e 
Química, há um corpo docente composto de 24 professores, 
sendo que 
 
12 ensinam Matemática; 
10 ensinam Física; 
9 ensinam Química; 
4 ensinam Matemática e Física; 
e nenhum deles ensina Matemática e Química. 
 
Se o número de professores que ensinam apenas Física é 
igual ao número de professores que ensinam Física e 
Química, é INCORRETO afirmar que 
 
a) 25% do corpo docente ensina apenas Química. 
b) o número de professores que ensinam apenas 
Matemática é 
3
1
 do número de professores que compõe 
o corpo docente. 
c) o número de professores que ensinam apenas Física é a 
metade dos que ensinam apenas Química. 
d) existem nesta Escola menos professores ensinando 
Matemática ou Física do que professores ensinando 
Física ou Química. 
 
 
02 - Uma fábrica de máquinas de lavar louças faz o lançamento 
do modelo α que é oferecido a certa loja de revenda ao 
preço unitário de R$ 750,00. Essa loja tem como estratégia 
de venda anunciar um preço x e dar 20% de desconto sobre 
o mesmo, para incentivar pagamentos à vista. Se ao final ela 
tem como objetivo lucrar 20% sobre o preço pago à fábrica, 
o valor x anunciado é tal que pertence ao intervalo 
 
a) [900, 1000[ c) [1100, 1200[ 
b) [1000, 1100[ d) [1200, 1300[ 
 
 
03 - Dados dois números reais a e b que satisfazem as 
desigualdades 1 ≤ a ≤ 2 e 3 ≤ b ≤ 5, pode-se afirmar que 
todos os números reais da forma 
b
a
 são tais que 
 
a) 
b
a
≥
3
2
 c) 
5
1
≤
b
a
≤
2
1
 
b) 
5
1
≤
b
a
≤
3
2
 d) 
2
3
≤
b
a
≤ 5 
 
 
 
 
 
04 - Considere a figura abaixo, gráfico da função real g tal que 
g: D → ] –4,6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É correto afirmar que 
 
a) os elementos do conjunto D, domínio de g, são os 
mesmos do conjunto I, imagem de g. 
b) o conjunto {x i þ s 5x2 << e g(x) = pi} possui 
exatamente 2 elementos. 
c) 3 ( )( )( )[ ]2ggg − < g ( )4 
d) a função g é sobrejetora, mas não é injetora. 
 
 
05 - Sabendo-se que f é uma função real definida por f(x) = 10p, 
onde p – 1 < x ≤ p e p é um número natural entre zero e 
cinco, pode-se dizer que a melhor representação de f é dada 
por 
 
a) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
0 0 
0 
 CPCAR 2005 MATEMÁTICA - 3º ANO - VERSÃO A 2
06 - Analise os itens abaixo, referentes a funções reais. 
 
(01) A função f definida por f(x) = 3x 2 + 4x é par 
(02) Se g é definida por g(x) = 2x + 8, então g(x) > 0, 
∀ x > – 4 
(04) O conjunto-imagem da função h, definida por 
h(x) = 
1x
x
−
 é Im = {y g þ s y ≠ 1} 
(08) Se f é dada por f(x)= 
x2
1x
−
−
, para todo x diferente de 
2, então f 1− (x)= 
1x
1x2
+
+
, para todo x diferente de –1 
 
A soma dos itens verdadeiros é 
 
a) 15 c) 13 
b) 14 d) 8 
 
 
07 - Alguns alunos do 3o ano da EPCAR desejam fazer uma 
viagem durante um recesso e para isso precisam fretar um 
ônibus. 
Duas empresas, α e β, candidatam-se para fazer a viagem. 
Sabendo-se que as duas empresas possuem ônibus de 50 
lugares e que: se for contratada a empresa α, o custo da 
viagem terá uma parte fixa de R$ 300,00, mais um custo por 
passageiro de R$ 15,00; se for contratada a empresa β, o 
custo terá um valor fixo de R$ 250,00, mais um custo(C), 
por passageiro, dado por C(n) = 35 – 0,5n, onde n é o 
número de passageiros que fará a viagem. 
 
Com base nisso, é correto afirmar que 
 
a) se todos os lugares forem ocupados, será menos 
vantajoso contratar a empresa β. 
b) existe um determinado número n de passageiros para o 
qual o custo na empresa α é o mesmo da empresa β. 
c) o custo máximo da viagem na empresa β é de R$ 862,50 
d) para um custo de R$ 750,00, a empresa β levará um 
número de passageiros 50% maior que a empresa α. 
 
 
08 - A soma dos quadrados das raízes da equação 
5x 2 – 2px – p = 0 é 
25
104
. Vale então dizer que o valor 
positivo de p é um número 
 
a) par c) divisor de 15 
b) primo maior que 10 d) menor que 1 
 
 
09 - Co n s i d er a n d o a f u n ç ã o r ea l f , d e f i n i d a p o r 
f(x) = sx –2s + s2x + 1s – x – 6, é I N C O R R E T O 
a f i r m a r q u e 
 
a) seu conjunto-imagem é [–3, +∞[ 
b) f é bijetora ⇔ x ≥ 2 
c) se f(x) = 5 , então x = –
2
5
 ou x = 6 
d) o intervalo em que f decresce é ]
2
1
,] −∞− 
 
 
 
 
 
10 - Em þ, o conjunto solução da inequação sx + 1s – sxs ≤ x + 
2 é 
 
a) [–3, 0] c) [–3, +∞[ 
b) {x g þ s x R 0} N [3, 5] d) [–3, 0] N {x g þ s x S 1} 
 
 
11 - Uma população de bactérias cresce conforme a função 
definida por N(t) = N0 . eαt, onde t é o tempo (dado em 
horas), N0 é o número inicial de bactérias e α é uma 
constante positiva. Sabendo-se que o número de bactérias 
triplica ao final das três primeiras horas, pode-se dizer que α 
pertence ao intervalo 
 
Dados: adote e = 2,7 (e é a base do sistema de logaritmos 
neperianos) 
 log 3 = 0,48 
 
a) [ ]4,0;3,0 c) ] ]6,0;5,0 
b) ] ]5,0;4,0 d) ] ]7,0;6,0 
 
 
12 - Assinale a alternativa correta. 
 
a) Se x > 0 e a > 1, os gráficos das funções reais f e g, 
dadas por f(x) = xloga e g(x) = 
x
a
1






, se interceptam em 
um ponto cuja abscissa é maior que zero e menor 
que um. 
b) Para qualquer que seja x real, o intervalo ]–4, +∞[ é o 
conjunto-imagem da função real h, definida por 
4
2
1)x(h
1x
−





=
+
 
c) Se log9(log3 (logx 3)) = 0, então x é um número racional. 
d) Se f é uma função real definida por f(x) = 3 + 2–x, então 
f(log4 9) é igual a 3
1
 
 
 
13 - O domínio da função real definida por 



= )x(logloglog)x(f aa
a
1 é 
a) a < x R aa se 0 < a < 1 
b) 0 < x < 1 e x S aa se a > 1 
c) a < x R aa se a > 1 
d) x S aa se 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 - Em um casarão abandonado, um portão medindo 3 m de 
 CPCAR 2005 MATEMÁTICA - 3º ANO - VERSÃO A 3
altura por 2 m de largura se abre bruscamente girando 30°, 
conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse fato faz com que uma aranha, seguindo sua teia, se 
desloque da posição A para a posição B’, sendo A’ e B’, 
respectivamente, as extremidades superior e inferior do 
portão após o processo. 
É correto afirmar que a distância que separa A e B’, em 
metros, é igual a 
 
 
a) 3417 − c) 311+ 
b) 311− d) 3417 + 
 
 
15 - Analise as afirmativas seguintes classificando-as em (V) 
verdadeiras ou (F) falsas. 
 
I - Se tg x = –2, então sec x + sen x vale 2 
II - A equação sen x . cos x = 
4
1
 no intervalo [ ]pi2,0 possui 
4 raízes. 
III - Se x + y = 
3
pi
, então 
0ycosysen
0xsenxcos
100
 é igual a 
2
2
 
 
É correto afirmar que apenas 
 
a) I é verdadeira. c) II e III são verdadeiras. 
b) I e II são verdadeiras. d) II é verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 -Associando a função com sua representação gráfica, 
assinale a alternativa correta. 
 
(I) f(x) = senx + ssenxs; pi≤≤ 2x0 
(II) g(x) = 2scosxs; pi≤≤ 2x0 
(III) h(x) = 2ssen2xs; pi≤≤ 2x0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) I(m), II(p), III(q) c) I(n), II(m), III(p) 
b) I(m), II(n), III(p) d) I(q), II(m), III(n) 
 
 
17 - A figura abaixo representa o ciclo trigonométrico com os 
eixos da tangente e cotangente destacados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de encontrar o valor de a, o conjunto solução da 
inequação scos xs < – a é 
 
a) }k,k{ �� ∈pi− c) þ 
b) ∅ d) }k,k
2
xx{ ��� ∈pi+pi≠∈ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 - Analise as proposições abaixo, classificando-as em (C) 
 CPCAR 2005 MATEMÁTICA - 3º ANO - VERSÃO A 4
certas ou (E) erradas. 
 
( ) A expressão cos 5485° + cossec 
9
13pi
 resulta em valor 
negativo. 
( ) O período da função f(x) = 2 +
2
1
sen 





+
2
1
x2 é o 
quádruplo do período da função 






++=
4
1
x4tg
4
14)x(g 
( ) Se sec x = a, então sec(–x) = – a 
( ) O domínio da função f(x) = tg 




 pi
−
3
x2 é igual ao 
domínio da função g(x) = 2 – 
3
pi
cotg x. 
 
A seqüência correta é 
 
a) C, C, E, E c) C, C, C, E 
b) E, E, E, C d) E, C, C, E 
 
 
19 - Em uma seqüência de 10 números, a1, a2, ..., a9, a10, os sete 
primeiros termos estão em progressão aritmética de primeiro 
termo 1, os três últimos termos estão em progressão 
geométrica, cujo primeiro termo é 7. 
Sabendo-se que a7 = a8 e a6 = a9, a soma dos termos dessa 
seqüência é um número entre 
 
a) 45 e 46 c) 47 e 48 
b) 46 e 47 d) 48 e 49 
 
 
20 - O valor da expressão 
n2642
n2642
r
1
...
r
1
r
1
r
1
r...rrr
++++
++++
, para n i û*, é 
 
a) r c) r2n+1 
b) r2n d) r2+2n 
 
 
21 - Sejam A, B, C matrizes reais não-nulas de ordem 2, 
satisfazendo às seguintes relações: 
 
1ª) AB = C–1, em que C–1 é a inversa de C 
2ª) B = 
2
1 A 
 
Se o determinante de C é 16, então o valor do módulo do 
determinante de A é igual a 
 
a) 
2
1
 c) 
8
1
 
b) 
2
2
 d) 
4
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 - Seja o sistema de variáveis x, y e z: 






=+
=+
−=+
0zax
0azy2
a4ay4x
2
2
 
Para que ele seja homogêneo e admita somente a terna 
(0, 0, 0) como solução, o valor de a deve ser igual a 
 
a) 0 c) 3 
b) 2 d) 4 
 
 
23 - Foram vendidos 240 ingressos para uma seção de circo. A 
arrecadação foi de R$1840,00 e todos os espectadores 
pagaram ingresso. O preço para homem adulto é R$10,00, 
para mulher adulta, R$8,00, e para criança, R$4,00. Se a 
soma entre o número de mulheres adultas e crianças 
equivale ao dobro do número de homens adultos, é correto 
afirmar que 
 
a) havia mais crianças do que mulheres adultas no circo. 
b) a seqüência (número de crianças, número de homens 
adultos, número de mulheres adultas) é, nesta ordem, 
uma progressão aritmética de razão 20. 
c) havia 100 homens adultos no circo. 
d) havia 40 crianças, 80 homens adultos e 120 mulheres 
adultas no circo. 
 
 
24 - Uma prova consta de 10 proposições. Cada uma delas deve 
ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). O número 
de maneiras de se classificar as 10 questões dessa prova, a 
fim de se obter pelo menos 70% de acertos é 
 
a) 120 c) 176 
b) 175 d) 186 
 
 
25 - Um grupo de 6 amigos (A, B, C, D, E, F) compra 3 entradas 
para um show. Para serem escolhidos os 3 amigos que irão 
ficar com essas entradas, foi feito um sorteio. 
A probabilidade de A ser sorteado e B não, é igual a 
 
a) 
10
7
 c) 
2
1
 
b) 
20
1
 d) 
10
3
 
 
 
26 - Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em 
verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
I - Um salão de festas tem 6 portas. O número de modos 
de ele estar aberto (o que acontece se, pelo menos 
uma porta estiver aberta) é 64. 
II - Com os algarismos do sistema decimal, pode-se formar 
16 números de 2 algarismos, sendo que o algarismo 
das dezenas corresponde a um múltiplo de 2 (diferente 
de zero) e que o algarismo das unidades corresponde a 
um múltiplo de 3. 
III - Duas pessoas entram em um ônibus onde há 5 lugares 
vagos. Elas podem ocupar estes lugares de 10 
maneiras distintas. 
 
Tem-se que 
 
a) apenas I é verdadeira. c) apenas III é verdadeira. 
b) apenas II é verdadeira. d) todas são falsas. 
 
 
 
 CPCAR 2005 MATEMÁTICA - 3º ANO - VERSÃO A 5
27 - Se n é o número de termos do desenvolvimento de 
( )105 yx + 55 que não contém radical, então n vale 
 
a) 4 c) 6 
b) 5 d) 7 
 
 
28 - Em um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio interno da 
base r = 2 cm, colocam-se esferas tangentes ao mesmo e 
tangentes entre si, de tal forma que a altura do cilindro seja 
igual a soma dos diâmetros das esferas nele contidas. O 
volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale, em cm3, 
 
a) 
3
102pi
 c) 40 pi 
b) 
3
80pi
 d) 
3
160pi
 
 
 
29 - Sobre o estudo da Geometria Espacial, é INCORRETO 
afirmar que 
 
a) dados três pontos não-colineares do espaço, existe um, e 
somente um, plano que os contém. 
b) por um ponto passa uma única reta perpendicular a um 
plano dado. 
c) se dois planos são perpendiculares, toda reta de um 
deles que for perpendicular à interseção dos dois planos 
será perpendicular ao outro. 
d) se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de 
um deles é paralela a qualquer reta do outro. 
 
 
30 - Em uma pirâmide P quadrangular regular, cujo volume é 
igual a 360 dm3, numa seção paralela à base inscreve-se um 
círculo cuja área é 
4
45pi
 dm2. Se tal seção foi feita a 3 dm do 
vértice, é correto afirmar que a altura da pirâmide P, em 
decímetros, é um número do intervalo 
 
a) [4, 5[ c) [6, 7[ 
b) [5, 6[ d) [7, 8]