Resolução do Exercício 12: a) Um polinomio em P3 pertence em S se e somente se ele admite 0 por raiz. Portanto: S = {p ∈ P3 | p(x) = x(ax+ b) ond...

A resolução do exercício 12 é a seguinte: a) O conjunto S é formado por polinômios de grau 3 que possuem 0 como raiz. Portanto, S = {p ∈ P3 | p(x) = x(ax+ b), onde a, b ∈ R}. Simplificando a expressão, temos S = {p ∈ P3 | p(x) = ax^2 + bx, onde a, b ∈ R}. Os polinômios x e x^2 são linearmente independentes e formam uma base de S. Portanto, a dimensão de S é 2. b) O conjunto T é formado por polinômios de grau 3 que possuem 0 como raiz. Portanto, T = {p ∈ P3 | p(x) = (x− 1)(ax+ b), onde a, b ∈ R}. Simplificando a expressão, temos T = {p ∈ P3 | p(x) = ax^2 + (b− a)x− b, onde a, b ∈ R}. Os polinômios x^2 − 1 e x − 1 são linearmente independentes e formam uma base de T. Portanto, a dimensão de T é 2. c) O conjunto Ts ∩ T é formado por polinômios de grau 3 que possuem 0 e 1 como raízes. Portanto, S ∩ T = {p ∈ P3 | p(x) = ax(x− 1), onde a ∈ R}. Simplificando a expressão, temos S ∩ T = {p ∈ P3 | p(x) = ax^2 - ax, onde a ∈ R}. O polinômio x(x− 1) forma uma base de S ∩ T. Portanto, a dimensão de S ∩ T é 1.