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RACIOCÍNIO LÓGICO Aula 1 - Introdução a Teoria de Conjuntos Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO Conteúdo Programático desta aula Conjuntos e Elementos Representações Subconjuntos Pertinência e Inclusão Tipos de Conjunto Conjuntos Numéricos Conjunto das Partes D ASS Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos (não-definidos): A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Representação de um Conjunto forma de tabela entre chaves { } e separados por vírgula. A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... . Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Representação de um Conjunto Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples. A B • 1 • 2 • 3 • 4 • a • e • i • o • u Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Representação de um Conjunto Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Representação através de uma propriedade A = {x | x é país da Europa} o conjunto A é formado por todos os países da Europa Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * (b) B = {x | x é número natural par} o conjunto B é formado por todos os números naturais pares Representação através de uma propriedade Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Relação de Pertinência A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. u A (lê-se “u pertence a A”) e u B (lê-se “u não pertence a B”) Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Relação de Pertinencia De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos: (pertence) e (não pertence) Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Tipos de Conjuntos Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: C = {5} (b) B = { x | x é estrela do sistema solar} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Tipos de Conjuntos Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ou { }. Exemplos: D = {x | x é número e x . 0 = 5} = E = {x | x é computador sem memória} = { } Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Tipos de Conjuntos Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos. Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} D = {x | x é brasileiro} H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Tipos de Conjuntos Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem. Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} A = { x N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. temos A = B. os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se “A é diferente de B”). Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjunto Universo Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjunto Universo Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Notação: A B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B A (lê-se “B contém A”). A B x(x A → x B) Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Subconjuntos Conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Subconjuntos {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5} {9, 6} {2, 8} {2, 8} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Pertinência e Inclusão Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Pertinência e Inclusão Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjuntos e Subconjuntos A B Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * De um dado conjunto cujos elementos classificamos como sons, podemos criar ao menos dois subconjuntos: o conjunto dos sons agradáveis e o conjunto dos sons desagradáveis. Conjuntos e Subconjuntos Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Brasil: conjunto de 26 estados e o distrito federal; Cada estado é um conjunto de municípios; cada município é um conjunto de distritos; e cada distrito é um conjunto de bairros. Brasil Estado Município Distritos Bairro Conjuntos e Subconjuntos Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Na classificação zoológica, usam-se de 10 a 20 conjuntos representando níveis hierárquicos. No caso dos mamíferos a que pertence o homem, a classificação adota 16 conjuntos. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Química: o conjunto dos elementos é separado em subconjuntos, metais, semimetais, não metais e gases nobres. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjuntos Numéricos Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Reta Real Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nós chamaremos de reta real ou eixo real. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Intervalos Reais: Subconjuntos Podemos estabelecer subconjuntos de números reais de extrema importância e que serão chamados de intervalos reais ALVO Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Exercício Identifique as afirmativas verdadeiras e as falsas (a) 3 (3,) (b) 3 [3, ) (c) 3 (4, ) (d) 3 (-,3) (e) 3 (-,3] (f ) 3 (-,2) (g) 3 (-,4) (h) 3 (-,) Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Propriedades 1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A, A Exemplos: {1, 2, 3} 2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A A, A Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Não é Subconjunto Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: A B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”) Exemplo: (a) {a, b, c} {a, b, d} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjuntos cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos: P = {, {a}, {b}, {a, b}} Nesse caso, é elemento de P e, portanto, escrevemos P e não P. {a} P, {b} P, {a, b} P. Alguns subconjuntos de P: {} P; {{a}} P; {{a, b}} P; {{a}, {b}} P. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A: com nenhum elemento: com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2} Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}. Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Número de Elementos de P(A) A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}. P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n. ALVO Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Verdadeiro ou Falso? Tema da Apresentação TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1 RACIOCÍNIO LÓGICO * Exercícios Quais os enunciados verdadeiros? (a) 1{1} (b) {1}{1} (c) {{1}}{{1}} (d) 1{1,{1}} (e) {1}{1,{1}} (f ) {{1}}{1,{1}} RES Tema da Apresentação Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder. * Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder. * Podemos “explicar” o aparecimento dos conjuntos numéricos através da necessidade que a Matemática manifestava em apresentar resultados que os conjuntos numéricos existentes até então não forneciam. A partir dos conjuntos dos números naturais, operações como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só puderam apresentar um resultado com o aparecimento do conjunto dos números inteiros. A divisão de número 8 por 3 só pode apresentar resultado dentro do conjunto dos números Com relação aos números racionais, eles podem ser encontrados de três maneiras: número inteiro ou número decimal exato ou número decimal periódico (dízimas periódicas). Os números que não podem ser colocados na forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro não-nulo são chamados de números irracionais. *
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