Cálculo Diferencial E Integral (48)

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-A-
MAT-2453—Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I— 3a Prova
POLI – USP— 10/11/2014—Gabarito
Questão 1 (Valor: 3.5 pontos). Calcule as seguintes integrais:
a.
∫ ln(x2 − 4)
x2
dx
b.
∫ pi2
32
0
arctg
√
2x
(1+ 2x)
√
2x
dx
Solução. a. Integrando por partes, com f ′(x) = 1x2 e g(x) = ln(x
2 − 4), temos f (x) = − 1x , g′(x) = 2xx2−4 e
então ∫ 1
x2
ln(x2 − 4) dx = −1
x
ln(x2 − 4) +
∫ 2
x2 − 4 dx
= −1
x
ln(x2 − 4)− 1
2
∫ 1
x+ 2
dx+
1
2
∫ 1
x− 2 dx
= −1
x
ln(x2 − 4)− 1
2
ln(x+ 2) +
1
2
ln(x− 2) + k.
b. Fazendo u = arctg
√
2x temos du = dx√
2x(1+2x)
, donde
∫ pi2
32
0
arctg
√
2x
(1+ 2x)
√
2x
dx =
∫ arctg( pi4 )
0
u du =
u2
2
∣∣∣arctg( pi4 )
0
=
arctg2(pi4 )
2
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Questa˜o 3.
a. Determine o comprimento da curva y = ln
(
sec5
( x
5
))
, para 0 ≤ x ≤ 5pi4 .
f (x) = ln
(
sec5
( x
5
))
= 5 ln
(
sec
( x
5
))
f ′(x) = 5
1
sec
( x
5
) · sec( x
5
)
tg
( x
5
)
· 1
5
= tg
( x
5
)
C =
∫ 5pi
4
0
√
1+
(
tg
( x
5
))2
dx =
∫ 5pi
4
0
sec
( x
5
)
dx =
[
5 ln
∣∣∣sec( x
5
)
+ tg
( x
5
)∣∣∣] 5pi4
0
=
= 5 ln
(√
2+ 1
)
− 5 ln(1) = 5 ln
(√
2+ 1
)
.
b. Calcule F′(x)), onde F(x) =
∫ arccos x
0
ln (secx t) dt.
F(x) =
∫ arccos x
0
ln (secx t) dt = x
∫ arccos x
0
ln (sec t) dt
F′(x) =
∫ arccos x
0
ln (sec t) dt+ x ln (sec( arccos x))
( −1√
1− x2
)
=
=
∫ arccos x
0
ln (sec t) dt+
x ln x√
1− x2 .