Calculo - Integrais

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UFPR - Universidade Federal do Paraná
Departamento de Matemática
CM041 - Cálculo I
3a. Lista de Exercícios
P Integrais definidas
1. Calcule as integrais definidas abaixo:
(1)
∫ 0
−1
(2x−ex)dx (2)
∫ 2
−2
(3x+1)2dx (3)
∫ 1
0
(2x+5)(3x+1)dx
(4)
∫ pi/4
0
1+cos2θ
cos2θ
dθ (5)
∫ 2
0
1+ 3pxp
x
dx (6)
∫ 2pi
0 |senθ|dθ
(7)
∫ pi
0
xsen(nx), n ∈N (8)
∫ pi
0
x cos(nx)dx, n ∈N (9)
∫
−1
2xexdx
(10)
∫ 2
−1
x2exdx (11)
∫ pi/2
0
cos2θdθ (12)
∫ pi/2
0
sen 2θdθ
(13)
∫ 3
−3
(sen(x5)−7x7 cosx−x+1)dx (14)
∫ 2
−2
(x cos(x2+2x)+3x)dx (15)
∫ 2
0
xex
2
dx
(16)
∫ pi/4
0
tg 2θdθ (17)
∫ pi/2
0
sen 4θdθ (18)
∫ pi/2
0
cos4θdθ
(19)
∫ pi/4
0
secθdθ (20)
∫ 1
0
x2
p
x+1dx (21)
∫ 1/2
0
dxp
1−x2
(22)
∫ 1
0
e
p
xdx (23)
∫ 2pi
0
p
1+cosxdx (24)
∫ 2
0
exp
1+ex dx
(25)
∫ 1
0
√
1+x2dx (26)
∫ 1/2
0
xp
1−x4
dx (27)
∫ 1
−1
x3sen(x2+1)dx
(28)
∫ 1
−1
x2
4+x6dx (29)
∫ 1
0
x3p
1+x2
dx (30)
∫ 2
1
1
x(lnx)2
dx
2. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.
3. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação x
2
3 + y 23 = a 23 e tal que as seções transver-
sais por planos paralelos ao plano Oxz são quadrados.
4. Calcule lim
n→∞
pi
n
(
sen
pi
n
+ sen 2pi
n
+ ...+ sen (n−1)pi
n
)
.
5. Calcule o comprimento do gráfico de f (x)= ln(cosx), para 0≤ x ≤ pi4 .
6. Calcule o comprimento da astróide x
2
3 + y 23 = a 23 .
7. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y2 = x2(x+3).
8. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse
x2
a2
+ y
2
b2
= 1.
9. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto
a) A = {(x, y) ∈R2 : 0≤ xy ≤ 2, x2+ y2 ≤ 5 e x > 0}.
b) A = {(x, y) ∈R2 : y ≥px e (x−1)2+ y2 ≤ 1}.
c) A = {(x, y) ∈R2 : 0≤ x ≤ 2 e e−x ≤ y ≤ ex }.
d) A = {(x, y) ∈R2 : x > 0, y ≤ 1 e 1/x ≤ y ≤ 4/x2 }.
10. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3 da região delimitada pelas
parábolas y = x2 e y = 2−x2.
11. Seja A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 e ln(x +1)+2 ≤ y ≤ ex +4}. Determine o volume do sólido obtido pela
rotação de A em torno da reta y = 2.
12. O disco x2+ y2 ≤ a2 é girado em torno da reta x = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de
um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.
13. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h ≤ a, de uma esfera de raio a.
14. Determine o comprimento da curva y = coshx, −3≤ x ≤ 4.
15. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do cen-
tro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de
que o volume do anel depende de h, mas não de R.
P Primitivas
16. Calcule as integrais indefinidas abaixo:
1.
∫
x7+x2+1
x2
dx 2.
∫
e2x dx 3.
∫
cos7x dx 4.
∫
tg 2x dx
5.
∫
7
x−2 dx 6.
∫
tg 3x sec2 x dx 7.
∫
sen3 xp
cosx
dx 8.
∫
tgx dx
9.
∫
tg 3x dx 10.
∫
x
1+x2 dx 11.
∫
x
1+x4 dx 12.
∫
x2
1+x2 dx
13.
∫
x
√
1−x2dx 14.
∫
secx dx 15.
∫
dx
x
p
1+ lnx
16.
∫
x2
5
√
x3+1dx
17.
∫
4x+8
2x2+8x+20 dx 18.
∫ p
lnx
x
dx 19.
∫
dx
(arcsenx)
p
1−x2
20.
∫
ex
1+ex dx
21.
∫
sen2x
1+cos2 x dx 22.
∫
ex
3
x2dx 23.
∫
ex
3p
1+ex dx 24.
∫
sen
p
xp
x
dx
2
21.
∫
sen2x
1+cos2 x dx 22.
∫
ex
3
x2dx 23.
∫
ex
3p
1+ex dx 24.
∫
sen
p
xp
x
dx
25.
∫
earctgx
1+x2 dx 26.
∫
2x(x+1)2010dx 27.
∫
x senx dx 28.
∫
ex cosx dx
29.
∫
xr lnx dx,r ∈R 30.
∫
(lnx)2 dx 31.
∫
xe−x dx 32.
∫
x arctgx dx
33.
∫
arcsenx dx 34.
∫
sec3 x dx 35.
∫
cos2 x dx 36.
∫
sen2 x cos3 x dx
37.
∫
sen2 x cos2 x dx 38.
∫
1− senx
cosx
dx 39.
∫
3x2+4x+5
(x−1)(x−2)(x−3) dx 40.
∫
dx
2x2+8x+20
41.
∫
3x2+4x+5
(x−1)2(x−2) dx 42.
∫
x5+x+1
x3−8 dx 43.
∫
x2p
1−x2
dx 44.
∫
x2
√
1−x2dx
45.
∫
e
p
x dx 46.
∫
ln(x+
√
1+x2)dx 47.
∫
dxp
5−2x+x2
48.
∫ p
x lnx dx
49.
∫
sen(lnx)dx 50.
∫
x
x2−4 dx 51.
∫
3x2+5x+4
x3+x2+x−3 dx 52.
∫ √
a2+b2x2dx
53.
∫
dxp
a2+b2x2
54.
∫ √
x2−2x+2dx 55.
∫ √
3−2x−x2dx 56.
∫
dx
(1+x2)
p
1−x2
57.
∫
cos3 x dx 58.
∫
sen5 x dx 59.
∫
cos5 x
sen3 x
dx 60.
∫
sen3
(x
2
)
cos5
(x
2
)
dx
61.
∫
dx
sen5 x cos3 x
62.
∫
sen4 x dx 63.
∫
sen2 x cos5 x dx 64.
∫
sen2 x cos4 x dx
65.
∫
cos6(3x)dx 66.
∫
cos2 x
sen6 x
dx 67.
∫
dx
sen2 x cos4 x
68.
∫ √
1−x
1+x dx
69.
∫
dxp
x− 3px 70.
∫
x+1
x2(x2+4)2 dx 71.
∫
arctgx
x2
dx 72.
∫
x2dxp
2x−x2
dx
73.
∫
4x2−3x+3
(x2−2x+2)(x+1) dx 74.
∫
dx
1+ex 75.
∫
ln(x+1)
x2
dx 76.
∫
x5e−x
3
dx
77.
∫
x+1
x2(x2+4) dx 78.
∫
arctg
p
xdx 79.
∫
2x+1
x2+2x+2dx 80.
∫
cos3 x(1+psenx)dx
P Funções definidas por integrais
17. Calcule g ′(x) onde
(a) g (x)=
∫ senx
cosx
e t
2
dt (b) g (x)=
∫ 2px
p
x
sen(t2)dt (c) g (x)=
∫ x3
senx
dt
1+ t4
18. Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a) f (x)=
∫ x
0
e−t
2
dt (b) f (x)=
∫ x
0
sen t
t
d t
19. Calcule
∫ pi/2
0
senx cosx
x+1 dx em termos de A =
∫ pi
0
cosx
(x+2)2 dx.
20. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja
y = y(x)=
∫ x
0
sen(x− t ) f (t )dt
Prove que y ′′+ y = f (x) e y(0)= y ′(0)= 0, para todo x ∈ I .
3
21. Seja F (x)=
∫ x
0
√
1+ t3dt . Calcule
∫ 2
0
xF (x)dx em termos de F (2).
22. Calcule lim
x→0
∫ x2
0 cos(t
2)dt∫ x
0 e
−t2 dt
.
23. Mostre que f (x)=
∫ 1/x
0
1
t2+1 dt +
∫ x
0
1
t2+1 dt é constante em (0,∞). Qual o valor dessa constante?
24. Seja f (x)=
∫ x
0
1p
1+ t4
dt , x ∈R.
(a) Mostre que f é crescente e ímpar.
(b) Mostre que f (x)≤ f (1)+1− 1
x
, ∀x ≥ 1. (Sugestão: Integre 0≤ 1p
1+t4 ≤
1
t2
de 1 a x.)
(c) Mostre que lim
x→∞ f (x) existe e é um número real positivo.
(d) Esboce o gráfico de f (x), localizando seu ponto de inflexão.
25. Seja f (x)=
∫ x
0
e
x2−t2
2 dt . Mostre que f ′(x)−x f (x)= 1, para todo x ∈R.
26. Seja F : [1,+∞[→R dada por F (x)=
∫ x
1
√
t3−1dt .
(a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre x = 1 e x = 4.
(b) Calcule lim
x→2
F (x3)−F (8)
sen(x−2)
P Respostas
(1)
(1) e−1−2; (2) 52; (3) 31/2; (4) 1+pi/4; (5) 2p3+ 65 6
p
32; (6) 4; (7) 0 se n = 0 e (−1)n+1pi/n se n > 0; (8) 0 se n
é par e−2/n2 se n é ímpar; (9) e2+2/e; (10) e2−1/e; (11) pi/4; (12) pi/4; (13) 6; (14) 0; (15) (e4−1)/2; (16)
1−pi/4; (17) 3pi/8; (18) 3pi/8; (19) ln(1+p2); (20) 16/105; (21) pi/6; (22) 2; (23) 4p2; (24) 2(
p
1+e2−p2);
(25) ln(
p
2+1)+p2
2 ; (26)
arcsen(1/4)
2 ; (27) 0; (28)
arctg(1/2)
3 ; (29)
2−p2
3 ; (30)
1
ln2 − 1ln3 .
(2) l
2h
3 ; (3)
128
105a
3; (4) 2; (5) ln(1+p2); (6) 6a; (7) 245
p
3; (8) piab;
(9) (a) 5
p
5−2
3 pi; (b)
pi
6 ; (c)
pi
2 (e
2−e−2)2; (d) 5pi6 . (10) 323 pi; (11) pi
(
e2
2 +4e−2(ln2)2+4ln2− 32
)
(12) (2pib)(pia2); (13) pih2(a− h3 ); (14) sinh4+ sinh3.
4
(16)
(1) x
6
6 +x− 1x +C (2) e
2x
2 +C (3) 17 sen7x+C
(4) tgx−x+C (5) 7ln |x−2|+C (6) 14 tg 4x+C
(7) 2
p
cosx( 15 cos
2 x−1)+C (8) − ln |cosx|+C (9) 12 tg 2x+ ln |cosx|+C
(10) 12 ln(1+x2)+C (11) 12 arctgx2+C (12) x−arctgx+C
(13) −13
√
(1−x2)3+C (14) ln |secx+ tgx|+C (15) 2p1+ lnx+C
(16) 518
5
√
(x3+1)6+C (17) ln(2x2+8x+20)+C (18) 23
√
(lnx)3+C
(19) ln |arcsenx|+C (20) ln(1+ex)+C (21) − ln(1+cos2 x)+C
(22) 13e
x3+C (23) 34 3
√
(1+ex)4+C (24) −2cospx+C
(25) earctgx +C (26) 2(x+1)2011( x+12012 − 12011 )+C (27) −x cosx+ senx+C
(28) 12e
x(senx+cosx)+C (29)
{
xr+1
r+1 lnx− x
r+1
(r+1)2 +C , se r 6= −1
1
2 (lnx)
2+C , se r =−1 (30) x(lnx)
2−2(x lnx−x)+C
(31) (−x−1)e−x +C (32) x22 arctgx− x2 + 12 arctgx+C
(33) x arcsenx+
p
1−x2+C (34) 12 secxtgx+ 12 lnsecx+ tgx|+C
(35) 12 (x+ senx cosx)+C (36) 13 sen3 x− 15 sen5 x+C
(37) 18 (x− 14 sen4x)+C (38) ln |1+ senx|+C
(39) 6ln |x−1|−25ln |x−2|+22ln |x−3|+C (40)
p
6
12 arctg(
x+2p
6
)+C
(41) −22ln |x−1|+ 12x−1 +25ln |x−2|+C
(42) x
3
3 + 3512 ln |x−2|+ 6124 ln(1+ ( x+1p3 )
2)+
p
3
12 arctg(
x+1p
3
)+C
(43) 12 arcsenx− 12x
p
1−x2+C (44) x8 (2x2−1)
p
1−x2+ 18 arcsenx+C
(45) 2(
p
x−1)e
p
x +C (46) x ln(x+
p
1+x2)−
p
1+x2+C
(47) ln |
p
5−2x+x2+x−1|+C (48) 23x
p
x(lnx− 23 )+C
(49) x2 (sen(lnx)−cos(lnx))+C (50) 12 ln |x2−4|+C
(51) 2ln |x−1|+ 12 ln(x2+2x+3)+ 1p2 arctg(
x+1p
2
)+C
(52) x
p
a2+b2x2+ a22b ln(bxa +
p
a2+b2x2
a )+C
(53) 1b ln(
bx
a +
p
a2+b2x2
a )+C (54) x−12
p
x2−2x+2+ 12 ln(x−1+
p
x2−2x+2) +C
(55) x+12
p
3−2x−x2+2arcsen( x+12 )+C
(56) 1p
2
arctg( x
p
2p
1−x2 )+C (57) senx−
1
3 sen
3 x+C
(58) −cosx+ 23 cos3 x− 15 cos5 x+C (59) 12 sen2 x− 12sen2 x −2ln |senx|+C
(60) 14 cos
8( x2 )− 13 cos6( x2 )+C 61) 12 tg 2x+3ln |tgx|− 32tg 2x − 14tg 4x +C
(62) 38x− 14 sen(2x)+ 132 sen(4x)+C
(63) 13 sen
3 x− 25 sen5 x+ 17 sen7 x+C (64) x16 − 164 sen(4x)+ 148 sen3(2x)+C
(65) 516x+ 112 sen(6x)+ 164 sen(12x)− 1144 sen3(6x)+C
(66) −13 cotg3x− 15 cotg5x+C (67) tgx+ 13 tg 3x−2cotg(2x)+C
(68) arcsenx+
p
1−x2+C (69) 2px+3 3px+6 6px+6ln | 6px−1|+C
(70) 116 ln |x|− 116x − 132 ln(x2+4)− 364 arctg x2 + 4−x32(x2+4) +C
(71) −arctgxx + ln |x|− ln
p
1+x2+C (72) 32 arcsen(x−1)−
( x+3
2
)p
2x−x2+C
(73) 2ln |x+1|+ ln(x2−2x+2)+3arctg(x−1)+C
(74) x− ln(1+ex)+C (75) − ln(x+1)x + ln |x|− ln(x+1)+C
(76) −13 (x3+1)e−x
3 +C (77) 14 ln |x|− 14x − 18 ln(x2+4)− 116 arctg
( x
2
)+C
(78) (x+1)arctgpx−px (79) ln(x2+2x+2)−arctg(x+1)+C
(80) senx+2psenx− sen 3x3 − 2
p
sen 5x
5 +C
(17) (a) g ′(x) = esen 2x cosx + ecos2 xsenx; (b) g ′(x) = 2sen4x−senx
2
p
x
; (c) g ′(x) = 3x2
1+x12 − cosx1+sen 4x ; (22) 0; (23)
pi/2; (26) (a) 62/5; (b) 12
p
511.
5