Teoria das Probabilidades

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Teoria das Probabilidades
Profª Marília do Amaral Dias
 A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos aleatórios.
 Com a teoria das probabilidade, a estatística pode ser utilizada para tirar conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados, tais como na teoria da amostragem e predição.
 A teoria das probabilidades tem vários campos de aplicações 
Engenharia, Ciências, Matemática, Agricultura , Economia, Medicina, Psicologia... 
 Os avanços tecnológicos em qualquer área de conhecimento humano devem-se, quase que exclusivamente, aos experimentos. 
 Toda vez que empregamos Matemática a fim de estudar alguns fenômenos de observação, devemos construir modelos para explicá-los
determinísticos 
probabilísticos (não determinísticos) 
Modelo determinístico
a partir das condições de execução de um 
experimento pode-se determinar seu resultado por 
antecipação. 
V= d/t
Modelo probabilístico
as condições de execução de um experimento não
determinam o resultado do mesmo, mas sim o
comportamento probabilístico do resultado observável.
experimentos dos quais resultam esse tipo de modelo
chamam-se experimentos aleatórios.
experimentos nos quais não podemos 
precisar por antecipação qual o 
resultado que ocorrerá
cada experimento, mesmo repetido inúmeras vezes 
sob condições semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis
podemos definir o conjunto de resultados
possíveis. 
*lançamento de um dado
*tempo de vida de um animal
*número de votos de um candidato
*produtividade de uma lavoura
conjunto de resultados possíveis de um determinado 
experimento aleatório. 
Representado por Ω ou por S
Ω = {a1; a2; a3;...; an} espaços finitos 
Ω = { a1; a2; a3;.......} espaços infinitos. 
 experimento do lançamento de um dado : Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
 experimento de lançar uma moeda : Ω = {cara(c), coroa(k)}
 experimento de lançar uma moeda três vezes : 
Ω = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}
 experimento de lançar uma moeda 4 vezes até aparecer apenas face “cara” 
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....} 

 qualquer subconjunto do espaço amostral , ou seja, 
qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório
 normalmente representado por uma letra maiúscula (A, B, C, D,...). 
 o experimento de lançar um dado, cujo espaço 
amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 5, 6}, C = {2, 5} e D = {4} 
são alguns eventos associados a esse espaço amostral.
 qualquer resultado particular de um experimento aleatório 
(cada um dos elementos) 
 portanto um espaço amostral é constituído por uma coleção 
de pontos amostrais 
 é usualmente representado por n
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} contém 6 pontos amostrais de um 
espaço amostral
2 Є Ω , então 2 é um ponto amostral de Ω
 um determinado evento ocorre se o resultado do experimento
aleatório ao qual ele está associado for um ponto amostral
desse evento
 Ocorrer número ímpar no lançamento de um dado
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {1, 3, 5}
 Como os eventos são subconjuntos do espaço amostral (Ω), todas as operações que podem ser realizadas com conjuntos são validas também para eventos
 Sejam A e B dois eventos de um determinado espaço amostral Ω 
 Dizemos que o evento A ou B ocorrem se o resultado do experimento aleatório for um ponto de A ou de B
A  B  é a ocorrência de A ou de B;
A  B  é a ocorrência de A e de B;
A  B  é a ocorrência de A e não a de B;
Ā = Ω  A  é a não ocorrência de A.
Evento certo
 evento que ocorre sempre toda vez que se realiza o experimento 
 esse evento é o próprio Ω , que além de ser também o espaço amostral, é também um evento porque 
todo o conjunto é subconjunto de si mesmo(Ω  Ω ).
Espaço amostral : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A: ocorrência de um número menor que 7 e 
maior que 0 A = Ω 
 Evento que nunca irá ocorrer (   Ω ).
Espaço amostral : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento B: ocorrência de um número maior que 6 B= 
Evento elementar
 Evento formado apenas por um elemento do espaço
Evento C: ocorrência de um número maior que 5 B= {6}
 quando a intersecção entre dois (ou mais) eventos for igual 
ao conjunto vazio ( A  B =  )
 o experimento de lançar um dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Define-se os eventos A = {1, 3, 4} e B = {2, 6}, 
sendo A  B = 
* logo os eventos A e B assim definidos são eventos 
mutuamente exclusivos (e. m. e.).
 Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Eventos:
A:ocorrência de número par A= {2,4,6}
B:ocorrência de múltiplo de 3 B= {3,6}
C:ocorrência de número par ou múltiplo de 3
C= A  B = {2,4,6}  {3,6} = {2,3,4,6}
D:ocorrência de número par e múltiplo de 3
A  B = {2,4,6}  {3,6} = {6}
E:ocorrência de número ímpar E = {1,3,5}
E= Ā (complementar de A em relação a Ω)
A  E= 
Espaço amostral Ω
Eventos:
A:sair o mesmo número em ambos os dados
B:sair soma 7
C:sair soma maior que 10
D:sair soma menor que 5
E:sair soma maior que 12
F:sair soma maior que 1 e menor que 13
 Se após “n” repetições de um determinado experimento, com 
“n” suficientemente grande, se verificar “k” ocorrências de 
um evento, então a probabilidade de ocorrência desse evento 
será a sua freqüência relativa dada por k/n. ( ou ƒ(A)/n) 
 Quando num dado fenômeno( ou experimento) aleatório, com
espaço amostral finito, consideramos que todo evento
elementar tem a mesma chance de ocorrer( o espaço é
equiprovável), a probabilidade de ocorrer um evento A
indicada por P(A), é um número que mede essa chance e é
dado por:
 A probabilidade de um evento A é igual ao
quociente entre o número de pontos amostrais
desse evento (k) e o número de pontos amostrais
do espaço amostral (n) ao qual ele está associado,
desde que todos o pontos do espaço amostral
sejam igualmente prováveis (espaço equiprovável)
 a probabilidade de A é : P(A) = k/n .
 Verifica-se, ao observar o exemplo que a probabilidade que
procuramos tende a 0,72 e quanto mais vezes lançarmos o
dado mais essa probabilidade se aproximará de 0,72 é o que
chamamos de regularidade estatística.
nº de lançamentos ocorrências da 
face 6
probabilidade
10 8 0,8
100 71 0,71
1000 722 0,722
10000 7202 0,7202
100000 71995 0,71995
 Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento 
aleatório e seja A um evento desse espaço amostral, ou seja, A 
Ω. “P” é a chamada função de probabilidades e P(A) é a 
probabilidade de ocorrência do evento A se os seguintes 
axiomas forem obedecidos:
 1. 0  P(A)  1 ( evento A qualquer)
 2. P(Ω) = 1 (evento certo)
 3. Se A e B forem eventos mutuamente 
exclusivos(e.m.e.), então P(A  B) = P(A) + P(B)
1 . Considerando o experimento de lançar ao ar um dado “honesto”, cujo espaço amostral é 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, definindo-se os eventos: A = {2, 4, 6}, B = {1, 5} e C = {1, 2, 5, 6}, determina:
P(A) = 
P(B) = 
P(C) = 
 P()=0 (evento impossível)
 P(E) = 1/n (evento elementar,onde n(E)=1)
 Seja o complemento do evento A, então
P(Ā) = 1 - P(A).
 Sejam A e B dois eventos quaisquer associados a um mesmo experimento aleatório, então 
P(A  B) = P(A)  P(A  B)
 Sejam A e B dois eventos quaisquer associados a um mesmo experimento aleatório, então
P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B)