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FEP2196 � Física para Engenharia II Prova P3 � 04/12/2008 Nome:.................................................. N o USP:................................................ Assinatura:.......................................... Turma/Professor:................................ Observações: • A prova tem duração de 2 horas. • Não é permitido o uso de calculadora. • Preencha de forma legível todas as folhas (inclusive esta) com seu nome, número USP e turma, e apresente sua identidade ao assinar a lista de presença. • Resolva cada exercício a partir a frente da folha com o mesmo número. • Justifique todas as respostas com fórmulas, comentários e cálculos intermediários, não esquecendo das unidades das grandezas físicas. • Caso apareça alguma raiz que não seja um quadrado perfeito, deixe indicado (não é necessário aproximar a resposta). Formulário x′ = γ(v)(x− vt) t′ = γ(v)(t− v c2 x) γ(v) = 1√ 1− v 2 c2 x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ + v c2 x′) u′x = ux − v 1− vux c2 u′y = 1 γ(v) uy 1− vux c2 ~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c2 E2 = p2c2 +m02c4 ν ′ = √ 1∓ v/c 1± v/c ν sen30◦ = cos 60◦ = 1 2 sen60◦ = cos 30◦ = √ 3 2 sen45◦ = cos 45◦ = √ 2 2 1 S S S S’ S’ S’ 30o 30o x y S u u A B Figura 1: Painel da esquerda (Q. 1): Caixa com espelhos nas extremidades. Os eventos A, B e C correspondem à emissão do raio de luz no espelho esquerdo, reflexão no espelho direito, e retorno ao espelho esquerdo, respectivamente. Painel da direita (Q. 4): Partículas A e B vistas do referencial S, num instante t. Questão 1 Dois espelhos são colocados nas extremidades de uma caixa de largura própria L0 = 900 m, como mostra o painel da esquerda da Figura 1. Considere dois observadores: para um deles, o observador S, essa caixa se move à velocidade v = 0, 8 c para a direita (na direção de x positivo); o outro observador, S′, está no referencial próprio da caixa. No instante t = t′ = 0 as origens dos sistemas de coordenadas de S e S′ coincidem e um raio de luz é emitido do espelho esquerdo da caixa (na origem de S′), em direção ao espelho direito (evento A). Mais tarde, o raio de luz é refletido pelo espelho direito (evento B) e, finalmente, o raio de luz retorna ao espelho esquerdo (evento C). Responda: (a) Quais as coordenadas (t′, x′) no referencial S′, e (t, x) no referencial S, dos eventos A, B e C? (0,5) (b) No referencial próprio da caixa, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido (A) e retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5) (c) Para o observador no referencial S, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido (A) e retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5) (d) O observador no referencial S quer medir o comprimento da caixa. Supondo que o observador S conhece as coordenadas dos eventos A, B e C, como ele pode fazer para determinar o comprimento da caixa, e que valor ele obtém? (1,0) 2 Questão 2 Alfa-Centauro é a estrela mais próxima da Terra, situada a uma distânciaD medida no referencial próprio da Terra. Um astronauta parte da Terra em direção a ela com velocidade 0, 6c. Considere a estrela em repouso em relação à Terra. (a) Para o astronauta, qual foi a distância percorrida? (0,5) (b) Para o astronauta, qual foi o tempo da viagem? (0,5) (c) Qual a duração da viagem, medida por um observador na Terra? (0,5) (d) Se na metade da viagem o astronauta emitisse um sinal de luz em direção à Terra, quanto tempo depois da partida do astronauta esse sinal seria observado na Terra? (0,5) (e) Existe algum referencial inercial em que a partida do astronauta da Terra e sua chegada em Alfa-Centauro sejam eventos simultâneos? (0,5) Questão 3 Considere um elétron e um pósitron (partícula idêntica ao elétron exceto por sua carga elétrica, que tem mesma magnitude mas sinal oposto), de massas de repouso m0 = 0, 51MeV/c2 e ve- locidades de mesma magnitude, tal que γ = 5/3 , colidindo de frente segundo um observador no referencial inercial S. Nesse processo, o elétron e o pósitron se aniquilam, produzindo radiação gamma (fótons). (a) Qual o valor das velocidades das partículas segundo o observador em S? (0,5) (b) É possível que um único fóton seja gerado nesse processo? Ou seja, a reação e − + e+ −→ γ pode ocorrer? (0,5) (c) É possível que dois fótons sejam gerados nesse processo? Ou seja, a reação e −+e+ −→ γ+γ pode ocorrer? (0,5) (d) Calcule a energia e o momento linear do(s) fóton(s) gerado(s), no referencial S (pelo menos um dos processos dos ítens anteriores é possível). (0,5) (e) Qual a energia cinética total inicial, no referencial de laboratório? Há conservação da energia cinética? (0,5) Questão 4 Em um referencial inercial S, um observador vê duas partículas idênticas (A e B) emergirem da origem, com velocidades iguais em módulo u = c √ 3/3 , formando ângulos de +30◦ e −30◦ com o eixo x, conforme o painel da direita da Figura 1. (a) Qual a velocidade do referencial de centro de massa das duas partículas? (0,5) (b) Calcule as velocidades de A e B, quando observadas no referencial do centro de massa das duas partículas. (1,0) (c) Admita que, num determinado instante, a partícula A emita um sinal luminoso de freqüência própria ν0, na direção de um observador localizado no centro de massa. Calcule a freqüência ν do sinal medida por esse observador. (1,0) 3 FEP2196 � Físi a para Engenharia II Prova P3 � 10/12/2009 � Gabarito Formulário x′ = γ(v)(x − vt) t′ = γ(v)(t− v c2 x) γ(v) = 1√ 1− v 2 c2 x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ + v c2 x′) y′ = y z′ = z l = 1 γ(v) l0 τ = γ(v)τ0 u′x = ux − v 1− vuxc2 u′y = 1 γ(v) uy 1− vuxc2 ~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c 2 E2 = p2c2 +m0 2c4 sen30◦ = cos 60◦ = 1 2 sen60◦ = cos 30◦ = √ 3 2 sen45◦ = cos 45◦ = √ 2 2 Questão 1: GP do Brasil e Supernova No Grande Prêmio (GP) do Brasil de Fórmula 1 em Interlagos, o piloto A ganha a orrida ruzando a linha de hegada um segundo antes do piloto B. Supondo que o autódromo de Interlagos possa ser onsiderado um referen ial iner ial (S), responda: (a) [1,0℄ A ordem de hegada é a mesma em qualquer referen ial S′ que se move om relação a S, independentemente de sua velo idade om relação a S? Mostre que o intervalo de tempo entre as hegadas dos pilotos medido em S é sempre menor ou igual a um intervalo de tempo medido em um outro referen ial S′. R: Em S, ∆t = 1 s , ∆x = 0 Já em S′, ∆t′ = γ(v)(∆t− v c2 ∆x) = γ∆t > ∆t . Portanto, a ordem de hegada é inalterada (∆t > 0 e ∆t′ > 0), e o intervalo de tempo em S′ é sempre maior que o em S. (b) [0,5℄ Um ano depois da orrida (em S) o orre uma explosão de uma �estrela supernova� a 100 anos- luz de distân ia da terra (obs: 1 ano-luz é a distân ia que a luz per orre em um ano). Quantos anos depois do �nal da orrida a luz da explosão da supernova será observada por astr�nomos na terra? R: O tempo é 1 ano + 100 anos-luz/c = 101 anos. ( ) [1,0℄ Para um observador situado em um referen ial iner ial S′, que se afasta de S om velo idade v, a explosão da supernova o orre um ano antes do GP do Brasil. Estime a velo idade do sistema S′ om relação a S em m/s ( onsidere a velo idade da luz omo sendo c = 3.0 × 108 m/s; se vo ê a har ne essário, utilize também o fato de que um ano orresponde a aproximadamente 3× 107 s). R: Temos que o evento da explosão da supernova, que no referen ial S o orre em t2 = 1 ano, e x2 = 100 anos-luz, o orre em S ′ num instante: t′2 = γ(t2 − v c2 x2) = −1 ano Agora, usando que γ = 1/ √ 1− v2/c2 e resolvendo para v obtemos que: v = 200 104 + 1 c ≃ 6× 106 m/s . 1 Questão 2: Metralhadora espa ial Uma metralhadora atira balas relativísti as om velo idade 0,5 , a uma taxa de 60 balas por minuto, ontra uma espaçonave inimiga.A nave inimiga, por sua vez, se aproxima da metralhadora om velo idade 0,5 . (a) [0,5℄ Qual é a distân ia entre as balas no referen ial da metralhadora (S)? R: Em S temos que λ = 0.5c× 1 s = 1, 5× 108 m . (b) [0,5℄ Cal ule o intervalo de tempo entre dois disparos onse utivos no referen ial da nave (S′)? R: Dilatação temporal apli ada ao intervalo τ = 1 s de disparos em S: τ ′ = γ(v = 0, 5c)τ = 2√ 3 =≃ 1, 15 s . ( ) [0,5℄ Qual a velo idade das balas no referen ial S′? R: Vamos hamar de u a velo idade da bala no referen ial S, e u′ será a velo idade no referen ial S′. Vamos também supor que a metralhadora está no eixo x, à esquerda da nave inimiga, que se move para a esquerda (na direção −xˆ) om velo idade 0,5 c. Usando a fórmula para a transformação de velo idades na direção paralela ao movimento relativo entre os referen iais, temos que a velo idade das balas é dada por: u′ = 0, 5 c− (−0, 5 c) 1− (0.5 c)(−0,5 c)c2 = 1 c 5/4 = 4 5 c = 2, 4× 108 m/s . (d) [1,0℄ Qual é a distân ia entre balas onse utivas no referen ial da nave (S′)? R: É a distân ia (u′τ ′) per orrida pela bala no intervalo entre disparos (τ ′) menos a distân ia (vτ ′) per orrida pela metralhadora no mesmo intervalo de tempo. λ′ = (u′ − v)τ ′ = (4 5 − 0, 5)c 2√ 3 = √ 3 5 c = 1, 04× 108 m . Questão 3: Nave espa ial que �engole� asteróide Uma espaçonave ruza nossa galáxia om os propulsores desligados e uma velo idade v próxima da velo idade da luz, medida no referen ial S que está em repouso om relação à galáxia. Ao longo da trajetória da nave ela aptura um pequeno asteróide que estava em repouso na galáxia, aumentando assim sua massa e diminuindo um pou o sua velo idade. Sendo M e m as massas de repouso da nave e do asteróide, respe tivamente, responda (deixando, quando ne essário, suas respostas em função de γ(v) = [1− (v/c)2]−1/2): (a) [1,0℄ Qual a velo idade �nal u da nave (após a aptura) para um observador em repouso na galáxia (no referen ial S)? R: Usando onservação de energia e momento, temos que, no referen ial S: γ(v)Mv = γ(u)Mfu , e γ(v)Mc2 +mc2 = γ(u)Mfc 2 , onde u é a velo idade da nave após ela apturar o asteróide, e Mf é a massa �nal da nave após a aptura (note que Mf 6= M +m, pois se trata de um hoque inelásti o!) Substituindo γ(u)Mf da segunda equação na primeira, temos que: u = γ(v)M γ(v)M +m v . 2 (b) [1,0℄ Agora tome o referen ial (S′), que está em repouso om relação à nave antes da aptura. Nesse referen ial, qual a velo idade �nal u′ da nave depois de apturar o asteróide? R: Novamente, usamos onservação de energia e momento, agora no referen ial S′. Note que, se a velo idade relativa da nave om rela ão ao asteróide é v, então a velo idade relativa do asteróide om relação à nave é −v (vetorialmente, é laro). Temos então que: −γ(v)mv = −γ(u′)Mfu′ , e γ(v)mc2 +Mc2 = γ(u′)Mfc 2 , onde u′ é a velo idade da nave após ela apturar o asteróide, no referen ial S′, e Mf é a massa �nal da nave após a aptura (note que a massa de repouso Mf é a mesma nos dois referen iais!) Substituindo γ(u′)Mf da segunda equação na primeira, temos que: u′ = γ(v)m γ(v)m+M v . Note também que poderíamos ter hegado a essa expressão utilizando a transformação de velo i- dades, obtendo u′ em função de u e de v. O resultado seria idênti o ao obtido a ima � a menos de um pou o de álgebra. ( ) [0,5℄ Qual a massa de repouso �nal da nave depois de apturar o asteróide? Deixe sua resposta em termos dos γ's das velo idades. R: Podemos obter a massa de qualquer uma das equações de onservação de energia, no referen ial S ou no referen ial S′. Temos que: Mf = γ(v)M +m γ(u) = γ(v)m+M γu′ . É fá il (embora um pou o trabalhoso) veri� ar que as duas expressões a ima são iguais � mas isso não foi exigido na prova. Questão 4: Colisão de partí ulas idênti as Um hoque envolve duas partí ulas idênti as de massa de repousom0. Antes da olisão uma das partí ulas (1) estava se movendo na direção x de en ontro à outra (2), que estava ini ialmente parada num referen ial S. A energia da partí ula (1) antes da olisão, medida no referen ial S, era de 5m0 c 2 . Sabendo que o hoque foi elásti o e que as duas partí ulas emergem om energias inéti as iguais, responda (sempre no referen ial S): (a) [0,5℄ Qual é a energia inéti a ini ial do sistema, antes do hoque? R: K = K1 = [γ(v)− 1]m0 c2 = 4m0 c2 . (b) [1,0℄ Mostre que depois do hoque as omponentes do momento linear das duas partí ulas na direção x são iguais, e determine as omponentes do momento �nal da partí ula (1), p (1) x e p (1) y em termos de m0c. ( ) [1,0℄ Qual é o ângulo entre as trajetórias das duas partí ulas depois do hoque? R: Primeiro, vamos es rever a energia antes do hoque: Ei = E1 + E2 = 5m0 c 2 +m0 c 2 = 6m0 c 2 . Depois do hoque, as partí ulas saem om velo idades iguais em módulo (u), portanto, por onser- vação de energia: Ef = 2 γ(u)m0 c 2 ⇒ γ(u) = 3 . 3 Agora, podemos obter v e u sabendo que γ(v) = 5 (do enun iado e do item anterior), e que γ(u) = 3. Obtemos que: v = √ 24 25 c , u = √ 8 9 c . Quanto ao momento ini ial, temos que ~Pi = γ(v)m0 v xˆ . Como as velo idades es alares �nais das duas partí ulas são iguais (u), então laramente as ompo- nentes dessas velo idades na direção y têm que ser iguais mas om sentidos opostos (u (2) y = −u(1)y ), para que haja onservação de momento naquela direção. Isso signi� a que na direção x as ompo- nentes das velo idades �nais das duas partí ulas são idênti as (u (2) x = u (1) x ). Portanto, no estado �nal as duas partí ulas têm a mesma quantidade de movimento na direção x, que então é a metade da quantidade de movimento ini ial. Temos então que: ~Pf = 2 γ(u)m0 ux xˆ = 2 × 3 × m0 × √ 8 9 c × cos θ xˆ = 4 √ 2 cos θm0 c xˆ; , onde θ é o ângulo que ~u (de qualquer uma das duas partí ulas) faz om o eixo x. Mas o momento ini ial está dado a ima, e vale: ~Pi = γ(v)m0 v xˆ = 5m0 √ 24 25 c xˆ = 2 √ 6m0 c xˆ . Igualando o momento ini ial om o momento �nal, temos que: cos θ = √ 3 2 ⇒ θ = 30◦ . Assim, �nalmente temos que a resposta para o item (b) é: p(1)x = γ(u)m0 u cos θ = 1 2 Pi = √ 6m0 c , p(2)y = γ(u)m0 u senθ = √ 2m0 c . Dessas expressões também podemos obter que p = √ p2x + p 2 y = 2 √ 2m0 c, o que onfere om a expressão p = γ(u)m0u. A resposta para o item ( ) é portanto a seguinte: a primeira partí ula emerge num ângulo de 30◦ om respeito ao eixo x; a segunda partí ula emerge num ângulo −30◦ om respeito ao eixo x. Portanto, o ângulo entre as trajetórias das partí ulas é de 60◦. 4
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