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UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
TRANSFERÊNCIA DE CALOR – MEC030
PROF. DR. LUÍS EDSON SARAIVA
Notas de Aula
Versão 1.2 – agosto de 2011
ÍNDICE
ÍNDICE ....................................................................................................................................... 2 
1. INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR ............................................................ 4 
1.1 ALGUNS CONCEITOS ................................................................................................... 4 
1.2 DIFUSÃO E ADVECÇÃO ............................................................................................... 4 
1.3 CONDUÇÃO .................................................................................................................... 6 
Condutibilidade térmica ...................................................................................................... 6 
1.4 CONVECÇÃO .................................................................................................................. 7 
1.5 RADIAÇÃO ...................................................................................................................... 8 
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ............ 10 
2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR ................................................... 10 
Difusividade térmica ......................................................................................................... 12 
2.2 FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR, 
SIMPLIFICAÇÕES E GEOMETRIAS ................................................................................ 13 
Coordenadas Cartesianas .................................................................................................. 14 
Coordenadas Cilíndricas ................................................................................................... 15 
2.3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL, SEM GERAÇÃO DE CALOR, EM REGIME 
PERMANENTE .................................................................................................................... 16 
Condução Unidimensional em Coordenadas Cartesianas ................................................. 16 
Paredes Compostas em Coordenadas Cartesianas ............................................................ 18 
Condução Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas .................................................. 20 
Paredes Compostas em Coordenadas Cilíndricas ............................................................. 22 
Raio Crítico de Isolamento ............................................................................................... 24 
2.4 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL, COM GERAÇÃO DE CALOR, EM 
REGIME PERMANENTE ................................................................................................... 28 
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 30 
Condutibilidade Térmica ................................................................................................... 30 
Relação entre Primeira Lei da Termodinâmica e Transferência de Calor ........................ 30 
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cartesiana ........................................ 31 
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cilíndrica ........................................ 33 
3. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE - 
SUPERFÍCIES ESTENDIDAS (ALETAS) ............................................................................. 34 
3.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 34 
3.2 ALETA COM SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE ............................................. 34 
Aleta Longa ....................................................................................................................... 37 
Aleta com Comprimento Finito e Ponta Isolada ............................................................... 38 
Aletas com Convecção na Ponta ....................................................................................... 40 
Eficiência e Efetividade de uma Aleta .............................................................................. 41 
3.3 ALETAS COM SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO-UNIFORME .................................... 41 
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 43 
4. CONDUÇÃO MULTIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ........................... 45 
4.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................45 
4.2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS ........................................................................................... 45 
Condução Bidimensional em Coordenadas Cartesianas ................................................... 45 
Solução por Separação de Variáveis ................................................................................. 47 
4.3 SOLUÇÕES NUMÉRICAS ........................................................................................... 49 
Método das Diferenças Finitas .......................................................................................... 49 
Obtenção da Equação da Condução em Diferenças Finitas .............................................. 50 
Solução das Equações em Diferenças Finitas ................................................................... 54 
2
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 54 
5. CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE .................................................. 57 
5.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 57 
5.2 AQUECIMENTO OU RESFRIAMENTO CONVECTIVO DE UM CORPO .............. 57 
5.3 ANÁLISE DE PARÂMETROS CONCENTRADOS (PERÍODO FINAL DE 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR) ........................................................................................ 60 
Validade do Modelo de Análise de Parâmetros Concentrados ......................................... 62 
Análise de Parâmetros Concentrados Quando a Temperatura do Fluido Varia Devido à 
Troca de Calor com o Corpo ............................................................................................. 65 
5.4 SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL 
TRANSIENTE ...................................................................................................................... 66 
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 68 
6. RADIAÇÃO TÉRMICA ....................................................................................................... 70 
6.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 70 
6.2 RADIAÇÃO TÉRMICA E ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO ................................ 70 
6.3 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO ................................................................................ 71 
Superfície Negra ............................................................................................................... 72 
6.4 TEMPERATURA E ENERGIA ..................................................................................... 72 
Poder Emissivo e Comprimento de Onda ......................................................................... 74 
3
1. INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR
1.1 ALGUNS CONCEITOS
Calor: transferência de energia devido à diferença de temperaturas.
 
 
 
 
sem necessidade da existência de um meio material.
1.2 DIFUSÃO E ADVECÇÃO
As transferências de calor por condução e convecção requerem um meio material, no 
qual se estabelece uma diferença de temperaturas. Microscopicamente, a energia térmica, 
associada à temperatura, decorre do estado energético dos átomos. Em sólidos, o estado 
energético dos átomos se relaciona a vibrações da rede cristalina associada à translação de 
elétrons livres. A transferência de energia entre os átomos se dá, espontaneamente, dos 
átomos com maior vibração para aqueles com menor vibração. Tal mecanismo de 
transferência entre os átomos é chamado de difusão térmica e pode ser visto, 
esquematicamente, na Figura 1.1. 
Em fluidos (gases e líquidos), há mobilidade das moléculas no espaço. As moléculas 
apresentam movimento aleatório ou randômico. Em tais fases, a temperatura em um ponto 
está associada com a energia das moléculas na proximidade do ponto (movimento de 
translação, rotação e vibração). Não havendo movimento macroscópico ordenado do fluido 
(bulk motion) em uma dada direção, como em um escoamento, a única forma de movimento 
das moléculas é o movimento randômico. A Figura 1.2 auxilia na compreensão da difusão 
térmica em fluidos. As moléculas, em seu movimento aleatório, eventualmente chocam-se 
com a parede de mais elevada temperatura, adquirindo da mesma energia térmica. Tais 
4
moléculas seguirão seu caminho de modo que, em algum momento, acabarão por chocar-se 
com a parede de mais baixa temperatura, liberando energia térmica para a mesma. Com o 
passar do tempo, haverá um fluxo líquido de energia através da superfície imaginária “S”, na 
direção positiva x. O efeito macroscópico da difusão é a condução.
Figura 1.1 Difusão de calor na estrutura cristalina de um sólido.
Figura 1.2. Difusão térmica através de um fluido em contato com duas superfícies 
a temperaturas distintas.
A Figura 1.3 mostra o escoamento de um fluido sobre uma superfície sólida. Sabe-se 
que o fluido diretamente em contato com a superfície tem seu movimento retardado por forças 
que surgem entre as moléculas da superfície e as do fluido. A estreita região sob influência da 
superfície é chamada de camada limite. Devido a isto, o movimento das moléculas do fluido 
no interior da camada limite praticamente não sofre influência do escoamento, restringindo-se 
seu movimento ao movimento randômico das moléculas. Assim, o fluxo de energia térmica 
entre o fluido na camada limite e a superfície, que possa porventura existir, se dará por 
difusão térmica. Eventualmente, moléculas que adquiriram energia térmica da superfície por 
difusão, escapam da camada limite, adentrando na região de escoamento livre. Nessa região 
são arrastadas pelo escoamento, levando para longe a energia térmica adquirida da superfície.Este último mecanismo de transporte de energia é chamado de advecção. Foi dito acima que 
a convecção é o modo de transferência de calor entre uma superfície sólida e um fluido em 
movimento. Pode-se complementar dizendo que a convecção é o efeito macroscópico de dois 
mecanismos microscópicos atuando em conjunto: a difusão e a advecção.
5
Figura 1.3. Advecção e difusão térmica.
1.3 CONDUÇÃO
No início do século XIX o matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph, barão de 
Fourier, determinou, experimentalmente, que a taxa de transferência de calor em um meio 
estacionário é dada pela seguinte equação, a qual foi, posteriormente, chamada de Lei de 
Fourier1.
dx
dTkAq −=& (1.1)
A Lei de Fourier estabelece que, se for mantida uma diferença de temperaturas através 
de um meio estacionário, haverá o aparecimento de um fluxo de energia, na forma de 
propagação de calor, através do meio. O valor de tal fluxo de calor será diretamente 
proporcional à área transversal à direção de propagação e a uma propriedade característica do 
meio denominada condutibilidade térmica e inversamente proporcional à distância entre as 
superfícies mantidas nas temperaturas que provocam o fluxo de calor. O sinal negativo que 
aparece na equação foi adicionado à equação para que o fluxo seja positivo no sentido da 
propagação do calor.
Condutibilidade térmica
Condutibilidade térmica é uma propriedade de transporte,2 característica de cada 
material, que indica o grau de facilidade ou dificuldade que o mesmo oferece à condução de 
calor. Seu valor depende da temperatura e também das características estruturais dos 
materiais. Um material é homogêneo se possuir uma composição química uniforme em toda 
a sua extensão. Um material é isotrópico se suas propriedade de transporte forem iguais em 
qualquer sentido no qual o calor se propague. Os materiais podem ser ainda não-
homogêneos se sua composição química variar ao longo de sua extensão, e anisotrópicos, se 
as propriedades de transporte variarem conforme a direção do fluxo de calor. Na Tabela 1.1, 
abaixo, são mostrados alguns exemplos de materiais classificados segundo suas estruturas.
1É importante que se diga que a Lei de Fourier é empírica, isto é, não resulta de nenhum princípio elementar 
mais simples que ela mesma.
2Uma propriedade de transporte é uma propriedade física que está relacionada a um fluxo de matéria ou de 
energia. Assim, a condutibilidade térmica se relaciona ao fluxo de calor. A viscosidade também é uma 
propriedade de transporte pois indica a facilidade (ou dificuldade) que um fluido oferece ao escoamento.
6
Tabela 1.1. Exemplos de materiais conforme suas estruturas.
CLASSIFICAÇÃO EXEMPLOS
Homogêneo e 
isotrópico
Metais fundidos sem tratamentos superficiais, térmicos e mecânicos.
Papel.
Polímeros.
Homogêneo e 
anisotrópico
Madeira (propriedades mudam conforme a direção das fibras).
Músculo.
Aço laminado.
Não-homogêneo e 
isotrópico
Embalagem Tetra-Pak (seis camadas intercaladas de papel, alumínio 
e plástico)
Não homogêneo e 
anisotrópico
Toucinho: músculo, gordura e pele.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade da condutibilidade térmica é W/
(mK).
1.4 CONVECÇÃO
Como visto anteriormente, a convecção é um mecanismo de transferência de calor 
algo mais complexo que a condução por envolver, não somente difusão térmica, mas também 
advecção. Entretanto, a equação que expressa a taxa de transferência de calor por convecção 
é extremamente simples, como pode ser visto na Equação 1.2, que expressa a Lei do 
Resfriamento de Newton.
q˙=hA(T w�T ∞) (1.2)
Tal simplicidade, entretanto, é enganosa, uma vez que a maior parte da complexidade 
do problema de transferência é embutida no coeficiente h, chamado de coeficiente de 
transferência de calor por convecção ou coeficiente convectivo ou, ainda, coeficiente de 
película. O coeficiente de transferência de calor por convecção depende das características 
físicas e geométricas das superfícies com as quais os fluidos trocam calor, das propriedades 
dos fluidos e, ainda, das condições do escoamento. Devido à sua complexidade, em certo 
sentido pode-se dizer que o estudo da convecção é o estudo de como h pode ser determinado.
Por esta razão, não são encontradas tabelas de h, como se encontram tabelas de 
condutibilidade térmica. Contudo, pode-se ter alguma noção da ordem de grandeza de h, em 
determinadas situações, como pode ser visto na Tabela 1.2.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade do coeficiente de transferência de 
calor por convecção é W/(m²K), como pode ser facilmente deduzido da Equação 1.2.
Existem dois tipos de transferência de calor por convecção: a convecção natural e a 
convecção forçada. Na convecção natural há a dominância dos efeitos de mudança de 
densidade do fluido no mecanismo de transferência. Por exemplo, o ar em contato com uma 
superfície aquecida, como a lataria de um automóvel ao sol, aquece, diminui de densidade, em 
razão disso sobe e outro ar, mais frio, toma seu lugar, perpetuando a transferência de calor. 
Na convecção forçada, dominam os efeitos de remoção ou adição de calor devido à existência 
de um escoamento, em boa parte das vezes, originado pela ação da energia mecânica, como 
no caso do escoamento de ar promovido por um ventilador.
7
Tabela 1.2. Ordens de grandeza dos coeficientes de transferência de calor por 
convecção (W/m²K), em função do fluido e das condições de 
escoamento.
FLUIDO E CONDIÇÕES DE 
ESCOAMENTO
ORDEM DE GRANDEZA DOS 
COEFICIENTES DE PELÍCULA
Gases, convecção natural O (10)
Gases, convecção forçada (p = 1 atm) O (10) - O (102)
Água, convecção forçada O (102) - O (103)
Condensação vapor d’água O (104)
Vaporização água O (104) - O (105)
1.5 RADIAÇÃO
O transporte de energia na forma de radiação térmica ocorre por meio de ondas 
eletromagnéticas (fótons), não requerendo, ao contrário da convecção e da condução, de um 
meio material.
Seja a superfície na temperatura Tw, vista na Figura 1.4, abaixo, completamente 
envolvida por outra superfície na temperatura Tviz3.
Figura 1.4. Troca de calor por radiação entre duas superfícies.
Supondo T w>T viz , a taxa líquida de transferência de calor da superfície na 
temperatura Tw para a superfície na temperatura Tviz pode ser expressa pela equação:
q˙=εσ A(T w4�T viz4 ) (1.3)
sendo σ uma constante chamada de constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67×10-8 W/m2K4); 
ε uma propriedade da superfície, denominada emissividade ( 0 ≤ ε ≤ 1 ); A a área da superfície 
a Tw e Tw e Tviz temperaturas expressas em uma unidade de temperatura absoluta (K).
Alguns valores de emissividades são mostrados na Tabela 1.3.
3
 Qualquer matéria que possua uma temperatura finita emite radiação térmica. Embora no presente texto a 
Equação 1.3 se baseie em superfícies sólidas, radiação pode advir também de líquidos e gases.
8
Tabela1.3 Emissividade de alguns materiais.
MATERIAL EMISSIVIDADE
Ouro polido ~ 0,02
Prata ~ 0,01
Algodão 0,77
Vidro (pyrex) 0,8 – 0,9
Tinta óleo 0,89 – 0,97
Tinta Branca 0,95
Água 0,92 – 0,96
Há situações em que há transferência simultânea de calor por convecção e radiação, 
nas quais pode ser interessante englobar ambos os efeitos em uma única equação à moda da 
Lei do Resfriamento de Newton. Para isso, é necessário redefinir o coeficiente h de modo a 
que o mesmo também incorpore o efeito da transferência de calor por radiação. O 
equacionamento abaixo mostra, em linhas gerais, a obtenção do coeficiente combinado de 
transferência de calor por convecção e radiação. Como já mencionado anteriormente, a 
obtenção do coeficiente de transferência de calor por convecção não éum assunto trivial. 
Com a incorporação dos efeitos da radiação, em especial a grande dependência das 
temperaturas absolutas, pode-se ver que a obtenção do coeficiente combinado é matéria de 
grande complexidade.
A transferência combinada por radiação e convecção é dada por:
q˙=hA(T w�T viz)+εσ A(T w4�T viz4 ) (1.4)
Fazendo alguma manipulação algébrica obtém-se:
q˙=(h+εσ (T w2+T viz2 )(T w+T viz))A(T w�T viz) (1.5)
A equação 1.5 pode ser escrita de forma compacta como:
( )vizwc TTAhq −=& (1.6)
sendo o coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação dado por:
h
c
=(h+εσ (T w2+T viz2 )(T w+T viz )) . (1.7)
Exercício 1.1
Para uma garrafa térmica contendo café quente, identifique os modos de transferência de calor 
envolvidos para cada superfície/fluido, de modo que haja transferência de calor entre o café e 
o ar ambiente.
9
2. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM 
REGIME PERMANENTE
2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
Considere o segmento de barra mostrado na Figura 2.1. Como qualquer outro sistema, 
pode ser aplicado ao mesmo a Primeira Lei da Termodinâmica:
q˙�w˙=∂ E
∂ t
. (2.1)
Figura 2.1 Sistema termodinâmico para dedução da equação da condução de 
calor.
Analisemos primeiramente o termo que expressa a variação da energia do sistema que, 
como sabemos, é a soma das energias interna, cinética e potencial gravitacional:
∂E
∂ t
=
∂U
∂ t
+
∂E
c
∂ t
+
∂ E p
∂ t
. (2.2)
No exemplo considerado, não há variações nas energias cinética e potencial, podendo 
haver, entretanto, variação com o tempo da energia interna, devido ao fluxo de trabalho 
(relacionado ao funcionamento da resistência elétrica, vista na Figura 2.1, pois sabemos que 
energia elétrica e trabalho são equivalentes) e de calor (pois se T0 e TL são diferentes, haverá 
fluxo de calor através da barra). Assim, podem ser feitas algumas modificações na equação, 
de modo que o termo pode ser reescrito em função da temperatura, calor específico e massa 
específica, como pode ser visto na seqüência de equações abaixo.
∂E
∂ t
=
∂U
∂ t
=
∂
∂ t
(mu )= ∂
∂ t
(ρVu )= ∂
∂ t
( ρ (A∆x )u) (2.3)
Como:
du=cdT , (2.4)
então:
10
∂E
∂ t
=
∂
∂ t
(ρA∆ xcT )= ρcA∆x ∂T
∂ t
, (2.5)
se ρ e c puderem ser considerados constantes com o tempo.
Se o termo de trabalho ( w˙ ), da Equação 2.1 for fornecido como potência elétrica que 
atravessa uma resistência, a mesma se converterá em calor:
�w˙=q˙g=(A∆x ) q˙g
' ' '
, (2.6)
sendo q˙ g
' ' '
 (W/m³) a taxa de geração interna de calor no sistema, por unidade de volume.
Na Equação 2.6, o sinal negativo se deve à convenção de sinais utilizada na 
Termodinâmica, segundo a qual o trabalho é “negativo” quando ingressa no sistema.
O último termo da Equação 2.1 a ser considerado refere-se ao fluxo líquido de calor 
através do sistema, o qual é dado pela diferença entre o fluxo de calor que ingressa e o fluxo 
de calor que abandona o sistema:
q˙= q˙
x
� q˙
x+∆x . (2.7)
Considerando que uma função contínua pode ser expandida em uma série infinita de 
Taylor:
f ( x )= f ( xo)+( x� xo) f ' (xo )+
( x� xo)
2
2 !
f ' ' (xo )+. ..+
( x�xo )
n
n !
f n ( xo)+.. . ,
4 (2.8)
a taxa transferência de calor no ponto de coordenadas x+∆x pode ser escrita como uma 
expansão em torno do ponto x:
q˙
x+∆x=q˙x+( x+∆x�x )
∂ q˙x
∂ x
+
( x+∆x�x )2
2!
∂2 q˙x
∂ x2
+.. . ., (2.9)
ou
4Como exemplo, é mostrada a expansão em série de Taylor da função trigonométrica cosseno.
cos ( x)=cos( x0 )+( x� x0 )cos'( x0 )+
( x� x0 )
2
2!
cos''(x 0)+
( x� x0 )
3
3 !
cos'''(x 0)+. . .
As derivadas são:
cos'( x )=�sen ( x )
cos'' ( x )=�(sen' ( x))=�cos ( x )
cos''' ( x )=�(cos' ( x ))=sen ( x )
cos
iv( x)=(sen'( x ))=cos ( x )
Portanto:
cos ( x)=cos( x0 )�( x� x0 )sen( x0 )�
(x�x 0)
2
2 !
cos( x0 )+
(x�x 0)
3
3!
sen ( x0 )+
( x� x0 )
4
4 !
cos(x 0)+. . .
Se for adotado x0=0 ,
cos ( x)=1�0�x
2
2 +0+
x
4
24 �0�
x
6
720+0+. . .
cos ( x)≃1� x
2
2
+
x
4
24
�
x
6
720
+. . .
11
q˙
x+∆x=q˙x+∆x
∂ q˙x
∂ x
+
∆x2
2!
∂2 q˙x
∂ x2
+. . . . (2.10)
Truncando a série a partir do segundo termo tem-se:
q˙
x+∆x≃q˙x+∆x
∂ q˙
x
∂ x
. (2.11)
Utilizando a Lei de Fourier (Equação 1.1), a Equação 2.11 pode ser reescrita como:
q˙
x+∆x≃�kA
∂T
∂ x
∣
x
�∆x
∂
∂ x (kA ∂T∂ x ∣x) . (2.12)
Substituindo as Equações 1.1 e 2.12 na Equação 2.7, obtém-se uma expressão para a 
taxa líquida de transferência de calor no sistema:
q˙≃A∆x ∂
∂ x(k ∂T∂ x ∣x) . (2.13)
Por fim, fazendo a substituição das Equações 2.5, 2.6 e 2.13 na Equação 2.1, e 
simplificando, a primeira Lei da Termodinâmica para o sistema em estudo pode ser reescrita 
como:
∂
∂ x (k ∂T∂ x )+ q˙g' ' '=ρc ∂T∂ t . (2.14)
Cabe observar que a Equação 2.145 continua a representar a conservação da energia 
(Primeira Lei da Termodinâmica), tanto que se for feita uma análise dimensional dos termos, 
a unidade resultante, no SI, será dada em W /m3 (energia por unidade de tempo e por unidade 
de volume). Entretanto, uma modificação de forma ocorreu, uma vez que a equação é 
escrita, agora, em termos de calor gerado e taxas de variação da temperatura. Desta forma, 
abandonamos a Termodinâmica e ingressamos no terreno da Transferência de Calor. Uma 
solução da equação diferencial parcial representada pela Equação 2.14 será representada em 
termos de campos de temperaturas, ou seja, em termos da distribuição espacial e temporal 
da temperatura no sistema.
A condutibilidade térmica é uma função da temperatura, ou seja, varia com a variação 
da temperatura. Se a variação da condutibilidade com a temperatura puder ser considerada 
desprezível, a Equação 2.14 poderá ser reescrita como:
∂2T
∂ x 2
+
q˙g
' ' '
k =
1
α
∂T
∂ t
. (2.15)
Difusividade térmica
5
 Cada um dos termos da Equação 2.14 recebe uma denominação. Da esquerda para direita temos, 
respectivamente, condução longitudinal de calor, geração interna de calor e inércia térmica.
12
Na Equação 2.15, aparece a propriedade α, denominada de difusividade térmica, 
definida como:
α=
k
ρc
. (2.16)
A difusividade térmica, no SI, apresenta como unidade o m²/s, podendo ser vista como 
o quociente entre a condutibilidade térmica (k) e a capacidade calorífica (ρc). Como 
sabemos, a condutibilidade térmica representa o grau de facilidade (ou de dificuldade) que um 
material oferece à passagem de calor, dada uma diferença de temperaturas. A capacidade 
calorífica dá uma medida da quantidade de calor que uma unidade de massa de um dado 
material deve receber ou ceder para sua temperatura variar em uma unidade. Juntando o 
efeito da condutibilidade térmica com o da capacidade calorífica, pode-se dizer que “o 
significado físico da difusividade térmica está associado à velocidade de propagação do calor 
no (meio estacionário) durante a mudança do campo de temperaturas como tempo. Quanto 
maior a difusividade, mais rápido é a propagação do calor no meio”. Para exemplificar, 
considere um meio semi-infinito, uniformemente na temperatura T 0 , no instante t=0 . O 
meio passa, então, a perder calor na origem ( x=0 ), quando, neste local lhe é imposta a 
condição de contorno T ( x=0 ; t>0 )=0 . A tabela 2.1 mostra o tempo que diferentes 
materiais levarão para, em x=30 cm , sua temperatura atingir T=0,5T 0 . Vê-se claramente, 
na Tabela 2.1, a relação entre a difusividade térmica e a velocidade de propagação do calor.
Tabela 2.1. Exemplos de difusividades térmicas de alguns materiais e velocidade 
de propagação de calor nos mesmos.
MATERIAL PRATA COBREAÇO VIDRO CORTIÇA
α , 106 m²/s 170 103 12,9 0,59 0,155
t 9,5 min 16,5 min 2,2 h 2 dias 77 dias
É importante observar que, embora os materiais que possuem altos valores de 
condutibilidade térmica têm também, em geral, valores elevados de difusividade térmica, na 
comparação entre materiais nem sempre o material com maior condutibilidade térmica possui 
a maior difusividade térmica como se pode ver na Tabela 2.2.
Tabela 2.2. Comparação entre os valores de condutibilidades térmicas e 
difusividades térmicas de dois materiais (a 20°C).
MATERIAL ρ (kg/m³) cp (kJ/(kgK)) k (W/(mK)) α (cm²/s)
Ouro 19.300 0,129 315 1,27
Potássio 860 0,741 103 1,62
2.2 FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR, 
SIMPLIFICAÇÕES E GEOMETRIAS
Em geral, o formato do corpo em estudo determina o sistema de eixos coordenados a 
ser utilizado para expressar a Equação da Condução de Calor. Se tivéssemos um tubo de 
seção circular sujeito à transferência de calor, certamente seria mais apropriado descrevê-lo 
13
em termos de um sistema de eixos em coordenadas cilíndricas. Se estivéssemos estudando, 
por exemplo, o processo de resfriamento na armazenagem de maçãs, provavelmente seria 
mais apropriado descrever o campo de temperaturas na fruta em termos de um sistema de 
coordenadas esféricas, devido à semelhança da maçã com uma esfera.
Coordenadas Cartesianas
Na Figura 2.2 é mostrado um objeto retangular sujeito à transferência de calor por 
condução conforme os três eixos coordenados (x, y e z) que descrevem a posição de quaisquer 
pontos no objeto (no caso o sistema de eixos coordenados é o cartesiano). Utilizando as 
mesmas considerações feitas na dedução da Equação da Condução de Calor seria fácil 
estender as conclusões tiradas ao caso tridimensional. Assim, a Equação 2.14 poderia ser 
reescrita, para o caso tridimensional como:
∂
∂ x (k ∂T∂ x )+ ∂∂ y (k ∂T∂ y )+ ∂∂ z (k ∂T∂ z )+ q˙g' ' '=ρc ∂T∂ t , (2.17)
e a Equação 2.15, para o caso da condutibilidade térmica constante seria reescrita como:
∂2T
∂ x 2
+
∂2T
∂ y2
+
∂2T
∂ z2
+
q˙g
' ' '
k =
1
α
∂T
∂ t
. (2.18)
Figura 2.2. Fluxo de calor tridimensional em geometria cartesiano.
Se além disso não houver geração interna de calor, a Equação 2.18 reduz-se a:
∂2T
∂ x 2
+
∂2T
∂ y2
+
∂2T
∂ z2
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.19)
Se for atingido o regime permanente, a temperatura deixará de ser função do tempo. 
Portanto, a equação 2.19 torna-se:
∂2T
∂ x 2
+
∂2T
∂ y2
+
∂2T
∂ z2
=0 . (2.20)
Uma notação compacta para os três primeiros termos do lado esquerdo das Equações 
2.18 a 2.20 é obtida usando o chamado operador laplaciano. Assim:
14
∂2T
∂ x 2
+
∂2T
∂ y2
+
∂2T
∂ z2
=∇2T . (2.20)
Resumindo, em coordenadas cartesianas:
∇2=
∂2
∂ x2
+
∂2
∂ y2
+
∂2
∂ z 2
. (2.21)
Coordenadas Cilíndricas
Na figura 2.3 é mostrado um cilindro sujeito à transferência de calor por condução 
conforme os três eixos coordenados que descrevem a posição de quaisquer pontos no objeto 
(no caso o sistema de eixos coordenados é o cilíndrico, sendo que as coordenadas de um 
ponto são dadas em termos de uma componente axial (z), uma radial (r) e uma terceira 
angular (θ)). Utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas a Equação da Condução de 
Calor para o caso tridimensional será dada por:
1
r
∂
∂r (kr ∂T∂r )+ 1r 2
∂
∂ θ (k ∂T∂ θ )+ ∂∂ z (k ∂T∂ z )+ q˙g' ' '= ρc ∂T∂ t . (2.22)
Para o caso de condutibilidade térmica constante a Equação 2.22 será reescrita como:
1
r
∂
∂r (r ∂T∂ r )+ 1r 2
∂2T
∂ θ2
+
∂2 T
∂ z2
+
q˙ g
' ' '
k =
1
α
∂T
∂ t
. (2.23)
Figura 2.3. Geometria cilíndrica.
Se além disso não houver geração interna de calor, a Equação 2.23 reduz-se a:
1
r
∂
∂r (r ∂T∂ r )+ 1r 2
∂2T
∂ θ2
+
∂2 T
∂ z2
=
1
α
∂T
∂ t
. (2.24)
15
Se for atingido o regime permanente, a temperatura deixará de ser função do tempo. 
Portanto, a equação 2.24 torna-se:
1
r
∂
∂r (r ∂T∂ r )+ 1r 2
∂2T
∂ θ2
+
∂2 T
∂ z2
=0 . (2.25)
A Equação 2.25 pode ser escrita utilizando-se o operador laplaciano. Assim:
∇2T=1
r
∂
∂ r (r ∂T∂ r )+ 1r 2
∂2 T
∂θ 2
+
∂2 T
∂ z2
=0 . (2.26)
Neste caso, em coordenadas cilíndricas, o operador laplaciano é escrito como:
∇2=
1
r
∂
∂r (r ∂∂ r )+ 1r2
∂2
∂θ 2
+
∂2
∂ z 2
. (2.27)
2.3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL, SEM GERAÇÃO DE CALOR, 
EM REGIME PERMANENTE
Condução Unidimensional em Coordenadas Cartesianas
Seja a equação da condução unidimensional em regime permanentes, sem geração 
interna de calor, aplicada à parede vista na Figura 2.46:
d 2 T
dx 2
=0 . (2.28)
Sabe-se do estudo das equações diferenciais que a solução de uma equação resulta em 
uma família de funções. A solução de um dado problema físico, representado por uma 
equação diferencial, será única somente se forem fornecidas condições de contorno (valores 
conhecidos nas fronteiras dos sistemas) e uma condição inicial, caso o problema seja em 
regime transiente. No caso presente não há uma condição inicial, posto que o problema se 
apresenta em regime permanente. As condições de contorno serão:
T ( x=0)=T 0 , (2.29)
T ( x=L)=T L . (2.30)
6
 Aqui cabem duas observações. Primeiro, note que a Figura 2.3 representa uma seção de um objeto retangular 
tridimensional. A condução é unidimensional porque há uma diferença de temperaturas (T0 -TL) apenas na 
direção x. Segundo, na Equação 2.28 não é utilizada a derivada parcial porque a variável dependente 
(temperatura) é função de uma única variável dependente (no caso a posição x).
16
Figura 2.4. Condução unidimensional em geometria cartesiana através de uma 
parede simples.
Resolvendo a Equação 2.28 com as condições de contorno 2.29 e 2.30 obtém-se:
T ( x)=T 0+(T L�T 0 )
x
L . (2.31)
Em uma das etapas de solução da Equação 2.28, obtém-se o seguinte resultado:
dT
dx
=
T L�T 0
L
, (2.32)
o qual, combinado com a Equação de Fourier (Equação 1.1), resulta na seguinte expressão 
para a determinação da taxa de transferência de calor através da parede:
q˙= kA
L (T 0�T L) . (2.33)
O grupo kA/L é, por vezes, denominado condutância térmica. Para uma diferença de 
temperaturas fixa (T0-TL) quanto maior for a condutância térmica, maior será o fluxo de calor. 
O inverso da condutância térmica é denominado de resistência térmica:
Rt=
L
kA . (2.34)
Assim, a Equação 2.33 pode ser reescrita como:
T 0�T L=Rt q˙ . (2.35)
A Equação 2.35 diz que uma diferença de temperatura fixa dá origem a um fluxo de 
calor que será tanto maior quanto menor for a resistência térmica. Existe uma clara analogia 
entre a Equação 2.35 e a Lei de Ohm ( ddp=Ri ) a qual estabelece que, para uma dada 
diferença de potencial elétrico será originada uma corrente elétrica, a qual será tanto maior 
quanto menor for a resistência elétrica do condutor através do qual a diferença de potencial é 
estabelecida.
17
Exercício 2.1 (Bejan, 19..)
A figura abaixo mostra um arranjo experimental projetado para medir a 
condutibilidade térmica do poliestireno. A placa central do arranjo é constituída por um painel 
com resistência elétrica para aquecimento e está envolvida por duas placas de poliestireno de 
2 cm de espessura, cada. As placas de poliestireno estão envolvidas por duas placas finas de 
cobre. Todo o arranjo está mergulhado em banho constituído por uma mistura de água líquida 
com gelo a temperatura de 0°C. As superfícies superior e inferior do arranjo estão seladas e 
isoladas termicamente. Quando o painel de aquecimento é alimentado por uma bateria, o 
fluxo de calor transferido na superfície é igual a 1000 W/m². Admitindo que a variação da 
temperatura ao longo das placas de cobre sejadesprezível, pode-se admitir que a temperatura 
na interface entre a placa de cobre e a de poliestireno seja igual à temperatura externa (0°C). 
Se os termopares instalados na placa de aquecimento acusarem que a temperatura da placa Tp 
é uniforme e igual a 62,5 °C, determine a condutibilidade térmica do poliestireno. R.: 0,16 
W/mK
Figura 2.5 Exercício 2.1
Paredes Compostas em Coordenadas Cartesianas
Em paredes compostas, cada parede oferece uma resistência ao fluxo de calor. Tais 
resistências podem ser somadas de forma similar às resistências elétricas.
Considere o caso mais geral de uma parede composta, mostrada na Figura 2.6, 
trocando calor por convecção7 com dois fluidos, em regime permanente (ou, em outras 
palavras, dois fluidos trocando calor entre si através de uma parede composta).
7
 Neste caso, haverá também resistência térmica associada à transferência por convecção. A resistência térmica 
será dada pelo termo 1/hA.
18
Figura 2.6. Parede plana composta em contato térmico com dois fluidos.
Lembrando as Equações 1.2 e 2.33 e considerando que na interface entre duas paredes 
em contato, não existe nenhuma resistência ao fluxo de calor (portanto nenhuma diferença de 
temperatura entre as paredes no ponto de contato8) podemos escrever:
T∞ i�T 0=
1
h i A
q˙
T 0�T 1=
LA
k A A
q˙
T 1�T 2=
LB
k B A
q˙
T 2�T 3=
LC
kC A
q˙
T 3�T∞ e=
1
h
e
A
q˙
. (2.36)
As equações acima podem ser somadas, termo a termo de modo a resultar em:
q˙=
T∞ i�T ∞e
1
hi A
+
L A
k A A
+
LB
k B A
+
LC
kC A
+
1
h
e
A
. (2.37)
Generalizando, para o caso de “n” paredes, teremos:
q˙=
T ∞ i�T ∞e
1
hi A
+
L A
k A A
+
LB
k B A
+. ..+
Ln
k
n
A+
1
h
e
A
. (2.38)
8
 Na verdade, duas paredes em contato oferecem uma resistência adicional, denominada resistência térmica de 
contato. Esta resistência se deve ao contato imperfeito entre as superfícies devido à existência de um certo grau 
de rugosidade em ambas as paredes.
19
A resistência térmica total será o somatório de cada resistência oferecida ao fluxo de 
calor. Assim,
Rt=
1
h i A
+
LA
k A A
+
LB
k B A
+.. .+
L
n
k n A
+
1
he A
. (2.39)
É relativamente comum a Equação 2.38 ser escrita como:
q˙=UA (T∞ i�T∞ e ) . (2.40)
Na Equação 2.40 o termo U representa a soma das contribuições de cada condutância 
térmica. Este termo é denominado coeficiente global de transferência de calor, sendo 
definido como:
U= 1
1
hi
+
L A
k A
+
LB
k B
+. ..+
L
n
k
n
+
1
h
e
. (2.41)
Exercício 2.2 (Martin Becker, 19..)
Uma parede é composta por três camadas, constituídas por (do exterior para o interior) 
10 cm de tijolo comum (k = 0,45 W/mK), 10 cm de lã mineral e 1 cm de madeira de pinho. A 
temperatura na superfície interna é de 20°C e a temperatura no exterior é de –5°C. Qual a 
perda de calor por unidade de área através da parede ? R. 9,36 W/m²
Exercício 2.3
Um forno de padaria, operando em regime permanente, apresenta temperatura interna 
de 180°C, mantendo com a parede interna do forno um coeficiente de transferência de calor 
por convecção de 200 W/(m²K). Tal coeficiente, relativamente elevado, se deve à existência 
de um ventilador usado para distribuir uniformemente o ar quente no interior do forno. A 
parede interna do forno é feita de uma chapa de 1 mm de espessura de aço inoxidável tipo 
347, seguida por uma manta isolante de lã de vidro de 30 mm de espessura e outra chapa de 
aço (aço carbono, 0,5% C), de 1,5 mm de espessura, esta última em contato com o ar externo 
a 25°C. Entre a parede externa e o ar que envolve o forno é estabelecido um coeficiente de 
transferência de calor por convecção de 10 W/(m²K). Determine: a) a taxa de transferência de 
calor do forno para o ambiente, por unidade de área; b) a resistência térmica total e a 
contribuição percentual de cada resistência térmica envolvida; c) as temperaturas nas paredes 
interna e externa e também as temperaturas na junção de cada material. R. a) 169,2 W/m²; b) 
0,9159 m²K/W; 0,546 %; 0,007 %; 88,526 %; 0,003 %; 10,918 %; c) 179,15°C; 179,14°C; 
41,93°C; 41,92°C, 41,92°C
Condução Unidimensional em Coordenadas Cilíndricas
Consideraremos, na presente seção, apenas o caso da condução radial em um tubo. 
Seja a equação da condução unidimensional (radial) em regime permanentes, sem geração 
interna de calor, aplicada ao tubo visto na Figura 2.7:
20
∂
∂r (r ∂T∂r )=0 . (2.42)
As condições de contorno são:
T (r=ri )=T i , (2.43)
T (r=r e)=T e . (2.44)
Figura 2.7. Condução unidimensional radial em geometria cilíndrica através de 
um tubo simples.
Resolvendo a Equação 2.42 com as condições de contorno 2.43 e 2.44 obtém-se:
T ( r )=T i+
T i�T e
ln( rire)
ln( rri) . (2.45)
A equação de Fourier, para coordenadas cilíndricas é ligeiramente diferente da 
Equação 1.1, visto que tanto a temperatura quanto a área transversal à direção (radial) 
do fluxo de calor variam com o raio do tubo:
q˙=�k (2π rL) dTdr , (2.46)
sendo L o comprimento do tubo.
Em uma das etapas de solução da Equação 2.45, obtém-se o seguinte resultado:
21
dT
dr =
1
r
T i�T e
ln (ri/ re)
, (2.47)
o qual, combinado com a Equação 2.46, resulta na seguinte expressão para a determinação da 
taxa de transferência de calor através da casca cilíndrica:
q˙= 2πkL
ln (re /ri)
(T i�T e) . (2.48)
É usual para tubos utilizar-se uma variante da Equação 2.48 de modo que a taxa de 
transferência de calor é apresentada por unidade de comprimento de tubo:
q˙ '= 2πk
ln (re /r i)
(T i�T e) . (2.49)
O grupo 
2π kL
ln (re / ri)
 representa a condutância térmica. Para uma diferença de 
temperaturas fixa (Ti - Te) quanto maior for a condutância térmica, maior será o fluxo de calor. 
O inverso da condutância térmica é a resistência térmica. Assim, para um tubo de seção 
circular:
Rt=
ln (r e /ri )
2π kL
. (2.50)
Exercício 2.4
A temperatura interna de um tubo de ferro fundido de raio interno 100 mm é de 50ºC. 
No raio externo de 120 mm a temperatura é de 40ºC. Determine: a) a temperatura para um 
raio de 110 mm; b) o raio no qual a temperatura é de 45 ºC; c) a taxa de transferência de calor, 
por unidade de comprimento. R.: a) 44,77°C; b) 0,109545 m; c) 17920,3 W/m
Paredes Compostas em Coordenadas Cilíndricas
Considere o caso mais geral de um tubo composto por mais de uma camada de 
materiais distintos, trocando calor por convecção com dois fluidos, em regime permanente, 
um dos fluidos no interior do tubo e outro o envolvendo. Um tubo com paredes compostas é 
mostrado na Figura 2.8.
22
Figura 2.8. Tubo de seção circular com parede composta em contato térmico com 
dois fluidos.
Lembrando as Equações 1.2 e 2.48 podemos escrever, para regime permanente:
T∞ i�T 0=
1
h i(2πr 0 L)
q˙
T 0�T 1=
ln (r 1/r 0)
2πk A L
q˙
T 1�T 2=
ln (r 2 /r1)
2πk B L
q˙
T 2�T 3=
ln (r3 /r2 )
2πkC L
q˙
T 3�T∞ e=
1
h
e(2πr3 L)
q˙
. (2.51)
As equações acima podem ser somadas, termo a termo e rearranjadas. Para o caso de 
existirem “n” camadas, teremos:
q˙=
T∞ i�T∞ e
1
hi (2πr0 L)
+
ln (r 1/r 0)
2πk A L
+
ln (r2 /r1)
2πk B L
+
ln (r3 /r 2)
2πkC L
+. . .+
1
he (2πrn L)
. (2.52)
A resistência térmica total será o somatório de cada resistência oferecida ao fluxo de 
calor. Assim,
23
Rt=
1
h i(2πr 0 L)
+
ln (r1 /r0 )
2πk A L
+
ln (r 2/r 1)
2πk B L
+
ln (r 3/r 2)
2πkC L
+. ..+
1
h
e (2πr n L)
. (2.53)
De modo similar ao visto na seção sobre coordenadas cartesianas (Equação 2.40), 
pode-se representar o coeficiente global de transferência de calor, comosendo a soma das 
contribuições de cada condutância térmica. Em coordenadas cilíndricas, entretanto, a área 
transversal ao fluxo de calor é variável, pois depende do raio. Assim sendo, pode-se definir 
um coeficiente global relativamente à área interna do tubo e outro relativo à área externa. 
Redefinindo a Equação 2.40 para coordenadas cilíndricas teremos:
q˙=U i Ai (T∞ i�T∞e )=U e Ae (T∞ i�T∞ e) . (2.54)
Portanto, o coeficiente global de transferência de calor em relação à área interna do 
tubo poderá ser facilmente deduzido da Equação 2.529:
U i=
1
1
h i
+
r 0 ln (r 1/r 0)
k A
+
r 0 ln (r 2 /r1)
k B
+
r0 ln (r3 /r2 )
k C
+.. .+
r 0
h
e
r
n
. (2.55)
Exercício 2.5
Um tubo de aço carbono (0,5% de carbono) de diâmetro nominal 20” (diâmetro 
interno 489 mm, espessura 9,5 mm) conduz vapor a 150°C. O coeficiente de transferência de 
calor combinado por convecção e radiação, estabelecido entre o escoamento e a parede 
interna do tubo, é de 230 W/(m²K). Sobre o tubo há uma manta de lã de vidro de 40 mm de 
espessura e, sobre esta, uma folha de alumínio de 1 mm de espessura. Um termopar inserido 
no alumínio registra uma temperatura de 37ºC. Determine a perda de calor do vapor para o 
ambiente, por unidade de comprimento de tubo, e as temperaturas na superfície interna do 
tubo de aço, na interface aço-lã de vidro e na interface lã de vidro-alumínio. R.: 178,8 W/m
Exercício 2.6 (Holman, 19..)
Um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 6,4 mm 
de fibra de asbesto (amianto) (k = 0,166 W/mK), seguida de uma segunda camada de 20 mm 
de fibra de vidro (k = 0,048 W/mK). A temperatura na parede do tubo é 315°C e a 
temperatura externa do isolamento é de 38°C. Calcule a temperatura na interface entre a fibra 
de asbesto e a fibra de vidro. R.: 282,3°C
Raio Crítico de Isolamento
Seja um tubo para condução de um fluido a mais alta (ou mais baixa) temperatura que 
a ambiente. Sabe-se que, havendo uma diferença de temperatura radial, haverá fluxo de calor 
nesta direção, cuja magnitude dependerá da resistência térmica existente entre as duas 
temperaturas prescritas (ver Equação 2.35). Para diminuir a taxa de transferência de calor 
pode-se aumentar a resistência térmica pela adição de uma camada de um material isolante 
9
 Fica ao leitor o exercício de obtenção do coeficiente global de transferência de calor relativo à área externa do 
tubo.
24
(com baixa condutibilidade térmica), já que as temperaturas são consideradas fixas. A 
situação descrita pode ser vista na Figura 2.9.
Figura 2.9 Material isolante sobre um tubo de condução.
Surge então uma pergunta: haverá uma espessura de material isolante que maximize a 
resistência térmica10 (em outras palavras, que minimize a taxa de transferência de calor)? 
Para tentar responder a esta pergunta vamos considerar um tubo de condução cujo raio 
externo e temperatura externa são, respectivamente, ri e Ti, (o raio externo do tubo de 
condução é o raio interno da camada de material isolante) que se quer “isolar” termicamente 
do ambiente pela adição de um material isolante de raio r (variável). A equação para a taxa 
de transferência de calor através do material isolante e entre o mesmo e o ambiente (fazendo 
as devidas simplificações na Equação 2.52), será:
q˙=
T i�T ∞
1
h (2π rL )
+
ln (r /r i)
2π kL
. (2.56)
Observe que na Equação 2.56 r é uma variável pois estamos tentando responder se há 
uma espessura de isolante e = r – ri que maximize a resistência térmica. Na Equação 2.56 a 
resistência térmica será dada por:
Rt=
1
h (2π rL)
+
ln (r /ri )
2πkL
. (2.57)
Sabemos do Cálculo que para encontrarmos um ponto de máximo ou de mínimo de 
uma função devemos derivá-la com respeito à variável independente e igualar a zero:
10
 Esta pergunta não é irrelevante uma vez que, tanto o material isolante quanto a transferência de calor têm seu 
preço.
25
dRt
dr =0
. (2.58)
Derivando a Equação 2.57 com respeito a r, e igualando a zero obtemos um valor de 
raio para o isolante que é um ponto de máximo ou de mínimo para a resistência térmica. Este 
raio é denominado de raio crítico de isolamento:
r
c
=
k
h . (2.59)
Sabemos, então, que o raio dado pelo quociente entre a condutibilidade térmica do 
material isolante e o coeficiente de transferência de calor estabelecido entre o mesmo e o 
fluido que o circunda é o raio no qual a resistência térmica é um ponto de máximo ou de 
mínimo. Portanto, ainda não respondemos à pergunta de se existe um raio de isolamento que 
maximize a resistência térmica. Para responder a tal pergunta devemos recorrer mais uma vez 
ao Cálculo. Sabemos que, se:
d 2 Rt
dr2
∣
r=r
c
>0 , (2.60.a)
o raio crítico será um ponto de mínima resistência térmica. Se, por outro lado,
d 2 Rt
dr2
∣
r=r
c
<0 , (2.60.b)
o raio crítico será um ponto de máxima resistência térmica.
Fazendo a segunda derivada da Equação 2.57 e introduzindo no raio o valor do raio 
crítico dado pela Equação 2.59 verificamos que o valor resultante somente poderá ser 
positivo, visto que tanto a condutibilidade térmica quanto o coeficiente de transferência de 
calor são quantidades de diferentes magnitudes, mas sempre positivas. Portanto, o raio 
crítico corresponde ao raio no qual a resistência térmica tem um mínimo valor, ou a 
taxa de transferência de calor é máxima.
Mas fisicamente, como explicar o raio crítico? Se voltarmos à Equação 2.57, podemos 
observar que a resistência térmica total se deve a um termo de resistência térmica por 
condução:
Rt∣COND=
ln (r / ri)
2π kL
, (2.61)
e a um termo de resistência térmica por convecção:
Rt∣CONV=
1
hi (2π rL)
. (2.62)
A Equação 2.61 mostra que, à medida que o raio do isolante aumenta (e, portanto, sua 
espessura), a resistência térmica aumenta também. Este resultado é altamente intuitivo e não 
requer maiores explicações. Mas observe o comportamento do raio em relação à resistência 
26
térmica por convecção, dada pela Equação 2.62. Com o aumento do raio, a resistência 
térmica por convecção diminui. Este comportamento, contudo, não deve nos surpreender pois 
o raio está relacionado à área de transferência de calor por convecção. Quanto maior a área 
de troca de calor, maior a taxa de transferência de calor por convecção, consequência direta da 
Lei do Resfriamento de Newton, expressa na Equação 1.2. Como a resistência térmica total 
se deve à combinação das resistências por condução e convecção, em relação às quais o raio 
do isolante tem comportamento antagônico haverá uma certa combinação de resistências que 
corresponderá a um valor mínimo. Tal combinação se dará quando o raio for igual ao raio 
crítico. Isto pode ser visto na Figura 2.10.
Uma observação importante deve agora ser feita: o conhecimento do valor do raio 
crítico de isolamento somente terá consequências práticas se o mesmo for comparado ao raio 
externo do tubo (ri) que se quer recobrir. Existem duas situações possíveis, mostradas na 
Figura 2.11:
r i≥rc , ou
r i<rc .
Figura 2.10. Resistência térmica de condução, resistência térmica de convecção, 
resistência térmica total e raio crítico de isolamento.
A primeira situação é desejável pois, neste caso, qualquer espessura de material 
isolante aplicada aumentará a resistência térmica, proporcionando um efeito isolante. A 
segunda situação, entretanto, é inteiramente indesejável pois a espessura de material isolante 
aplicada até que seu raio iguale ao raio crítico irá apenas aumentar a transferência de calor! 
Neste último caso cabe o seguinte comentário. Normalmente o diâmetro do tubo é 
27
especificadopor razões de projeto e as condições ambientes são dadas. Portanto, a única 
variável será a condutibilidade térmica do material isolante. Em resumo, quando o raio 
externo do tubo for menor que o raio crítico, deve-se selecionar um outro material isolante 
que permita a primeira situação citada, a saber, que o raio crítico seja menor ou igual ao raio 
externo do tubo.
Figura 2.11. Relação raio crítico de isolamento × raio externo do tubo (raio 
interno da camada isolante).
Exercício 2.7 (Incropera, 19..)
Um tubo de cobre de paredes finas, de raio ri, é usado para transportar um refrigerante 
a baixa temperatura (Ti), a qual é menor que a temperatura do ar ambiente (T∞), ao redor do 
tubo. Existe uma espessura ótima associada a um material isolante, eventualmente aplicado ao 
tubo? Calcule a resistência total por unidade de comprimento de tubo, para um tubo de 10 mm 
de diâmetro (considere a resistência térmica do tubo de cobre desprezível), tendo as seguintes 
espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20, e 40 mm. O isolamento é feito de lã de vidro e o 
coeficiente de transferência de calor por convecção externo é de 5 W/(m²K).
Exercício 2.8 (Bejan, 19..)
Uma tubulação para transporte de vapor, com raio externo igual a 2 cm apresenta 
temperatura superficial externa de 100 °C. O ar do ambiente onde a tubulação se localiza está 
a 15 °C e proporciona um coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície 
externa do tubo igual a 10 W/m²K. O funcionário responsável pelo equipamento propõe a 
instalação de um revestimento de poliuretano sobre o tubo, com espessura de 1 cm, a fim de 
isolar o tubo do ambiente. Esta alteração proporcionará um efeito isolante? Calcule a taxa de 
transferência de calor para o ambiente por unidade de comprimento nas duas condições do 
problema. Repita os cálculos utilizando poliestireno como material isolante. R.: 106,8 W/m; 
116,1 W/m; 90,3 W/m
2.4CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL, COM GERAÇÃO DE 
CALOR, EM REGIME PERMANENTE
Na Figura 2.12 é mostrada uma placa, mergulhada em um fluido à temperatura T∞ , 
com o qual troca calor por convecção com um coeficiente convectivo h. Diferentemente dos 
casos anteriormente considerados, porém, há na placa geração de calor, uniformemente 
28
distribuída em toda sua extensão, de modo que a equação da condução de calor em regime 
permanente pode ser escrita como:
d 2 T
dx 2
+
q˙g
'''
k =0
. (2.63)
Em regime permanente, o calor que chega à superfície em contato com o fluido, por 
condução, é integralmente dissipado por convecção:
�k dT
dx
∣
x=L /2=h(T ( x=L/ 2)�T∞)
Reorganizando-se a equação acima, define-se a primeira das condições de contorno do 
problema:
dT
dx ∣x=L/ 2=�
h
k (T ( x=L /2)�T∞) . (2.64)
Como a placa é simétrica e a geração de calor uniforme, espera-se que o fluxo de calor 
da placa para o fluido seja idêntica no sentido positivo e negativo do eixo x. Essa observação 
traz uma implicação importante: não haverá fluxo de calor, em nenhum dos dois sentidos, no 
centro da placa:
�k dT
dx
∣
x=0=0 .
Figura 2.12. Placa com geração interna de calor e dissipação convectiva.
Uma vez que a condutibilidade térmica não pode ser nula, a equação acima pode ser 
reescrita como a segunda condição de contorno do problema, também chamada de condição 
de simetria:
dT
dx
∣
x=0=0 . (2.65)
29
Integrando-se a Equação 2.63 uma vez, obtém-se:
dT
dx =�
q˙g
'''
k x+C1
. (2.66)
Fazendo a separação de variáveis e realizando uma segunda operação de integração, a 
Equação 2.66 torna-se:
T ( x)=�
q˙g
'''
k
x2
2
+C 1 x+C 2 . (2.67)
Aplicando-se a condição de simetria (Equação 2.65) na Equação 2.66 determina-se o 
valor da primeira constante. No caso, C1=0 . Na sequência, se for aplicada a condição 
convectiva (Equação 2.64) na Equação 2.66, obtém-se o valor da segunda constante:
C2 =T∞+
q˙g
'''
8k L
2+
q˙ g
'''
2h
L .
Substituindo-se, por fim, os valores das duas constantes na Equação 2.67 e 
reorganizando-se os termos, se encontra a equação para a distribuição da temperatura na 
placa:
T ( x)=T ∞+
q˙g
'''
8k L
2[1�( xL/ 2)
2
]+ q˙g
'''
2h
L . (2.68)
EXERCÍCIOS
Condutibilidade Térmica
1) Um sistema unidimensional sem geração de calor tem uma espessura de 20 mm com 
superfícies mantidas a 275 e 325 K. Determine o fluxo de calor, por unidade de área, 
através do sistema se o mesmo for construído de a) alumínio puro, b) aço carbono (C 
1%), c) aço inoxidável tipo 304, d) teflon, e) salmão, perpendicular à fibra, f) salmão 
liofilizado, paralelo à fibra. Respostas: a) 507,7 kW/m2, b) 107,5 kW/m2, c) 37,5 kW/m2, 
d) 0,575 kW/m2.
Relação entre Primeira Lei da Termodinâmica e Transferência de Calor
2) Um resistor elétrico é conectado a uma bateria, como mostrado no desenho abaixo. 
Após um breve transiente, o resistor assume uma temperatura aproximadamente 
uniforme de 95 ºC, enquanto a bateria e os fios condutores permanecem na temperatura 
ambiente de 25 ºC. Desconsidere a resistência elétrica oferecida pelos fios. a) Se a 
energia elétrica é dissipada uniformemente no interior do resistor, o qual é cilíndrico e 
tem diâmetro de 6 mm e comprimento de 25 mm, qual a taxa de geração de calor 
interna volumétrica (W/m3)? b) Desconsiderando transferência de calor por radiação, 
30
qual o coeficiente de transferência de calor por convecção? Resposta: 4365 W/(m2.K). 
Obs.: Lembre que W˙=V×I .
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cartesiana
3) Uma barra cilíndrica de diâmetro 1 cm e comprimento 15 cm está termicamente isolada 
na sua superfície cilíndrica. Uma das suas superfícies terminais é mantida a 0°C e a 
outra a 200°C. Determine a taxa de fluxo de calor através desta barra se ela for feita de 
a) cobre puro; b) ferro puro e c) cimento portland. Respostas: a) 40,9 W; 7,0 W; 0,03 
W.
4) Condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração interna de calor, 
ocorre no sistema mostrado abaixo. A condutibilidade térmica do sistema é de 25 W/
(m.K), e a espessura L é 0,5 m. Determine as quantidades desconhecidas para cada caso 
na tabela abaixo, fazendo um esquema indicando a distribuição de temperaturas e a 
direção do fluxo de calor. Respostas: 1) 200 K/m e – 5000 W/m2; 2) 225 ºC e 6250 
W/m2; 3) – 20 ºC e –5000 W/m2; 4) – 85 ºC e –160 W/m2; 5) – 30 ºC e 120 W/m2.
5) Considere uma parede plana de 100 mm de espessura e uma condutibilidade térmica de 
100 W/(m.K). Condução de calor em regime permanente aparece para T1 = 400 K e T2 
= 600 K. Determine o fluxo de calor por unidade de área e o gradiente de temperaturas 
(dT/dx) para os sistemas de coordenadas mostrados. Respostas: a) – 200 kW/m2 e 2000 
K/m; b) 200 kW/m2 e –2000 K/m; c) –200 kW/m2 e 2000 K/m.
31
6) Uma grande janela de vidro com 0,5 cm de espessura e k = 0,78 W/(mK) está exposta 
ao ar quente a 25°C em sua superfície interna, com coeficiente de transferência de calor 
por convecção de 15 W/(m²K). O ar exterior está a –15°C e o coeficiente de 
transferência de calor associado a sua superfície externa é de 50 W/(m²K). Quais são as 
temperaturas nas superfícies interna e externa do vidro? Respostas: -6,40°C; -3,65°C.
7) Em alguns países de inverno rigoroso, a superfície de um rio desenvolve uma camada 
de gelo de espessura L. Sabe-se que a temperatura da água líquida abaixo do gelo é de 
4ºC, que a temperatura do ar atmosférico é de –30ºC, que a temperatura do gelo em 
contato com a água é de 0ºC. A condutibilidade térmica do gelo é de 2,25 W/(mK) e os 
coeficientes de transferência de calor por convecção dos lados da água e do ar são, 
respectivamente, 500 W/(m2.K) e 100 W/(m2.K). Calcule a temperatura na superfície 
do gelo em contato com o ar, e a espessura L dacamada de gelo. Respostas: -10 ºC e 
11,25 mm.
8) Sob certas condições ambientais, a temperatura da pele humana (30º) é menor que a 
temperatura do corpo (36,5ºC). A transição entre as duas temperaturas ocorre através 
de uma camada subcutânea de aproximadamente 1 cm de espessura, a qual age como 
um material isolante. A condutibilidade térmica desta camada é de aproximadamente 
0,42 W/(mK). a) Estime o fluxo de calor que escapa através da superfície da pele. 
Trate a camada subcutânea como um meio estacionário. b) A temperatura do ar 
ambiente sob as mesmas condições é de 20ºC. Calcule o coeficiente de transferência de 
calor por convecção entre a pele e o ar. Resposta: 27,3 W/(m2.K).
9) A parede de um forno é composta de três materiais, dois dos quais têm condutibilidades 
térmicas conhecidas de kA = 20 W/(mK) e kC = 50 W/ (mK) e espessuras LA = 0,30 m e 
LC = 0,15 m. O terceiro material, B, o qual se encontra entre os materiais A e C tem 
espessura de LB = 0,15 m mas condutibilidade térmica desconhecida. Sob condições de 
regime permanente, as temperaturas medidas na parede interior e na parede exterior do 
forno são, respectivamente, de 600 ºC e 20 ºC. A temperatura do ar no interior do forno 
é de 800 ºC. O coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do forno 
é de 25 W/(m2.K). Qual o valor de kB? Resposta: 1,53 W/(mK).
10) Um forno industrial é feito de tijolos refratários de espessura 0,25 m e k = 1,0 W/(mK). 
A superfície externa está isolada com um material com k = 0,05 W/(mK). Determine a 
espessura da camada isolante a fim de limitar a perda de calor pela parede do forno a 
1.000 W/m² quando a superfície interna da parede estiver a 1.030°C e a superfície 
externa a 30°C. Resposta: 37,5 mm.
11) Uma caixa de gelo é construída de isopor (k = 0,033 W/(mK), com dimensões internas 
de 25 × 40 × 100 cm. A espessura da parede é 5 cm. A superfície externa da caixa está 
exposta ao ar a 25ºC, com h = 10 W/(m2.K). Se a caixa está completamente cheia de 
gelo picado a 0 ºC, estime o tempo necessário para que todo o gelo seja derretido. O 
calor latente de fusão do gelo é de 333,4 kJ/kg e a sua massa específica é de 916,4 
kg/m3. Resposta: 15,23 dias.
32
Condução de Calor Unidimensional em Geometria Cilíndrica
12) Um tubo para vapor de 0,12 m de diâmetro externo é isolado com uma camada de 
silicato de cálcio (k = 0,089 W/(mK). Se a espessura do isolante é de 20 mm, as 
superfícies interna e externa são mantidas a 800 e 490 K, respectivamente, qual a taxa 
de transferência de calor por unidade de comprimento de tubo, para o exterior? 
Resposta: 602 W/m.
13) Um tubo de vapor, com raio externo 4 cm está recoberto por uma camada de isolamento 
de amianto de espessura 1 cm e k = 0,15 W/(mK) recoberto, por sua vez, com um 
isolamento de fibra de vidro de espessura 3 cm e k = 0,043 W/(mK) . A superfície do 
tubo está à temperatura de 330°C e a superfície externa do isolamento de fibra de vidro 
está a 30°C. A) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de 
fibra de vidro. B) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento 
do tubo. Respostas: 151,8 W/m; 294,1°C.
14) Um tubo de paredes finas de 100 mm de diâmetro é usado para transportar água para 
um equipamento que opera ao relento e que usa água como refrigerante. Durante um 
dia de inverno particularmente rigoroso, a parede do tubo atinge –15 ºC e uma camada 
cilíndrica de gelo se forma junto à superfície interna do tubo. Se a temperatura média 
da água líquida no interior do tubo atinge 3 ºC nestas condições, o gelo que encontra-se 
em contato com a água líquida está a 0 ºC e o coeficiente convectivo entre a corrente 
líquida e o gelo é de 2000 W/(m2.K), determine a espessura da camada de gelo. 
Resposta: 5,82 mm.
15) Um isolamento de baquelite é usado sobre uma barra cilíndrica de 10 mm de diâmetro, 
cuja superfície é mantida a 200ºC, devido à resistência que a mesma oferece à passagem 
de corrente elétrica. O conjunto é mantido no interior de um fluido a 25 ºC, e o 
coeficiente de transferência de calor por convecção é de 140 W/(m2.K). Qual o raio 
crítico associado com o isolamento? Determine a taxa de transferência de calor por 
unidade de comprimento da barra para o fluido, considerando a barra imersa no fluido, 
sem isolamento; Qual a espessura do isolamento que deveria ser adicionado para 
diminuir em 25% a transferência de calor em relação à barra sem isolamento? 
Resposta: 1,64 mm; 770 W/m; 0,86 mm.
16) Um fio elétrico de diâmetro 3 mm deve ser recoberto por um polímero que servirá como 
isolante elétrico, cuja condutibilidade térmica vale 0,15 W/(mK). Se o coeficiente de 
transferência de calor externo é 50 W/(m²K), qual a espessura ótima do isolamento de 
borracha para provocar a máxima perda de calor pelo fio? Resposta: 1,5 mm.
33
3. CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM 
REGIME PERMANENTE - SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
(ALETAS)
3.1 INTRODUÇÃO
Em muitas situações práticas em engenharia é desejável o aumento na taxa de 
transferência de calor entre um corpo e um fluido que o envolve. Considerando as 
temperaturas superficial do corpo e do fluido como dadas, uma das formas pelas quais este 
aumento na taxa de transferência poderia ser obtido seria através do aumento do coeficiente 
de transferência de calor por convecção, por exemplo, pela agitação do fluido por um 
ventilador (ver Equação 1.2). Outra maneira de melhorar a transferência de calor seria pela 
modificação na geometria das superfícies de troca de calor, com a adição de protuberâncias 
visando aumentar a área de troca com o fluido (Equação 1.2). Tais protuberâncias são 
chamadas de aletas e serão objeto de estudo no presente capítulo. A Figura 3.1 mostra um 
exemplo prático de uso de aletas.
Figura 3.1. Conjunto de aletas e ventilador para dissipação do calor gerado em 
um chip de computador.
3.2 ALETA COM SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE
Seja a aleta de seção transversal constante mostrada na Figura 3.211. A base da aleta 
encontra-se na temperatura Tb, a aleta encontra-se mergulhada em um fluido à temperatura T∝, 
mantendo com este troca de calor por convecção, com um coeficiente h. A aleta possui seção 
transversal de área Ac, comprimento L, e seu perímetro vale p. Todo o calor que ingressa na 
base da aleta é dissipado pela mesma, de modo que o calor transferido pela aleta tem 
magnitude q˙b . Todas as grandezas mencionadas acima são invariantes com o tempo pois 
consideraremos que a transferência de calor se dá em regime permanente.
Tomando-se o segmento da aleta de comprimento ∆x, mostrado na Figura 3.2, pode-se 
aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas ao mesmo. Como não há variação da 
11
 A seção transversal poderia ser de qualquer formato geométrico. No desenho o formato retangular é apenas 
circunstancial.
34
energia (interna, cinética e potencial) de um sistema com o tempo, em regime permanente, e 
na aleta não há trabalho mecânico sendo feito, conclui-se que a taxa líquida de transferência 
de calor através do segmento é zero. Isso está expresso na Equação 3.1, abaixo. A Equação 
3.1 nos diz que o calor que chega ao segmento por unidade de tempo, por condução, no 
comprimento x, é igual ao calor dissipado por convecção através da superfície de área p∆x 
mais o calor que sai do segmento, por condução, no comprimento x+∆x.
( ˙q ' ' x� ˙q ' ' x+∆x) Ac�( p∆x )h(T�T∞)=0 (3.1)
Figura 3.2. Aleta de seção transversal constante.
O termo ˙q ' ' x+∆x , da Equação 3.1 pode ser expandido em uma série de Taylor, em 
torno do ponto de coordenada x, com truncamento a partir do segundo termo, exatamente 
como foi detalhado no Capítulo 2 (ver Equações 2.7a 2.13). Assim, considerando ainda que 
a condutibilidade térmica do material da aleta é invariante com x, pode-se reescrever a 
Equação 3.1 como:
k d
2 T
dx2
A
c
�ph (T�T ∞)=0 (3.2)
O primeiro termo do lado esquerdo da Equação 3.2 representa a taxa líquida de 
transferência de calor por condução, na dimensão longitudinal do segmento adotado como 
sistema. O segundo termo representa a taxa de transferência de calor por convecção através 
das laterais do segmento. Observe que, mais uma vez, ao passarmos da Termodinâmica à 
Transferência de Calor, a variável da equação mudou da energia para a temperatura.
35
A Equação 3.2 pode ser representada de modo mais compacto, (que também facilitará 
sua solução), se adotarmos, em vez da temperatura T, uma temperatura modificada θ, assim 
definida:
θ ( x )=T ( x)�T ∞ . (3.3)
Portanto, a Equação 3.2 pode ser reescrita como:
d 2θ
dx 2
�m2θ=0 , (3.4)
sendo:
m=( hpkA
c
)
1
2
. (3.5)
A Equação 3.4 admite soluções na forma:
θ ( x )=C1e
�mx+C 2 e
mx
, (3.6)
sendo C1 e C2 constantes a serem determinadas com a aplicação das condições de contorno 
imperantes na aleta.
Uma hipótese simplificadora utilizada na dedução acima é que a condução é 
unicamente unidimensional (observe que T=T ( x ) ). Isso não é exatamente verdade pois o 
calor chega por condução às duas superfícies perpendiculares à direção x, na Figura 3.2, que 
dissipam calor por convecção com o meio. Entretanto, o modelo unidimensional será uma 
boa aproximação se:
q˙
x
>> q˙y (3.7.a)
e
q˙
x
>> q˙z (3.7.b)
sendo q˙ y e q˙ z os fluxos de calor por condução nas duas direções perpendiculares a x. Uma 
análise baseada nas ordens de magnitude das grandezas envolvidas, não desenvolvida aqui, 
mostraria que as relações 3.7.a e 3.7.b serão verdadeiras se:
(hAckp )
1
2 << 1 . (3.8)
Deve-se observar que, se a condição 3.8 não for satisfeita, isto não indica que a aleta 
em questão não dissipa calor suficientemente ou possui algum defeito de projeto. O que se 
deve ter em mente é que a condição apenas indica se o modelo unidimensional para a 
predição da distribuição de temperaturas e da taxa de transferência de calor é adequado ou 
não.
A condição 3.8 está relacionada a um número adimensional, chamado de número de 
Biot. Como exemplo consideremos uma aleta de seção transversal circular. Sabemos, para 
36
esta geometria, que Ac=πD
2/ 4
 e p=πD . Introduzindo estas equações na relação 3.8 e 
trabalhando um pouco a expressão obtém-se:
hD
k
<< 1 . (3.9)
O termo à esquerda da Inequação 3.9 é uma quantidade adimensional que recebe o 
nome de número de Biot. O número de Biot, fisicamente, representa a relação entre a taxa de 
transferência de calor por convecção e a taxa de transferência de calor por condução. Mais 
formalmente o número de Biot é definido como:
Bi= hL
k , (3.10)
sendo L uma dimensão característica do corpo em estudo.
Para concluir a seção, podemos dizer que haverá condução unidimensional em uma 
dada direção se o número de Biot, calculado com uma dimensão característica perpendicular a 
esta direção for significativamente menor que a unidade.
Aleta Longa
Para se determinar as constantes da Equação 3.6 são necessárias duas condições de 
contorno. Considere uma aleta suficientemente longa para que:
x → ∞ ⇒ T → T∞. (3.11)
Na base da aleta impera a seguinte condição de contorno:
x = 0 ⇒ T = Tb (3.12)
Utilizando-se a transformação definida pela Equação 3.3, as condições de contorno 
definidas pelas Equações 3.11 e 3.12 tornam-se, respectivamente,
x → ∞ ⇒ θ = 0, (3.13)
e
x = 0 ⇒ θ = Tb - T∞ = θb. (3.14)
Aplicando-se as condições de contorno definidas pelas Equações 3.13 e 3.14 na 
Equação 3.6, obtém-se C1 = θb e C2 = 0. Assim, a equação para a distribuição das 
temperaturas ao longo da aleta longa será dada por:
θ ( x )=θb e
�mx
. (3.15)
Em termos da variável primitiva para a temperatura, T(x), a Equação 3.15 pode ser 
reescrita como:
T ( x)=T∞+(T b�T∞)e
�mx (3.16)
37
As equações 3.15 e 3.16 dizem que, para uma aleta suficientemente longa, a 
temperatura decai exponencialmente, tendendo a igualar-se à temperatura do meio na sua 
extremidade. Nesse ponto, uma questão pertinente que se impõe é a seguinte. Qual o 
comprimento que a aleta deve ter para poder ser considerada “suficientemente longa”? Uma 
resposta a essa pergunta, em termos de ordens de grandeza, pode ser dada analisando-se a 
Equação 3.16. Para que o segundo termo do lado direito desta equação tenda a zero, sendo 
Tb-T∞ um valor finito e L o comprimento da aleta, deve-se ter a seguinte condição:
e
�mL→0 . (3.17)
Portanto, a condição expressa acima somente será satisfeita se:
mL >> 1 . (3.18)
Além da distribuição de temperaturas, outra grandeza importante a ser equacionada é o 
fluxo de calor na base da aleta. O fluxo de calor na base da aleta é dado pela Lei de Fourier, 
aqui escrita como:
q˙b=�kAc
dT
dx
∣
x=0 (3.19)
Derivando com respeito a x, para x = 0, a Equação 3.16, introduzindo o resultado na 
Equação 3.19 e utilizando-se a definição dada pela Equação 3.5, obtém-se facilmente uma 
expressão para a taxa de transferência de calor através da aleta:
q˙b=(kAc hp)
1
2 (T b�T∞) . (3.20)
Note que o fluxo de calor através da aleta é diretamente proporcional à raiz quadrada 
dos valores dos parâmetros: k, h, Ac e p.
Exercício 3.1 (Incropera, 19..)
Uma aleta longa cilíndrica de 5 mm de diâmetro tem a sua base mantida a 100°C. A 
aleta encontra-se exposta ao ar ambiente na temperatura de 25°C, com coeficiente convectivo 
de 100 W/(m²K). Determine a distribuição de temperaturas ao longo da aleta, se a mesma for 
feita de cobre puro. Determine também a perda de calor pela aleta. Estime o comprimento 
que a aleta deve ter para que a hipótese de comprimento infinito seja válida quanto à perda de 
calor. R.: 8,3 W
Aleta com Comprimento Finito e Ponta Isolada
A maior parte das aletas não satisfaz o critério de aleta longa (x → ∞ ⇒ T → T∞). 
Neste caso, deve-se procurar a solução para o caso em que o comprimento L da aleta é finito 
(x = L ; T > T∞).
Existem casos em que a transferência de calor na base da aleta é muito maior que na 
ponta (pois o calor chega na ponta é uma fração muito pequena daquele que ingressou na 
base, pois já foi, em grande parte, dissipado). Assim, q˙b >> q˙ ponta . Se considerarmos o calor 
transferido na ponta da aleta como desprezível, teremos a seguinte condição de contorno:
38
q˙ ponta=�kAc
dT
dx ∣x=L=0 . (3.21)
Mais formalmente, a condição de contorno na extremidade da aleta será:
x=L⇒ dθ
dx
=0 . (3.22)
Na base, continua a mesma condição de contorno do modelo da aleta longa:
x = 0 ⇒ θ = Tb - T∞ = θb. (3.14)
Pode-se demonstrar que a solução da Equação 3.4 para as condições de contorno dadas 
pelas Equações 3.14 e 3.22, acima, resulta na seguinte distribuição de temperaturas:
θ ( x )=θb
cosh (m (L� x))
cosh (mL )
. (3.23)
Em termos da variável primitiva para a temperatura, T(x), a Equação 3.21 pode ser 
reescrita como:
T ( x)=T∞+(T b�T∞)
cosh (m (L�x ))
cosh (mL )
. (3.24)
Acima aparece a função cosseno hiperbólico. Uma revisão sobre as funções 
hiperbólicas pode ser encontrada no material adicional disponibilizado para a disciplina. Aqui 
cabe mencionar que as funções hiperbólicas guardam relação com as funções exponenciais.
A taxa de transferência de calor na base da aleta é dada por:
q˙b=(kAc hp)
1
2 (T b�T∞) tanh (mL )) . (3.25)
A condição de validade do modelo da aleta finita com ponta isolada pode ser escrita 
como:
q˙b
q˙ ponta
=senh (mL )( kphA
c
)
1
2 >> 1 (3.26)
Uma condição mais rigorosa que aquela dada pela expressão