Prova 3 geometria analítica 2014

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA – MAT0358 – 3ª AVALIAÇÃO PARCIAL – PESO: 10,0 
PROFESSORA: VÂNIA MARIA PINHEIRO SLAVIERO 
NOME: _______________________________________HORÁRIO: DATA: 08/07/2014 
 
Questões sem todos os passos do desenvolvimento e/ou com rasuras não serão avaliadas. 
 
Questão 1: (1,0) Determine uma equação do plano indicado na figura: 
 
A(1,0,1) C(0,1,1) AB = B – A = <0, 0, -1>; AC = C – A = <-1, 1, 0> 
 AB ×××× AC = <1, 1, 0> 
 D(0,1,0) ax + by + cz + d = 0 � x + y + d = 0 
 Substituindo o ponto A na equação fica: d = -1 
 Equação: x + y – 1 = 0 
B(1,0,0) 
 
Questão 2: (1,5) Determine o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices: A(4, y, 4), 
B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). Represente o(s) triângulo(s) no espaço tridimensional. 
||AB|| = ||AC|| = ||BC|| ���� √72 = �68 + 	
 = √72 � 4 = y2 � y = ± 2 
 
Ideia dos gráficos (esboço grotesco, feito no Word): cor preta para y = 2; cor roxa para y = -2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3: (3,0) Seja o paralelepípedo definido pelos vetores representados na figura: 
 
a) Calcule o volume do paralelepípedo; 
 
b) Calcule a área da face maior; (face maior = face de maior 
área – veja que ||u×v|| = 2√34 e ||v×w|| = 2√22). Considerei 
quem calculou a área da face formada por u e v, que 
“aparentemente” é a maior face. 
 
c) Determine aproximadamente o ângulo formado pelos 
vetores u
r
+ w
ur
e w
ur
 . 
 
a) (u, v, w) = 
3 −5 13 1 10 2 −2
 = −36 � V = 36 u.c. 
 
b) u ×××× w = 
 � � �3 −5 13 1 1
 = −6� + 18�; A = √36 + 324 = √360 = �√�� u. q. 
 
c) u + w = <6, -4, 2>; cosθ = ��,�,�
�.��, , �
√ �√ ≅ 0,646 � θθθθ ≅ 49,860 
 
 
 Foto de um gráfico de um aluno 
Questão 4: (3,0) Considere a superfície quádrica de equação "
 = #$� + %
 + 1: (a) Nomeie a quádrica e encontre as interseções com os eixos coordenados: ,x y e .z 
(b) Encontre e identifique os traços do gráfico da superfície com os planos coordenados: ,xy xz e .yz 
(c) Escolha cortes adequados com planos e identifique os traços obtidos nos cortes. 
(d) Esboce o gráfico da superfície quádrica, marcando pontos dos traços obtidos nos itens anteriores: 
a) Hiperbolóide de duas folhas 
OBS: muitos colocaram “hipérbole” de 2 folhas, o 
que está incorreto. Hipérbole é uma figura plana e 
não uma superfície quádrica. 
(x, 0, 0) Não existe intersecção; 
 (0, y, 0) Não existe intersecção; 
 (0, 0, z); z2 = 1 ���� z = ±1 
 
b) z = 0; −'( − )(* = �. Vazio 
 y = 0; +( − '( = �. Hipérbole 
 x = 0; +( − )(* = �. Hipérbole 
 
c) cortes nos planos z = ± 2 
 
(±	()( = )(* + '( + � ���� '(* + )(0 = � 12�345	678	5�97	8:�7;	3:;:2527	:	<=; ? = *	@	A = √*. 
 
Questão 5: (1,5) Defina de forma genérica a equação reduzida da superfície quádrica abaixo representada. 
 
 
 
 
a) '( = )(?( + +(B( b) '(?( − )(A( + +(B( = � c)	' = )(?( + +(B(