Ideais primos maximais

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Universidade Federal de Santa Maria 
Trabalho Avaliado de Álgebra II 
Curso de Licenciatura em Matemática 
Profa. Luciane Gobbi Tonet 
 
Aluno(a): ______________________________________________________ 
 
Um estudo sobre ideais primos e maximais 
 
Sejam um anel e um ideal de . Dizemos que é um ideal 
maximal de se e, se é um ideal de tal que , então 
ou . 
Exemplos: 
1) é um ideal maximal de 
Com efeito, observemos inicialmente que . 
Seja um ideal de tal que . Mostraremos que . 
Como então, possui um número ímpar da forma . 
Mas, e, com isso, 
 
Portanto, (ver exercício após Proposição 13). 
 
2) No anel dos inteiros , os ideais principais e não são 
maximais. No entanto, é um ideal maximal de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam um anel comutativo e um ideal de . Dizemos que é um 
ideal primo de se e, para quaisquer , se então 
ou . 
Exemplos: 
1) O ideal nulo é um ideal primo de . 
Seja . Claramente, . Sejam tais que . Como 
 é um domínio, então ou . Logo, é um ideal primo de . 
 
2) é um ideal primo de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Mostre que não é um ideal primo de , mas que é um ideal 
primo de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um anel comutativo com unidade é um domínio se, e somente se, o 
ideal nulo é um ideal primo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Sejam um anel comutativo com unidade e um ideal de . 
Então: 
i. é um ideal primo se, e somente se, 
 
 
 é um anel de integridade. 
ii. é um ideal maximal se, e somente se, 
 
 
 é um corpo. 
Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Em um anel comutativo com unidade, todo ideal maximal é primo. 
Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A recíproca do teorema anterior é verdadeira?