Leticia Nunes Mantovani - Avaliação 1

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Avaliação Fundamentos Álgebra
Letícia Nunes Mantovani – RA: 11201722991 
Responda as questões: 
1) (R, .) é grupo? Por que?
- associatividade: x.(y.z) = (x.y).z 
	Sim, é associativo.
- elemento neutro: x.e = e.x = x
	Sim, possui elemento neutro, e = 1
- inversos: x.x’ = x’.x = e
	Não possui inverso.
Resposta: (R, .) não é um grupo, pois não possui inverso para o elemento 0.
2) Defina o conceito de Anel em álgebra. 
Anel é quando um sistema matemático, que contem um conjunto não vazio e duas operações, satisfaz esses seis axiomas:
(Podem ser quaisquer operações, mas vou dar o exemplo com (Z, +, .)
A1 – Associativa em relação à adição x + (y + z) = (x + y) + z
A2 – Elemento neutro da adição x + e= e+ x = x
A3 – Elemento inverso da adição x + x’= x’ + x = e
A4 – Comutativa em relação à adição x + y = y + x
A5 – Associativa em relação à multiplicação x .(y.z) =(x.y)z 
A6 – Distributiva x . (y + z) = x.y + x.z
3) O que é um anel unitário? Dê um exemplo de anel não unitário.
Anel unitário é quando existe tal que: sendo que precisa ser e na multiplicação esse 1 0 não faz tanto sentido, mas para outras operações é necessário.
Exemplo de anel não unitário: (Z4, + , .)
4) Quais os divisores de zero em (Z30, +, .).
Os divisores de zero em (Z30, +, .), são todos os elementos de Z que o MDC entre ele e 30 seja diferente de 1. 
5) O que é um anel de integridade? 
Anel de integridade é como se denomina todos os anéis comutativos (x . y = y . x), unitários (1 . x = x . 1 = x) e sem divisores de zero (x . y = 0 x = 0 ou y = 0)
6) O anel (Z10, +, .) é domínio de integridade? Por que? 
O anel (Z10, +, .) não é domínio de integridade, pois para ser domínio de integridade o conjunto Zn precisa que n seja primo, e no caso, 10 não é primo. 
7) Em álgebra, o que é um corpo?
Corpo é um anel A, comutativo, unitário e sem divisores de 0 que todo elemento não nulo de A admite simétrico multiplicativo. Ou seja, que satisfaz essa propriedade: 
 tal que 
8) Seja A um anel. f: A→ 𝐴, definida por f(a) = a2 , ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 é homomorfismo? Explique.
Não é homomorfismo, pois 2ab 4ab
9) (R, +, .) é um corpo ? Por que? 
(R, +, .) satisfaz todos os axiomas para ser anel, é unitário e não possui divisores de 0. Agora falta conferir se todo elemento não nulo tem inverso:
Se , então 
Isso garante que (R, +, .) é um corpo.
10) (Z, +, .) é um corpo ? Por que? 
(Z, +, .) não é um corpo, pois apesar de satisfazer as condições para ser anel, não admite simétrico multiplicativo para todos os elementos. Como por exemplo, o numero 3, que pertence a Z, não existe 
11) Defina ideal e explique se (Q, +, .) é ou não ideal de (R, +, .). 
Ideal é um subconjunto especial de um anel, de tal forma que se A é um anel comutativo e I um subanel de A, dizemos que ele é ideal se .
(Q, +, .) não é um ideal de (R, +, .), pois por exemplo:
, mas não pertence a Q.
12) Verifique se {0̅, 1̅} é um ideal do anel Z3.
Z3 = 
Para x = 			Para x = 
			
			
			
Como não pertence a {0̅, 1̅}, {0̅, 1̅} não é um ideal do anel Z3.
13) Determine o núcleo e a imagem do homomorfismo f : Q→ R , f (x) = x. 
N(f) = {0}
Im(f) = Q
14) O que é um isomorfismo?
Isomorfismo é quando f em um homomorfismo de anéis for bijetora. Para que f seja bijetora, é preciso que a função seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Ou seja, para ser isomorfismo, é preciso que também seja epimorfismo e monomorfismo.
15) 8Z é ideal primo de 2Z? Por que?
8Z não é ideal primo de 2Z, pois no caso geral Zn para ser ideal primo n precisa ser primo, o que no caso não é.