Álgebra Linear I - Poli - P1 - 2001

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a1Q1: Seja ABCDEFGH um cubo de aresta unita´ria de E3 e
considere o espac¸o V 3 orientado pela base {−−→CD,−−→CB,−−→CH}. Enta˜o
podemos afirmar que:
a) −−→EB ∧ −−→ED = −→GA
b) −−→EB ∧ −−→ED = −→AG
c) −−→EB ∧ −−→ED = −−→EH
d) −−→EB ∧ −−→ED = −→EA
e) −−→EB ∧ −−→ED = −−→EG
a1Q2: SejamB uma base ortonormal positiva de V 3, −→u = (−3λ,−2λ, λ)B
e −→v = (1, 0,−1)B. Se −→u forma um aˆngulo agudo com −→v e a
a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −→v e´ 6, enta˜o o valor
de λ e´:
a) -
√
2
2
b)
√
3
c)
√
2
2
d) -
√
3
e) 3
√
2
a1Q3: Sejam −→u ,−→v e −→w treˆs vetores de V 3.
Se −→x = (−→w ∧ −→v ) ∧ −→u enta˜o:
a) {−→x ,−→u ,−→v } e´ linearmente dependente.
b) {−→x ,−→w ,−→u } e´ linearmente dependente.
c) {−→x ,−→w ,−→v } e´ linearmente dependente.
d) {−→x ,−→w ,−→v } e´ linearmente dependente se e somente se {−→u ,−→v ,−→w }
e´ linearmente dependente.
e) {−→v ,−→w ,−→u } e´ linearmente dependente.
2
a1Q4: Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) O volume do tetraedro ABCD e´ dado por
V =
1
3
|−−→AB ∧ −→AC.−−→AD|.
(II) Quaisquer que sejam A,B,C,D em E3, temos que−−→
AB.
−−→
CD +−→AC.−−→DB +−−→AD.−−→BC = 0.
(III) Seja ABC um triaˆngulo de a´rea 1. Enta˜o a distaˆncia de um
ponto D de E3 ao plano determinado por A,B e C e´ dada por
1
2
|−−→AB ∧ −−→BC.−−→CD|.
Podemos afirmar que:
a) Apenas (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
b) Apenas (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
c) Apenas (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
d) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
e) Apenas (I) e´ verdadeira.
a1Q5: Sejam −→a ,−→b ,−→c vetores de V 3. Considere as afirmac¸o˜es:
(I) Se −→a na˜o e´ o vetor nulo enta˜o −→a .−→a > 0.
(II) Se −→a ∧ −→b = −→a ∧ −→c enta˜o {−→a ,−→b ,−→c } e´ linearmente
dependente.
(III) Se {−→a ,−→b ,−→c } e´ linearmente dependente enta˜o
−→a ∧ −→b = −→a ∧ −→c .
Temos que:
a) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) As afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o falsas.
c) As afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o falsas.
d) Somente (I) e´ verdadeira.
e) Somente (III) e´ falsa.
3
a1Q6: Sejam B uma base ortonormal de V 3, −→a = (0, 1, 1)B,−→b =
(0, 1, 0)B,−→c = (1, 1, 0)B. Seja−→u um vetor unita´rio tal que−→u .−→b >
0, −→u e´ ortogonal a −→c e a projec¸a˜o ortogonal de −→u sobre o vetor
−→a e´ (0, 1
2
,
1
2
)B. Enta˜o as coordenadas de −→u sa˜o:
a) (−2
3
,
2
3
,
1
3
)B
b) (−2
3
,
2
3
,−1
3
)B
c) (0, 0, 1)B
d) (
1
3
,
1
3
,
1
3
)B
e) (0, 1, 0)B
a1Q7: Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Seja ABC um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa AC e cateto
unita´rio AB, e seja X ∈ E3 tal que −−→AX∧−−→AB = −−→BC. Enta˜o existe
λ ∈ IR tal que −−→AX = −−→AB ∧ −−→BC + λ−−→AB.
(II) Sejam A e B pontos de E3 com AB unita´rio,m ∈ IR eX ∈ E3
tais que −−→AX.−−→AB = m. Enta˜o −−→AX = −→u +m−−→AB, em que −→u ⊥ −−→AB.
(III) Dados A,B e C pontos na˜o-colineares de E3, seja A a a´rea
do triaˆngulo ABC. Enta˜o ||−−→AB ∧ −−→BC|| = 1
2
A.
Podemos afirmar que:
a) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) Apenas (III) e´ verdadeira.
c) Apenas (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
d) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o falsas.
e) Apenas (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
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a1Q8: Assinale a afirmativa falsa:
a) Uma matriz mudanc¸a de base sempre tem determinante
diferente de zero.
b) Existem somente duas maneiras de orientar o espac¸o V 3.
c) Os vetores −→u e −→v sa˜o linearmente dependentes se e somente
se |−→u .−→v | = ||−→u || ||−→v ||.
d) Se o aˆngulo entre dois vetores e´ 180o enta˜o eles sa˜o paralelos.
e) Um vetor pode ser representado somente por um nu´mero finito
de segmentos orientados.
a1Q9: Seja E = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base ortonormal de V 3 e seja−→v ∈ V 3 tal que −→v ⊥ −→e2 + −→e3 , ||−→v || = 2 e o aˆngulo entre −→v e −→e1
e´
pi
4
. Denotando por α e β os aˆngulos que −→v faz com −→e2 e −→e3 ,
respectivamente, podemos afirmar que:
a) α = β =
pi
3
ou α = β =
2pi
3
.
b) α =
pi
3
, β =
2pi
3
ou α =
2pi
3
, β =
pi
3
.
c) α =
pi
3
e β =
2pi
3
.
d) α =
2pi
3
e β =
pi
3
.
e) α = −pi
3
e β = −2pi
3
.
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a1Q10: SejamB uma base ortonormal positiva, −→a = (1, 0, 1)B,−→b =
(1, 0, 0)B e −→c = (0, 1, 0)B. Seja E = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base
ortonormal negativa tal que: −→e1 e´ paralelo a −→a e tem o mesmo
sentido de −→a ; −→e2 = β−→b +γ−→c (β, γ ∈ IR, γ > 0). Podemos afirmar
que:
a) E = {(
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B, (0, 1, 0)B, (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)B}.
b) E = {(
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B, (0, 1, 0)B, (−
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B}.
c) E = {(−
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)B, (0, 1, 0)B, (−
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B}.
d) E = {(
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B, (0,−1, 0)B, (−
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B}.
e) E = {(
√
2
2
, 0,
√
2
2
)B, (0,−1, 0)B, (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)B}.
a1Q11: SejamB uma base ortonormal positiva, −→u = (1, 0, 1)B,−→v =
(2, 1, 2)B,−→w = (0, α, α)B, e V o volume do paralelep´ıpedo deter-
minado por −→u ,−→v e −→w . Podemos afirmar que:
a) V = 3 se e somente se α = −3.
b) V = 3 se e somente se α = 3.
c) V = 3 se e somente se α = 3 ou α = −3.
d) V = 3 se e somente se α 6= 3 e α 6= −3.
e) Na˜o existe α ∈ IR tal que V = 3.
a1Q12: Dado o tetraedro OABC, sejamD o ponto me´dio de AC e
M o ponto me´dio de BD. Denotando por E a base {−→OA,−−→OB,−−→OC}
de V 3, temos que:
a) −−→BM = (1
4
,
1
2
,
1
4
)
E
d) −−→BM = (0,−1
2
,
1
2
)
E
b) −−→BM = (1
4
,−1
2
,
1
4
)
E
e) −−→BM = (3
4
,−1
2
,
1
4
)
E
c) −−→BM = (3
4
,
1
2
,
1
4
)
E
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a1Q13: Sejam −→v e −→w dois vetores linearmente independentes de
V 3. Seja −→u a projec¸a˜o ortogonal do vetor −→v sobre o vetor −→w .
Considere as afirmac¸o˜es:
(I) ||−→w ||−→u .−→v = ||−→u ||−→v .−→w .
(II) −→u .−→v = ||−→u ||2.
(III) −→v .−→w = −→u .−→w .
Podemos afirmar que:
a) As afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
b) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ a verdadeira.
c) Apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ a verdadeira.
d) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
e) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
a1Q14: SejamB uma base ortonormal de V 3, −→a = (0, 1, 1)B,−→b =
(0, 1, 0)B,−→c = (1, 1, 0)B. Seja −→v um vetor de norma
√
8, que
forma um aˆngulo de 60o com −→a e tal que {−→a ,−→c ,−→v } e´ linear-
mente dependente. Podemos afirmar que:
a) −→v = (2, 2, 0)B ou −→v = (−2, 0, 2)B
b) −→v = (−2, 2, 0)B ou −→v = (−2, 0, 2)B
c) −→v = (2, 2, 0)B ou −→v = (−2, 0,−2)B
d) −→v = (−2,−2, 0)B ou −→v = (2, 0, 2)B
e) −→v = (2, 2, 0)B ou −→v = (−2, 2, 0)B
a1Q15: Sendo −→u e −→v vetores na˜o-nulos de V 3 e θ o aˆngulo entre
−→u e −→v , podemos afirmar que:
a) −→u .−→v = ||−→u || ||−→v ||cosθ, −→u ∧ −→v = ||−→u || ||−→v ||senθ.
b) −→u .−→v = ||−→u || ||−→v ||senθ, ||−→u ∧ −→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2− (−→u .−→v )2.
c) −→u .−→v = ||−→u || ||−→v ||cosθ, ||−→u ∧ −→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2 + (−→u .−→v )2.
d) −→u .−→v = ||−→u || ||−→v ||cosθ, ||−→u ∧ −→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2− (−→u .−→v )2.
e) −→u ∧ −→v e´ paralelo a −→u e −→v .
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a1Q16: O so´lido da figura e´ um prisma triangular reto; suas
bases sa˜o triaˆngulos equila´teros e suas faces laterais sa˜o quadra-
dos de lado 2. Consideremos uma orientac¸a˜o de V 3 de modo
que {−→CA,−−→CB,−−→CF} e´ uma base positiva. Sejam −→u = −−→DE,−→v =
−−→
DF,−→w = −−→DC,−→i =
−→v
||−→v || ,
−→
j =
−→u ∧ −→v
||−→u ∧ −→v || ,
−→
k = −→i ∧−→j . Podemos
afirmar que:
a) −→u ∧ −→v = 2√3−→j , −→w = 2−→i + 2−→j , (−→u ∧ −→v ).−→w = 4√3.
b) {−→i ,−→j ,−→k } e´ uma base negativa.
c) {−→i ,−→j ,−→k } na˜o e´ uma base ortonormal.
d) −→u ∧ −→v = −2√3−→j , −→w = 2−→i − 2−→j , (−→u ∧ −→v ).−→w = 4√3.
e) −→u ∧ −→v = 2√3−→j , −→w = 2−→i − 2−→j , (−→u ∧ −→v ).−→w = −4√3.
a1Q17: Seja E = {−→i ,−→j ,−→k } uma base ortonormal positivade
V 3. Seja F = {−→u ,−→v ,−→w } outra base de V 3, com −→u = −→i + 3−→k ,
−→v = 3−→j , −→w = −→i +−→j +−→k . A afirmac¸a˜o falsa e´:
a) F e´ uma base positiva de V 3.
b) F na˜o e´ uma base ortonormal de V 3.
c) {(0, 0, 1)E , (1, 0, 0)E , (0, 1, 0)E} e´ uma base ortonormal de V 3.
d) a matriz de mudanc¸a de base de E para F e´
 1 0 10 3 1
3 0 1
.
e) a matriz de mudanc¸a de base de E para F tem determinante
diferente de 0.
a1Q18: Seja E uma base ortonormal positiva de V 3. Considere
os vetores −−→AB = (1, 0, 1)E ,−→AC = (2,−1, 0)E e −−→AD = (0,−1, 1)E .
A altura h do tetraedro ABCD relativa ao ve´rtice D e´:
a) h =
√
6
12
d) h =
√
6
6
b) h =
√
6
3
e) h =
√
6
2
c) h =
√
6
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a1Q19: SejamB uma base ortonormal positiva, −→v = (1,−1, 0)B,−→w =
(1, 1, 1)B e −→a = (1, 0, 2)B. Se −→u e´ um vetor ortogonal a −→v e −→w , e−→u forma um aˆngulo obtuso com −→a , enta˜o podemos afirmar que:
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a) −→u = (−λ,−λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ 6= 0).
b) −→u = (−λ,−λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ > 0).
c) −→u = (−λ,−λ, 2λ) (λ ∈ IR).
d) −→u = (−λ,−λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ < 0).
e) −→u = (−α,−β, γ) (α, β, γ ∈ IR).
a1Q20: Dados os vetores −→a ,−→b ,−→c de V 3, a afirmac¸a˜o falsa e´:
a) (−→a −−→b +−→c ) ∧ (−−→a +−→b −−→c ) = −→0 .
b) Se {−→a ,−→c } e´ linearmente independente e −→a .−→b 6= 0 enta˜o
(−→a ∧ −→b ) ∧ −→c 6= −→a ∧ (−→b ∧ −→c ).
c) Se −→a .−→b = −→a .−→c = −1 enta˜o o aˆngulo entre −→a e −→b coincide
com o aˆngulo entre −→a e −→c e ambos valem pi.
d) −→a .−→b = −→a .−→c se e somente se −→a ⊥ (−→b −−→c ).
e) (−→a ∧ −→b ) ∧ −→c e´ ortogonal a −→c .