4. Sea P3(R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado ≤ 3, M2(R) el de las matrices cuadradas reales de orden 2 y α un número real. ...

A função Tα é linear se satisfizer duas propriedades: preservação da soma e preservação da multiplicação por escalar. Vamos verificar se a função Tα satisfaz essas propriedades. 1. Preservação da soma: Sejam p, q ∈ P3(R) e c ∈ R. Precisamos mostrar que Tα(p + q) = Tα(p) + Tα(q). Tα(p + q) = [ (p + q)(α) (p + q)(α + 1) (p + q)'(α) (p + q)'(α + 1) ] = [ p(α) + q(α) p(α + 1) + q(α + 1) p'(α) + q'(α) p'(α + 1) + q'(α + 1) ] = [ p(α) p(α + 1) p'(α) p'(α + 1) ] + [ q(α) q(α + 1) q'(α) q'(α + 1) ] = Tα(p) + Tα(q). Portanto, a função Tα preserva a soma. 2. Preservação da multiplicação por escalar: Seja p ∈ P3(R) e c ∈ R. Precisamos mostrar que Tα(c * p) = c * Tα(p). Tα(c * p) = [ (c * p)(α) (c * p)(α + 1) (c * p)'(α) (c * p)'(α + 1) ] = [ c * p(α) c * p(α + 1) c * p'(α) c * p'(α + 1) ] = c * [ p(α) p(α + 1) p'(α) p'(α + 1) ] = c * Tα(p). Portanto, a função Tα preserva a multiplicação por escalar. Concluímos que a função Tα é linear. Para encontrar a matriz de Tα nas bases canônicas de P3(R) e M2(R), precisamos aplicar a função Tα a cada vetor da base de P3(R) e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base de M2(R). A base canônica de P3(R) é {1, x, x^2, x^3}, e a base canônica de M2(R) é dada pelas matrizes: [1 0] [0 1] [0 0] e [0 0]. Aplicando a função Tα a cada vetor da base de P3(R), temos: Tα(1) = [ 1(α) 1(α + 1) 0 0 ] = [ α α + 1 0 0 ], Tα(x) = [ α α + 1 1 1 ] = [ α α + 1 1 1 ], Tα(x^2) = [ α^2 α^2 + 2α 2α 2α + 2 ] = [ α^2 α^2 + 2α 2α 2α + 2 ], Tα(x^3) = [ α^3 α^3 + 3α^2 3α^2 3α^2 + 6α ] = [ α^3 α^3 + 3α^2 3α^2 3α^2 + 6α ]. Portanto, a matriz de Tα na base canônica de P3(R) e M2(R) é: [ α α α^2 α^3 ] [ α+1 α+1 α^2+2α α^3+3α^2 ] [ 0 1 2α 3α^2 ] [ 0 1 2α+2 3α^2+6α ].