p3 poli 2008

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t1Q1: Seja
A =
{[ 1 1
1 1
]
,
[
0 1
1 1
]
,
[
0 0
1 1
]
,
[
2 2
2 2
] }
.
A afirmac¸a˜o falsa e´:
a) O conjunto A na˜o e´ linearmente independente.
b) O conjunto A gera o espac¸o vetorial M2(IR).
c) O conjunto A na˜o e´ uma base de M2(IR).
d) Existe uma base de M2(IR) que conte´m os 3 primeiros elementos
do conjunto A.
e) O conjunto A e´ linearmente dependente e o subespac¸o S = [A]
tem dimensa˜o 3.
t1Q2: A func¸a˜o y(t) = b e−2t + c et (b, c ∈ IR) e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial y′′(t) + (a− 1)y′(t)− ay(t) = 0 (a ∈ IR), com
condic¸o˜es iniciais y(0) = 2, y′(0) = −1, se e somente se:
a) a = 2 e b = c = 1.
b) a 6= 2 e b = c = 1.
c) a 6= 1 e a 6= 0.
d) a 6= 1, a 6= 0 e b = c = 1.
e) a = 2 e b 6= 1.
t1Q3: Seja S = [(1, 0,−1, 1), (1, 1, b, 1), (0, a, a, 1)] ⊂ IR4, em que
a, b ∈ IR. Assinalar a afirmac¸a˜o verdadeira:
a) Se a = 0 enta˜o dim(S) = 2 para todo b.
b) Se b = 0 enta˜o dim(S) = 2 para todo a.
c) A dimensa˜o de S e´ 3 se e somente se a = b = 0.
d) A dimensa˜o de S e´ 2 se e somente se a = b = 0.
e) A dimensa˜o de S e´ 3 para todo a e b.
t1Q4: Considere os seguintes subconjuntos do espac¸o vetorial
F (IR) das func¸o˜es de IR em IR:
S1 = {f ∈ F (IR) | f(t) = f(t + 1), ∀ t ∈ IR}
S2 = {f ∈ F (IR) | f(t) e´ inteiro, ∀ t ∈ IR}
S3 = {f ∈ F (IR) | f(t + s) = f(t) + f(s), ∀ t, s ∈ IR}
A afirmac¸a˜o verdadeira e´:
a) Apenas S1 e´ subespac¸o de F (IR).
b) Apenas S2 e S3 sa˜o subespac¸os de F (IR).
c) Apenas S1 e S2 sa˜o subespac¸os de F (IR).
d) Apenas S1 e S3 sa˜o subespac¸os de F (IR).
e) S1, S2 e S3 sa˜o subespac¸os de F (IR).
t1Q5: Seja
S =
{ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

 ∈ M3(IR) |
a11 + a12 + a13 = a21 + a22 + a23 = a31 + a32 + a33
}
.
a) S na˜o e´ um subespac¸o de M3(IR).
b) S e´ um subespac¸o de M3(IR) e dim(S) = 7.
c) S e´ um subespac¸o de M3(IR) e dim(S) = 6.
d) S e´ um subespac¸o de M3(IR) e dim(S) = 1.
e) S e´ um subespac¸o de M3(IR) e dim(S) = 3.
t1Q6: Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e O o elemento
neutro da adic¸a˜o em V . Seja S um subconjunto de V . Enta˜o a
afirmac¸a˜o falsa e´:
a) Se O e´ um elemento de S enta˜o S e´ um subespac¸o de V .
b) Se S e´ um subespac¸o de V enta˜o 0 ≤ dim(S) ≤ n.
c) Se B e´ um subconjunto linearmente independente de V com n
elementos, enta˜o B e´ uma base de V .
d) Se B e´ um conjunto gerador de V com n elementos, enta˜o B e´
uma base de V .
e) Toda base de V tem n elementos.
t1Q7: Se S e´ o espac¸o das soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo

x + 2w = 0
y − z − 3u = 0
z + w + u = 0
t = 0
enta˜o a afirmac¸a˜o verdadeira e´:
a) A dimensa˜o de S e´ 4.
b) E´ poss´ıvel encontrar um subconjunto linearmente independente
de S com 3 elementos.
c) Todo subconjunto de S com 3 elementos gera S.
d) A dimensa˜o de S e´ 3.
e) Existe um subconjunto de geradores de S com 2 elementos.
t1Q8: Seja B = {1, sen(ax), sen(x)} (a ∈ IR). Enta˜o podemos
afirmar que:
a) O conjunto B e´ sempre linearmente dependente.
b) O conjunto B e´ linearmente dependente se e somente se a = 0.
c) O conjunto B e´ linearmente independente se e somente se
a 6= 0, a 6= 1 e a 6= −1.
d) O conjunto B e´ linearmente dependente se e somente se
a = 1 ou a = −1.
e) O conjunto B e´ sempre linearmente independente.
t1Q9: Seja S o subespac¸o de IR3 tal que S = [(1, 1, 1), (2, 1, 0)].
Sejam a, b ∈ IR. O vetor (a, b, 2) ∈ S se e somente se:
a) a− 2 = 2(b− 2).
b) a = 2b.
c) a e b sa˜o nu´meros reais quaisquer.
d) a = b = 0.
e) a = b = 2.
t1Q10: Sejam S1 e S2 os seguintes subespac¸os de M2(IR) :
S1 =
{[
2a b
2b a
]
com a, b ∈ IR
}
e S2 =
[[
2 1
2 1
]
,
[
2 0
0 1
]
,
[
6 4
8 3
]]
.
Enta˜o podemos afirmar que:
a) dim(S1) = 2 e dim(S2) = 3.
b) dim(S1) < dim(S2).
c) dim(S1) > dim(S2).
d) dim(S1) = dim(S2), mas eles na˜o sa˜o iguais.
e) S1 = S2.
t1Q11: Seja V = P20(IR) o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau
menor ou igual a 20 com coeficientes reais. Considere as seguintes
afirmac¸o˜es:
(I) Um subconjunto de V com 20 vetores e´ sempre linearmente
independente.
(II) Um subconjunto de V com 20 vetores esta´ sempre contido em
uma base de V.
(III) Um subconjunto de V com 20 vetores na˜o gera V.
Enta˜o podemos afirmar que:
a) Nenhuma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira.
b) As afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras, mas (III) e´ falsa.
c) As afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras, mas (II) e´ falsa.
d) Apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira.
e) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira.
t1Q12: A dimensa˜o do subespac¸o [t, et, t − et, tet, t + et] de
F(IR) e´:
a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5
t1Q13: Se A e´ um conjunto linearmente dependente finito e
x ∈ [A− {x}] enta˜o podemos afirmar que:
a) A− {x} e´ linearmente dependente.
b) A− {x} e´ linearmente independente.
c) [A− {x}] = [A].
d) Pode ocorrer [A− {x}] 6= [A], mas suas dimenso˜es sa˜o iguais.
e) [A− {x}] ⊂ [A], mas [A− {x}] 6= [A].
t1Q14: Qual dentre os conjuntos abaixo pode ser reunido ao con-
junto
A =
{ [ 1 −2
3 1
]
,
[
2 −7
−5 2
]
,
[
3 −4
3 3
] }
de modo a constituir uma base de M2(IR)?
a)
{ [ 0 0
0 1
] }
b)
{ [ 0 0
0 0
] }
c)
{ [ 0 1
0 0
] }
d)
{ [ 0 0
1 0
] }
e)
{ [ 1 0
0 1
] }
t1Q15: Em P3(IR), considere os conjuntos
A = {1+t, t+t3}, B = {1+2t+t3, 1−t3}, C = {1+3t+t3, t2}
Assinale a alternativa correta.
a) [C] ⊂ [B], mas [C] 6= [B]
b) [A] = [C]
c) [B] = [C]
d) [C] ⊂ [A], mas [C] 6= [A]
e) [A] = [B]
t1Q16: Sejam p1(t) = 1+t+3t
2+t3, p2(t) = 1+2t
2+t3, p3(t) =
4 + t + 9t2 + 4t3, p4(t) = 2 + 2t + 8t
2 + 2t3 e S o subespac¸o de
P3(IR) gerado por {p1(t), p2(t), p3(t), p4(t)}. Assinale a afirmac¸a˜o
verdadeira.
a) S = P3(IR)
b) Existe uma base de P3(IR) que conte´m {p2(t), p3(t), p4(t)}.
c) A dimensa˜o de S e´ 2.
d) Existe uma base de P3(IR) que conte´m {p1(t), p2(t), p3(t)}.
e) S = [p1(t), p2(t), p3(t)]
t1Q17: Se y : IR → IR e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 2y′ + y = 0, com condic¸o˜es iniciais y(0) = 1, y′(0) = 2,
enta˜o y(−1) e´ igual a:
a)
2
e
b) −
1
e
c)
1
e
d) 0 e) −
2
e
t1Q18: Se y : IR → IR e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 4y′ + 13y = 0, com condic¸o˜es iniciais y(0) = 2, y′(0) = 7,
enta˜o y(pi
3
) e´ igual a:
a) 3e
2pi
3 b) e
2pi
3 c) −2e
2pi
3 d) −2e
pi
3 e) 2e
2pi
3
t1Q19: Seja V um espac¸o vetorial e seja A = {u, v,w} um sub-
conjunto linearmente independente de V . Considere as seguintes
afirmac¸o˜es:
(I) [u + v, u + w, v + w] = [u, v,w]
(II) O conjunto {u, u + v, u + w} e´ linearmente independente.
(III) [u + v, u + w, v − w] = [u, v,w]
(IV) O conjunto {u−w, u+v, u+w} e´ linearmente independente.
Enta˜o podemos afirmar que:
a) Apenas (I) e (IV) sa˜o verdadeiras.
b) Apenas (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
c) Apenas (I), (II) e (IV) sa˜o verdadeiras.
d) Apenas (I), (III) e (IV) sa˜o verdadeiras.
e) As quatro afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
t1Q20: Em M2(IR), sejam as matrizes
A =
[
1 0
−1 1
]
, B =
[
1 1
1 1
]
, C =
[
0 2
2 1
]
e S = [A,B,C].
Enta˜o a matriz
[
2 a
0 b
]
pertence a S se se somente se:
a) a− b− 1 = 0
b) a = 1 e b = 2
c) a + b− 3 = 0
d) a− b + 1 = 0
e) a = 0 e b = −1