matematica3ano 2007

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COMANDO DA AERONÁUTICA 
DEPARTAMENTO DE ENSINO DA AERONÁUTICA 
ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES-DO-AR 
 
 
EXAME DE ADMISSÃO AO 3o ANO DO CPCAR 2007 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
 
19 de AGOSTO de 2006 
 
Transcreva o dado abaixo para o seu cartão de respostas. 
VERSÃO: A 
 
ATENÇÃO! ESTA PROVA CONTÉM 25 QUESTÕES. 
 
 
01 - Considere o conjunto G e três de seus subconjuntos A, B e 
C. Se M também é subconjunto de G, considere MG o 
complemento de M em relação à G. 
 
Dados: B ∩ C = {7} 
A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10} 
A ∪ B = {1, 2, 7, 9, 10} 
(A ∪ B ∪ C)G = {4, 6} 
BG = {3, 4, 5, 6, 8, 9} 
 
Sabendo-se que A e C são conjuntos disjuntos, é FALSO 
afirmar que 
 
a) A, B e C têm o mesmo número de elementos. 
b) se S(A), S(B) e S(C) indicam respectivamente a soma dos 
elementos de A, a soma dos elementos de B e a soma 
dos elementos de C, então S(B) < S(A) < S(C) 
c) se A ∩ B = D, então D representa todos os divisores de 
10 
d) no conjunto G existem 4 números que são primos. 
 
 
02 - Em julho de 2005, Luiza gastava 27,3% do seu salário para 
o pagamento da prestação da casa própria. Em 2006, houve 
dois reajustes no seu salário: 4% em janeiro e 3% em junho. 
Se, em julho de 2006, o aumento da prestação foi de 13%, 
pode-se dizer que a porcentagem do novo salário que Luiza 
passou a gastar com a nova prestação foi de um número do 
intervalo 
 
a) [28,29[ c) [30,31[ 
b) [29,30[ d) [31,32[ 
 
 
03 - Uma função f é definida como 
5
2)n(f5)1n(f +=+ . Sendo 
f(1) = 5, o valor de f(101) é 
 
a) 45 c) 55 
b) 50 d) 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04 - Marque a alternativa FALSA. 
 
a) Sejam A = {a, b, c} e f: A → A definida por f(a) = c, 
f(b) = a e f(c) = b. A solução da equação (fofof)(x) = c é c 
b) Se f é uma função de A em � tal que 






−
+
=
1xexse,3
1xexse,1x
xse,1x
)x(f 2
2
<��
���
�∉
 
 então 8)2)(fof( =− 
c) Sabendo-se que f: A → B definida por 
3x
1x5)x(f
+
−
= é 
inversível, então B = � – {5} 
d) Se g: A → B definida por g(x) = log3(x – 3) é inversível, 
então g –1(x) = 3x+1 
 
 
05 - Observe o gráfico da função real g abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analise as alternativas seguintes e marque a FALSA. 
 
a) A função g não possui raiz negativa. 
b) O conjunto imagem de g é �∗ – {y � � | y < a ou y > d} 
c) f(x) < 0 ⇔ {x ∈ � | 0 < x < p ou x > q} 
d) f cresce se, e somente se, x é real tal que x 
 0 ou 
0 < x 
 m ou x � s. 
 
 
06 - Em um jogo de futebol amistoso entre Brasil e Argentina, no 
mineirão, compareceram 90.000 torcedores. Quatro portões 
foram abertos às 12 horas, e até às 14 horas entrou um 
número constante de pessoas por minuto. Entre 14 horas e 
15 horas não entrou ninguém. Às 15 horas, abriram mais 4 
portões, aumentando o fluxo de pessoas e, às 17 horas, os 
portões foram fechados. O gráfico abaixo determina o 
número de pessoas dentro do estádio em função do horário 
de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nisso, pode-se dizer que, quando o número de 
pessoas no estádio atingiu 78.000, o relógio marcava 
 
a) 15 horas e 30 minutos. 
b) 15 horas e 45 minutos. 
c) 16 horas e 30 minutos. 
d) 16 horas e 45 minutos. 
 EA-CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3o ANO DO CPCAR 2007 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 2 
07 - A direção de um parque de diversão observou que, no 
domingo, quando o preço do ingresso por pessoa é R$ 3,00, 
entram no parque 2000 pessoas. Na quinta-feira, a cada 
R$ 0,10 a mais no preço do ingresso, entram 20 pessoas a 
menos no parque. Chamando de y a receita do parque na 
quinta-feira e de x o valor do ingresso, também na quinta-
feira, pode-se afirmar que para que a receita seja máxima, o 
valor do ingresso é um número do intervalo 
 
a) [6,7[ c) [8,9[ 
b) [7,8[ d) [9,10[ 
 
 
08 - Sobre as funções reais f e g, definidas por 
4
x2x2)x(f += e 
g(x) = |–x | – 1, é FALSO dizer que 
 
a) a equação f(x) = g(x) tem conjunto-solução unitário. 
b) f(x) � g(x) ∀∀∀∀x ∈ � 
c) se x � 0 então f(x) � 0 
d) se x < 0 então f(x) = 0 e g(x) > –1 
 
 
09 - Se f: � → B é tal que f(x) = –a.bx , em que a ∈ ∗+� e 
0 < b < 1, então 
 
a) f(x + y) = f(x) . f(y), ∀∀∀∀x,y ∈ � 
b) f é decrescente ∀∀∀∀x ∈ � 
c) se x ∈ ]– ∞, 0], então, y ∈ ]–∞, –a] 
d) f é bijetora se B = �
–
 
 
 
10 - O mais amplo domínio real da função f definida por 



= )x(logloglogtgarc)x(f a
a
1a é 
 
a) ]1, a[ se 0 < a < 1 ou ]0, a[ se a > 1 
b) ]1, a[ se a > 1 ou ]0, a[ se 0 < a < 1 
c) ]a, 
a
1 [ se 0 < a < 1 
d) ]
a
1
, a[ se a > 1 
 
 
11 - Seja A = {y ∈ �  y � 1} e f a função de �
–
 em A definida 
por 
2
33)x(f
xx −+
= . Então f –1(x) é igual a 
 
a) 




 −− 1xxlog 23 c) 




 −−− 1xxlog 23 
b) 




 −+ 1xxlog 23 d) 




 −+− 1xxlog 23 
 
 
12 - Se log 2 = 0,3 e n é o número de algarismos da potência 
2525, então 
 
a) 30 < n < 40 c) 50 < n < 60 
b) 40 < n < 50 d) 60 < n < 70 
 
 
 
 
 
13 - Classifique as proposições seguintes em (V) verdadeiro ou 
(F) falso. 
 
( ) Para fabricar uma peça de aço do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são necessários, aproximadamente, 152,11 cm de aço. 
(dado: pi = 3,14) 
( ) Sabendo-se que x é um arco do 4o quadrante e que 
3
2
xsen −= , então 
5
52
x
2
3gcot =





+
pi
 
( ) O valor de 





−
4
3tgarcsen é 
5
3
 
 
a) V – F – V c) F – V – F 
b) V – V – F d) F – V – V 
 
 
14 - A função real y = a + b sen(cx – d) tem como gráfico: 
 
(dado: pi = 3,14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de a + b + c + d é 
 
a) 1,285 c) 4,285 
b) 3,785 d) 5,785 
 
 
15 - Em certa progressão aritmética, a soma dos termos de 
ordem ímpar é 140 e a soma dos termos de ordem par é 
161; a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é 
43. O número de termos dessa progressão é 
 
a) 14 c) 22 
b) 17 d) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EA-CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3o ANO DO CPCAR 2007 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 3
16 - As reservas conhecidas de gás natural compreendiam 
5 x 1013 m3, ao final de 2001. Em 2002, o consumo mundial 
foi de 1,0 x 1012 m3, com um aumento anual de 10%. 
Admitindo-se que a taxa de crescimento permaneça 
constante, pode-se dizer que as reservas conhecidas se 
esgotarão no ano 
 
Dados: log 3 = 0,5 
log 2 = 0,3 
log 33 =1,54 
 
a) 2019 c) 2021 
b) 2020 d) 2022 
 
 
17 - Dada a matriz C = (crs) em que crs = 3r + 2(s – 1) para 
r = 1, ... , 4 e s = 1, ... , 4, pode-se afirmar que 
 
a) a soma dos elementos da diagonal principal é maior que 
a soma dos elementos da diagonal secundária. 
b) o elemento da matriz transposta de C que ocupa a 3a 
linha e 2a coluna é o 11 
c) utilizando propriedades de determinantes, pode-se 
concluir que o det C é 1500 
d) o det C = 36
3872
513113
2541
3751
 
 
 
18 - A dá a B tantos reais quantos B possui e A dá a C tantos 
reais quantos C possui. Com os novos valores em mãos, B 
dá a A e a C tantos reais quantos cada um possui. Após a 
nova soma de valores, C, finalmente, dá a A e a B tantos 
reais quantos cada um possui. Se no final, terminam todos 
com 16 reais, então A começou com 
 
a) 24 reais. c) 28 reais. 
b) 26 reais. d) 30 reais. 
 
 
19 - O professor de um determinado curso faz uma pesquisa com 
seus alunos através de um questionário com três perguntas:− Na 1a, o aluno deve escolher uma dentre as cinco 
disciplinas apresentadas. 
− Na 2a, deve escolher, em ordem de preferência, três de 
seis títulos de livros. 
− Na 3a, escolher dois dias da semana letiva (de 2ª a 6ª 
feira) para apresentação de trabalhos. 
 
O número de maneiras possíveis de cada aluno responder a 
esse questionário é igual a 
 
a) 135 c) 6000 
b) 1000 d) 12000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 - Analise as seguintes proposições: 
 
(02) O valor de n na igualdade 
510
1n
n
...
3
n
2
n
1
n
=





−
++





+





+




 é igual a 9 
(04) A expressão 
 (x + 1)5 – 5(x + 1)4 + 10(x + 1)3 – 10(x + 1)2 + 5(x + 1) – 1 
corresponde a ( ) ( )∑
=
− −+




5
0p
pp5 1.1x
p
5
 
(08) No desenvolvimento do binômio (x – y)n, a soma de 
todos os coeficientes positivos é 256. O valor de n é 
então igual a 9 
(16) Se 





=





+
+





4
11
1n
10
4
10
, então n é o número 5 
 
A soma dos números que correspondem às proposições 
verdadeiras é igual a 
 
a) 06 c) 20 
b) 14 d) 22 
 
 
21 - Em duas caixas de correio (I e II), há algumas cartas que 
não estão seladas. A caixa I possui 12 cartas das quais 2 
estão sem selos e a caixa II possui 15 cartas das quais 5 
estão sem selos. Uma caixa é escolhida ao acaso e da 
mesma é retirada uma carta também ao acaso. Qual a 
probabilidade de a carta retirada ser sem selo? 
 
a) 
6
1
 c) 
4
3
 
b) 
15
8
 d) 
4
1
 
 
 
22 - Sejam as matrizes 




 −
=
1p32
0511
A e 














=
11
1q
12
11
B , onde p 
é o coeficiente do termo médio do desenvolvimento do 
binômio 
4
2x
x
1






+ e q é a solução da equação 
Aq+1,4 = 20 .Cq,2, onde A e C representam, respectivamente, 
arranjo simples e combinação simples. O termo m21 da 
matriz produto M = A.B é 
 
a) par. c) múltiplo de 11 
b) primo. d) quadrado perfeito. 
 
 
23 - Um triângulo isósceles EPC, com EP = EC = 5 cm e 
PC = 24 cm, tem o lado EC contido em um plano α e o 
vértice P a uma distância de 4 cm de α. A projeção ortogonal 
do triângulo EPC sobre o plano α é um triângulo 
 
a) obtusângulo. 
b) eqüilátero. 
c) isósceles, mas não eqüilátero. 
d) retângulo. 
 
 
 EA-CPCAR EXAME DE ADMISSÃO AO 3o ANO DO CPCAR 2007 – MATEMÁTICA – VERSÃO A 4
24 - Uma fábrica de brinquedos usa, para embalar um jogo de 
montar, latas com formato de prisma regular e tampa de 
pirâmide regular como em (1). A fábrica decide mudar a 
embalagem, passando a usar latas cilíndricas do mesmo 
material com tampas cônicas como em (2). 
 
Sabendo que as tampas são ocas e com apoio apenas na 
superfície, pode-se dizer que a razão entre os volumes 
(1) e (2) é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
9
32 pi
 c) 
pi2
33
 
b) 
pir3
32
 d) 
pi2
r3
 
 
 
25 - Nas figuras 1, 2 e 3 a seguir, os arcos são semicírculos que 
giram 360° em torno do eixo x. Se os raios dos semi círculos 
estão em progressão geométrica de razão 2, pode-se 
afirmar, em relação aos sólidos gerados por 1, 2 e 3, que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) as áreas das superfícies esféricas também estão em 
progressão geométrica de razão 2 
b) os volumes estão em progressão geométrica de razão 4 
c) os volumes aumentam na mesma proporção que as 
áreas das superfícies. 
d) a razão entre os volumes e suas respectivas áreas são 
proporcionais a 1, 2 e 4, respectivamente.