SolucoesEProvasAntigasMicro2Graduacao

Prévia do material em texto

Soluções e Provas Antigas - Micro 2
Gil Riella
18 de agosto de 2013
ii
Sumário
I Soluções das Listas de Exercícios 1
1 Introdução 3
2 Equilíbrio Geral - E…ciência no Sentido de Pareto 5
3 Equilíbrio Geral - Equilíbrio Competitivo 11
4 Equilíbrio Geral - Economias com Produção 17
5 Bem-estar Social 25
6 Monopólio 29
7 Discriminação de Preços 35
8 Escolha sob Incerteza 43
9 Teoria dos Jogos - Jogos na Forma Normal 51
10 Teoria dos Jogos - Estratégias Mistas 57
11 Teoria dos Jogos - Jogos Sequenciais 65
12 Oligopólio 73
13 Economia da Informação 81
14 Externalidades e Bens Públicos 91
15 Implementação de Projeto Público 99
II Provas Antigas 103
16 Primeiro Semestre de 2009 105
16.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
16.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
iii
iv SUMÁRIO
16.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.4 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
17 Segundo Semestre de 2009 129
17.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
17.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
17.4 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
18 Primeiro Semestre de 2010 151
18.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
18.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
18.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
19 Segundo Semestre de 2010 169
19.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
19.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
20 Primeiro Semestre de 2011 187
20.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
20.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21 Segundo Semestre de 2011 205
21.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
21.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
21.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
22 Primeiro Semestre de 2012 223
22.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
22.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
22.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
23 Segundo Semestre de 2012 239
23.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
23.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
23.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
24 Primeiro Semestre de 2013 253
24.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
24.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.3 Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Parte I
Soluções das Listas de Exercícios
1
Capítulo 1
Introdução
A primeira parte deste arquivo inclui as soluções de todas as listas de exercícios. Creio que
não é necessário falar que é sempre melhor tentar resolver o exercício antes de olhar a solução.
3
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
Equilíbrio Geral - E…ciência no
Sentido de Pareto
Exercício 2.1 (Argumento intuitivo das taxas marginais de substituição na fronteira da
caixa de Edgeworth). Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações
agregadas dos dois bens são dadas por A1 = A2 = 1. Utilizando a técnica aprendida nas notas
de aula mostre que se [(1; x2A) ; (0; x
2
B)] é e…ciente no sentido de Pareto, então TMgS (A) �
TMgS (B) e que se [(x1A; 1) ; (x
1
B; 0)] é e…ciente no sentido de Pareto, então TMgS (A) �
TMgS (B).
Solução. Suponha que [(1; x2A) ; (0; x
2
B)] é e…ciente, mas TMgS (A) = � < � = TMgS (B).
Fixe 
 tal que � < 
 < � e considere a alocação [(1� "; x2A + 
") ; (0 + "; x2B � 
")], para
" bem pequeno. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes, contradizendo a
e…ciência da alocação original. Nós concluímos que TMgS (A) � TMgS (B). Agora suponha
que [(x1A; 1) ; (x
1
B; 0)] é e…ciente, mas TMgS (A) = � > � = TMgS (B). Novamente, …xe
 tal que � > 
 > � e considere a alocação [(x1A + "; 1� 
") ; (x1B � "; 0 + 
")], para " bem
pequeno. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes, o que é uma contradição.
Nós concluímos que TMgS (A) � TMgS (B) : k
Exercício 2.2. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações iniciais
agregadas são dadas por A1 = A2 = 1 e as funções de utilidade dos consumidores são
dadas por U i (x1i ; x
2
i ) = (x
1
i )
�
(x2i )
1��, para algum 0 < � < 1, para i = A;B. Ou seja, as
utilidades dos dois consumidores são medidas pela mesma função Cobb-Douglas. Utilize o
que aprendemos nas notas de aula e no exercício 2.1 acima para encontrar uma expressão
algébrica que caracterize a curva de contrato desta economia. Ou seja, ache uma expressão do
tipo x2A = f (x
1
A) que caracterize todas as alocações e…cientes para esta economia. Represente
gra…camente, na caixa de Edgeworth, esta curva de contrato.
Solução. Vamos primeiro tentar identi…car as alocações e…cientes no interior da caixa de
Edgeworth. Como vimos nas notas de aula, tais alocações serão caracterizadas por TMgS (A) =
5
6 CAPÍTULO 2. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO
TMgS (B). Primeiramente, observe que
TMgS (A) =
UA1 (x
1
A; x
2
A)
UA2 (x
1
A; x
2
A)
=
�
�
x2A
x1A
�1��
(1� �)
�
x1A
x2A
��
=
�
1� �
x2A
x1A
:
Como a função de utilidade do consumidor B é exatamente igual, nós sabemos que
TMgS (B) =
�
1� �
x2B
x1B
:
Igualando as duas expressões acima nós temos:
�
1� �
x2A
x1A
=
�
1� �
x2B
x1B
.
Agora lembre-se que qualquer alocação factível tem que satisfazer x1B = 1�x1A e x2B = 1�x2A.
Usando tal fato na expressão acima nós …camos com a seguinte expressão:
�
1� �
x2A
x1A
=
�
1� �
1� x2A
1� x1A()�
x2A
x1A
�
=
�
1� x2A
1� x1A
�
()
x2A � x1Ax2A = x1A � x1Ax2A
()
x2A = x
1
A:
Ou seja, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth estão todas localizadas
na diagonal.2.1 Será que existem alocações e…cientes na fronteira da caixa de Edgeworth?
Infelizmente este exemplo é um pouco problemático, já que a derivada da função Cobb-douglas
acima não está bem de…nida na fronteira da caixa de Edgeworth. Vamos ignorar um pouco tal
fato e usar a convenção de que toda vez que tivermos uma divisão por zero, então a expressão
será igual a in…nito. Vamos primeiro veri…car se algum ponto da forma [(0; x2A) ; (1; x
2
B)] é
2.1Neste ponto, eu aconselho que vocês sempre voltem na condição de igualdade entre as taxas marginais
de substituição e veri…quem se tais alocações realmente satisfazem aquela condição. É uma boa forma de
vocês conferirem que não erraram nenhuma conta.
7
e…ciente.2.2 Calculando as taxas marginais de substituição nós temos:
TMgS (A) =
�
1� �
x2A
0
= 1
>
�
1� �
x2B
1
=TMgS (B) ;
contrariando a condição de e…ciência em tal caso. Similarmente, em alocações da forma
[(x1A; 0) ; (x
1
B; 1)], nós temos:
TMgS (A) =
�
1� �
0
x1A
= 0
<
�
1� �
1
x1B
= TMgS (B) :
Novamente contrariando a condição de e…ciência em tal caso. Os outros dois casos podem ser
tratados de forma análoga e também não são compatíveis com as condições de e…ciência. Nós
aprendemos, então, que as únicas alocações e…cientes em tal caso são as que nós encontramos
no interior da caixa de Edgeworth mais as alocações [(0; 0) ; (1; 1)] e [(1; 1) ; (0; 0)], que são
sempre e…cientes. Gra…camente podemos representá-las como:
Improving directions
for agent 2
Improving directions
for agent 1
Figura 2.1: Alocações e…cientes para funções Cobb-douglas
k
Exercício 2.3. Repita a análise acima, mas agora suponha que as funções de utilidade dos
dois consumidores sejam dadas por U i (x1i ; x
2
i ) = x
1
i +(x
2
i )
� para algum 0 < � < 1. Continue
trabalhando com A1 = A2 = 1:
2.2Algum ponto diferente de [(0; 0) ; (1; 1)], que nós sabemos que é sempre e…ciente.
8 CAPÍTULO 2. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO
Solução. Novamente, vamos primeiro identi…car as alocações e…cientes no interior da caixa
de Edgeworth. Usando a condição que derivamos nas notas de aula nós temos:
TMgS (A) = TMgS (B)
()
1
�
�
x2A
�1��
=
1
�
�
x2B
�1��
:
Usando o fato de que para alocações factíveis x2B = 1�x2A a condição acima pode ser escrita
como
1
�
�
x2A
�1��
=
1
�
�
1� x2A
�1��
()
x2A = 1� x2A
()
x2A =
1
2
:
Portanto, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth serão caracterizadas
pelos pontos em que x2A = 1=2. Será que neste caso nós temos alocações e…cientes na
fronteira da caixa de Edgeworth? Vamos veri…car. Tentemos primeiro alocações da forma
[(0; x2A) ; (1; x
2
B)]. Neste caso a condição que caracteriza e…ciência é
TMgS (A) � TMgS (B)
()
1
�
�
x2A
�1�� � 1
�
�
x2B
�1��
()
1
�
�
x2A
�1�� � 1
�
�
1� x2A
�1��
()
x2A � 1� x2A
()
x2A �
1
2
:
Então, nós acabamos de descobrir que as alocações da forma [(0; x2A) ; (1; x
2
B)] são e…cientes
desde que x2A � 12 . Testemos agora o caso [(x1A; 0) ; (x1B; 1)]. Neste caso temos que testar a
seguinte condição:
TMgS (A) � TMgS (B)
()
1
�
(0)1�� � 1
�
(1)1�� ;
o que obviamente não é verdade. Nós concluímos que não temos alocações e…cientes neste
9
caso. Agora o caso [(1; x2A) ; (0; x
2
B)]. A condição para a e…ciência pode ser escrita como
TMgS (A) � TMgS (B)
()
1
�
�
x2A
�1�� � 1
�
�
1� x2A
�1��
()
x2A � 1� x2A
()
x2A �
1
2
.
Ou seja, alocações da forma [(1; x2A) ; (0; x
2
B)] serão e…cientes desde que x
2
A � 1=2. Finalmente,
podemos agora testar o caso [(x1A; 1) ; (x
1
B; 0)]. A condição para e…ciência agora é
TMgS (A) � TMgS (B)
()
1
�
(1)1�� � 1
�
(0)1�� ;
o que obviamente nunca é verdade. Nós concluímos que não existem alocações e…cientes em
tal caso. Juntando todos os passos na análise acima nós obtemos a seguinte caracterização
para as alocações e…cientes em tal caso. [(x1A; x
2
A) ; (x
1
B; x
2
B)] é e…ciente quando:
1. x1A = 0 e x
2
A � 1=2, ou
2. x2A = 1=2, ou
3. x1A = 1 e x
2
A � 1=2:
Gra…camente tais pontos são caracterizados pela seguinte …gura:
Improving directions
for consumer 1
Improving directions
for consumer 2
Figura 2.2: Alocações e…cientes para funções quasi-lineares.
k
10 CAPÍTULO 2. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO
Capítulo 3
Equilíbrio Geral - Equilíbrio
Competitivo
Exercício 3.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de
utilidade dos consumidores são dadas por UA (x1A; x
2
A) = (x
1
A)
�
(x2A)
1��, para algum 0 <
� < 1, e UB (x1B; x
2
B) = min (x
1
B; x
2
B). Suponha que as dotações iniciais dos consumidores
são (w1A; w
2
A) = (0; 1) e (w
1
B; w
2
B) = (1; 0).
(a) Dado um vetor de preços genérico (p1; p2), escreva o problema do consumidor B.
(b) Resolva o problema do consumidor B e encontre a sua função demanda (Use apenas
lógica, matemática não será de nenhuma utilidade aqui).
(c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia.
Solução.
(a) O problema do consumidor B é completamente padrão e pode ser escrito como:
max
(x1B ;x2B)
min
�
x1B; x
2
B
�
sujeito a
p1x
1
B + p2x
2
B � p1
x1B; x
2
B � 0:
(b) Dada a função de utilidade do consumidor B, é evidente que não adianta nada ele ter
uma quantidade maior de um bem do que do outro. Ou seja, para maximizar a sua
utilidade o consumidor B irá certamente consumir a mesma quantidade dos dois bens.
Como o consumidor obviamente vai gastar toda a sua renda, nós podemos usar a sua
restrição orçamentária em igualdade para calcular o quanto ele irá consumir dos dois
bens. Ou seja, nós temos que resolver a seguinte equação:
p1x
1
B + p2x
1
B = p1:
A solução da equação acima é x1B =
p1
p1+p2
. Como B consome a mesma quantidade dos
dois bens, nós sabemos que também é verdade que x2B =
p1
p1+p2
.
11
12 CAPÍTULO 3. EQUILÍBRIO GERAL - EQUILÍBRIO COMPETITIVO
(c) Para encontrarmos o equilíbrio competitivo desta economia primeiramente temos que
resolver o problema do consumidor A. O problema do consumidor A é
max
(x1A;x2A)
�
x1A
�� �
x2A
�1��
sujeito a
p1x
1
A + p2x
2
A � p2
x1A; x
2
A � 0:
O consumidor A tem uma função de utilidade Cobb-douglas tradicional e nós já
sabemos que tal tipo de consumidor gasta uma fração � de sua renda com o bem 1 e uma
fração (1� �) com o bem 2. Ou seja, x1A = �p2p1 e x2A = (1� �)
p2
p2
= (1� �). Lembre-se
que apenas preços relativos podem ser determinados em um equilíbrio competitivo.
Façamos, então, p1 = 1. Agora o nosso trabalho é descobrir p2. Equilibrando o
mercado para o bem 2 nós obtemos a seguinte equação:
(1� �) + 1
1 + p2
= 1:
Resolvendo a equação acima nós obtemos p2 = 1��� : Substituindo o vetor de preços
que encontramos nas funções demandas dos consumidores nós encontramos a seguinte
alocação: (x1A; x
2
A) = (1� �; 1� �) e (x1B; x2B) = (�; �). Resumindo, o único equilíbrio
competitivo desta economia é dado pela alocação [(1� �; 1� �) ; (�; �)], juntamente
com o vetor de preços
�
1; 1��
�
�
: k
Exercício 3.2. Considere uma economia com dois bens e dois consumidores com funções de
utilidade estritamente crescentes em relação aos dois bens. Suponha, também, que a dotação
inicial [(w1A; w
2
A) ; (w
1
B; w
2
B)] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que se
(p1; p2), [(x1A; x
2
A) ; (x
1
B; x
2
B)] é um equilíbrio competitivo para esta economia, então (p1; p2) e
[(w1A; w
2
A) ; (w
1
B; w
2
B)] também é.
Solução. Considere o problema do consumidor A :
max
(x1A;x2A)
UA
�
x1A; x
2
A
�
sujeito a
p1x
1
A + p2x
2
A � p1w1A + p2w2A
x1A; x
2
A � 0:
Observe que (w1A; w
2
A) obviamente satisfaz as restrições do problema acima. Portanto, se o
consumidor A quisesse, ele poderia escolher comprar exatamente a sua dotação inicial. Por
outro lado, nós estamos assumindo que (x1A; x
2
A) é uma solução para o problema acima. Mas
isto implica que UA (x1A; x
2
A) � UA (w1A; w2A). O mesmo raciocínio mostra que UB (x1B; x2B) �
UB (w1B; w
2
B). Será que alguma das duas desigualdades acima pode ser estrita? Suponha que
13
pelo menos uma das duas desigualdades seja estrita. Mas observe que isto contradiz o fato
de que [(w1A; w
2
A) ; (w
1
B; w
2
B)] é e…ciente no sentido de Pareto. Nós concluímos que as duas
desigualdades têm que ser satisfeitas com igualdade. Ou seja, UA (x1A; x
2
A) = U
A (w1A; w
2
A)
e UB (x1B;x
2
B) = U
B (w1B; w
2
B). Mas então, (w
1
A; w
2
A) e (w
1
B; w
2
B) além de satisfazerem as
restrições dos problemas dos consumidores A e B, respectivamente, ainda dão uma utilidade
máxima para os consumidores. Ou seja, (w1A; w
2
A) e (w
1
B; w
2
B) também são soluções para
os problemas dos dois consumidores. Como obviamente [(w1A; w
2
A) ; (w
1
B; w
2
B)] equilibra os
mercados para os dois bens na nossa economia, nós concluímos que tal alocação também é
parte de um equilíbrio competitivo com o vetor de preços (p1; p2) : k
Exercício 3.3 (Múltiplos Equilíbrios). Suponha que os dois consumidores em nossa economia
tenham funções de utilidade dadas por
UA
�
x1A; x
2
A
�
= x1A �
1
8
�
x2A
��8
e UB
�
x1B; x
2
B
�
= �1
8
�
x1B
��8
+ x2B:
As dotações iniciais são dadas por (w1A; w
2
A) = (2; r) e (w
1
B; w
2
B) = (r; 2), em que r :=
28=9 � 21=9.3.1
(a) Fixe um vetor de preços da forma (p1; p2) = (1; p) e escreva as funções demanda para
os dois consumidores em termos de p (por enquanto você ainda não precisa substituir
o valor de r nas expressões que você encontrar).
(b) Usando as funções de demanda encontradas no item (a), escreva a condição de equilíbrio
de mercado para o bem 1.
(c) Agora sim, substituindo o valor de r na condição de equilíbrio de mercado encontrada
acima, veri…que que p = 1; 2 ou 1=2 são soluções para aquela equação. Ou seja, nesta
economia nós temos 3 equilíbrios competitivos distintos.
Solução.
(a) O problema do consumidor A pode ser escrito como
max
(x1A;x2A)
x1A �
1
8
�
x2A
��8
sujeito a
x1A + px
2
A � 2 + pr
x1A; x
2
A � 0:
Vamos seguir o nosso procedimento usual de ignorar a restrição de não negatividade do
consumo e olhar para a restrição orçamentária em igualdade. Ou seja, vamos trabalhar
com o seguinte problema:
max
(x1A;x2A)
x1A �
1
8
�
x2A
��8
3.1Tal valor de r foi escolhido para que os preços de equilíbrio …quem com valores redondos.
14 CAPÍTULO 3. EQUILÍBRIO GERAL - EQUILÍBRIO COMPETITIVO
sujeito a
x1A + px
2
A = 2 + pr:
Usando a restrição orçamentária para eliminar x1A do problema nós …camos com
max
x2A
2 + pr � px2A �
1
8
�
x2A
��8
:
A condição de primeira ordem do problema acima é
�p+ �x2A��9 = 0;
o que nos dá x2A = p
�1=9. Da restrição orçamentária nós obtemos x1A = 2 + pr � p8=9.
O problema do consumidor B pode ser escrito como
max
(x1B ;x2B)
�1
8
�
x1B
��8
+ x2B
sujeito a
x1B + px
2
B = r + 2p;
em que eu já ignorei a restrição de não negatividade do consumo e já escrevi a restrição
orçamentária com igualdade para economizar tempo. Novamente, usando a restrição
orçamentária para eliminar x2B do problema acima nós obtemos
max
x1B
�1
8
�
x1B
��8
+ p�1r + 2� p�1x1B
A condição de primeira ordem do problema acima é�
x1B
��9 � p�1 = 0;
o que nos dá x1B = p
1=9. Da restrição orçamentária nós obtemos x2B = p
�1r+2� p�8=9.
(b) A condição de equilíbrio de mercado para o bem 1 será dada por
2 + pr � p8=9 + p1=9 = 2 + r:
(c) Se nós substituirmos a expressão para r na condição encontrada no item (b) nós …camos
com a seguinte condição:
2 + p
�
28=9 � 21=9�� p8=9 + p1=9 = 2 + 28=9 � 21=9;
que pode ser simpli…cada para
p
�
28=9 � 21=9�� p8=9 + p1=9 = 28=9 � 21=9:
É fácil agora veri…car que 1,2 e 1/2 de fato são soluções para a equação acima. k
15
Exercício 3.4. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de
utilidade dos consumidores sejam dadas por UA (x1A; x
2
A) = (x
1
A)
1
3 (x2A)
2
3 e UB (x1B; x
2
B) =
(x1B)
2
3 (x2B)
1
3 . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (w1A; w
2
A) = (1; 0) e
(w1B; w
2
B) = (0; 1).
(a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de
preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia
(b) É possível mostrar que a alocação (x1A; x
2
A) =
�
1
2
; 4
5
�
e (x1B; x
2
B) =
�
1
2
; 1
5
�
é e…ciente no
sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema
do Bem-estar nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós
podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja,
existem t1; t2 > 0 tais que quando (w1A; w
2
A) = (1� t1; t2) e (w1B; w2B) = (t1; 1� t2),
a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A; x
2
A) =�
1
2
; 4
5
�
e (x1B; x
2
B) =
�
1
2
; 1
5
�
. Encontre o vetor de preços e as transferências t1 e t2
relacionadas a tal equilíbrio (Atenção! Existem várias combinações de transferências
que geram a alocação citada. Vocês podem escolher qualquer uma dentre as combinações
que funcionam.)
Solução.
(a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, nós podemos escolher
o preço de um dos bens como numerário. Façamos isto com o bem 1, então. O nosso
trabalho agora é encontrar o preço p do bem 2 que equilibra os mercados. Como os
dois consumidores são Cobb-douglas e a função demanda deste tipo de consumidor é
nossa velha conhecida, nós podemos escrever as demandas diretamente. O consumidor
A gastará 1=3 da sua renda com o bem 1 e 2=3 com o bem 2. Ou seja, sua demanda
será dada por
x1A =
1
3
w1A + pw
2
A
1
=
1
3
e
x2A =
2
3
w1A + pw
2
A
p
=
2
3p
:
Já o consumidor B gasta 2=3 de sua renda com o bem 1 e 1=3 com o bem 2. Ou seja,
sua demanda é dada por
x1B =
2
3
w1B + pw
2
B
1
=
2p
3
e
x2B =
1
3
w1B + pw
2
B
p
=
1
3
:
A condição de equilíbrio de mercado para o bem 1, por exemplo, é
x1A + x
1
B = 1;
o que é equivalente a
1
3
+
2p
3
= 1:
16 CAPÍTULO 3. EQUILÍBRIO GERAL - EQUILÍBRIO COMPETITIVO
É fácil ver que a única solução para a equação acima é p = 1. Substituindo tal valor
nas expressões para as demandas acima, nós obtemos a seguinte alocação no equilíbrio
(x1A; x
2
A) =
�
1
3
; 2
3
�
e (x1B; x
2
B) =
�
2
3
; 1
3
�
:
(b) Agora as demandas dos consumidores são dadas por
x1A =
1
3
1� t1 + pt2
1
;
x2A =
2
3
1� t1 + pt2
p
;
x1B =
2
3
t1 + (1� t2) p
1
e
x2B =
1
3
t1 + (1� t2) p
p
:
Dividindo a expressão para x1A pela expressão para x
2
A nós obtemos
p
2
=
x1A
x2A
=
5
8
:
Ou seja, o preço em um equilíbrio associado à alocação citada tem que ser p = 5=4. De
posse de tal preço agora nós podemos tentar encontrar valores de t1 e t2 que nos dêem a
alocação desejada. Como a questão já disse, vários valores de t1 e t2 podem ser usados
para tanto. Isto ocorre porque todas as equações geradas pelas funções demanda acima
são linearmente dependentes quando p = 5=4. Tentemos achar valores de t1 e t2 que
façam x1A assumir o valor desejado, então. Ou seja, tentemos encontrar valores de t1 e
t2 que resolvam a seguinte equação:
1
2
=
1
3
1� t1 + 54t2
1
:
A equação acima pode ser escrita de forma simpli…cada como
5t2 � 4t1 = 2:
Possíveis soluções para a equação acima são (t1; t2) =
�
0; 2
5
�
, (t1; t2) =
�
1
2
; 4
5
�
, (t1; t2) =�
1
4
; 3
5
�
, etc.. É fácil checar que qualquer das combinações de transferências acima de
fato gera a alocação desejada. k
Capítulo 4
Equilíbrio Geral - Economias com
Produção
Exercício 4.1. Considere uma economia com um consumidor e uma …rma. Nesta economia
existem dois insumos para produção. Trabalho, representado pela letra L e terra, representado
pela letra T . O consumidor recebe uma dotação inicial de 15 unidades de L e 10 unidades
de T . Trabalho e terra são utilizados para produzir dois tipos de bens, maçãs, representado
pela letra A eBandanas, representado pela letra B. Suponha que a tecnologia de produção
de maçãs seja dada pela seguinte função de produção:
A = min fL; Tg :
Ou seja, para produzir uma unidade de maçã é necessário utilizar pelo menos uma unidade de
trabalho e uma unidade de terra. Por outro lado, para se produzir uma unidade de Bandana
só é necessário se utilizar uma unidade de trabalho. Ou seja, Bandana tem a seguinte função
de produção:
B = L:
Para …nalizar a descrição de nossa economia, suponha que as preferências do nosso consumidor
sejam dadas pela seguinte função de utilidade:
U (A;B) = A
3
4B
1
4 :4.1
Calcule o equilíbrio competitivo desta economia.
Solução. Como sabemos que apenas preços relativos são determinados em um equilíbrio
competitivo, é conveniente escolhermos logo um dos preços como numerário. Façamos, então,
pL = 1. O nosso objetivo agora é encontrar pT ; pA e pB. Vamos primeiro analizar o problema
da produção de maçãs. Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como:
max
(L;T )
pAmin fL; Tg � L� pTT:4.2
A primeira coisa que podemos perceber no problema acima é que claramente a …rma nunca
vai querer usar uma quantidade desigual dos dois insumos, certo? Isto nos permite escrever
4.1É isto mesmo, a utilidade do consumidor só depende de quanto ele consome de maçãs e bandanas.
4.2Ou seja, o problema da …rma é escolher quanto ela vai usar dos insumos L e T na produção de maçãs
com o objetivo de maximizar o seu lucro.
17
18 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO
o problema acima somente em termos de L. Ou seja, o problema da …rma pode ser escrito
como
max
L
pAL� (1 + pT )L
Sejam LA e TA as quantidades dos insumos L e T que resolvem o problema de produção de
maçãs. Usando apenas lógica, podemos concluir que a solução do problema acima tem as
seguintes características:
TA = LA =1, se pA > 1 + pT ;
TA = LA = 0, se pA < 1 + pT ;
TA = LA � 0, se pA = 1 + pT :
De fato, se pA > 1 + pT , então a …rma obtém um lucro estritamente positivo com qualquer
unidade vendida do bem A. Portanto, ela vai querer produzir uma quantidade ilimitada do
bem. Claramente esta é uma situação em que um equilíbrio competitivo não poderá existir.
Por outro lado, se pA < 1 + pT , então a …rma obteria um lucro negativo com qualquer
unidade vendida do bem A. Então, é claro que neste caso a …rma não iria querer produzir
nada. Finalmente, se pA = 1 + pT , independentemente da quantidade produzida pela …rma,
o seu lucro será zero. Neste caso, todos os valores de LA e TA satisfazendo LA = TA são
soluções para o problema da …rma. Analisemos agora o problema de produção de bandanas.
Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como
max
(L;T )
pBL� L� pTT
A primeira coisa que podemos notar no problema acima, é que obviamente a …rma escolherá
usar zero unidades do bem T , já que este não é usado na fabricação de bandanas. O problema
acima reduz-se para
max
L
pBL� L
Chamando de LB; TB os valores de L e T que solucionam o problema de produção de
bandanas e fazendo uma análise similar ao problema de produção de maçãs nós chegamos à
seguinte caracterização:
TB = 0
LB = 1, se pB > 1;
LB = 0, se pB < 1;
LB � 0, se pB = 1:
O raciocínio para se chegar às condições acima é exatamente o mesmo do problema anterior.
Para podermos encontrar o equilíbrio competitivo desta economia, falta agora resolvermos
o problema do consumidor. Este pode ser escrito como:
max
(L;T;A;B)
A
3
4B
1
4
sujeito a
pAA+ pBB + L+ pTT � 15 + 10pT
A;B;L; T � 0:
19
Mas observe que a utilidade do consumidor não depende de quanto ele possui dos bens L e
T . Portanto, é óbvio que a solução do problema acima terá Lc = Tc = 0.4.3 Isto nos permite
escrever o problema acima de forma simpli…cada como:
max
(A;B)
A
3
4B
1
4
sujeito a
pAA+ pBB � 15 + 10pT
A;B � 0:
Agora o problema se torna o de um consumidor Cobb-douglas e nós já sabemos que sua
solução terá o consumidor gastando 3=4 de sua renda com o bem A e 1=4 com o bem B. Ou
seja, a solução do problema acima será
Ac =
3
4
15 + 10pT
pA
e Bc =
1
4
15 + 10pT
pB
:
Agora nós já temos tudo que precisamos para podermos encontrar um vetor de preços que
equilibre a nossa economia. Comecemos equilibrando o mercado para o bem T , então. A
condição de equilíbrio de mercado para o bem T é dada por:
Tc + TA + TB = 10:
4.4
Acima nós vimos que Tc = TB = 0. Portanto, a condição acima reduz-se para TA = 10.
Dada a caracterização da solução de produção de maçãs acima, é fácil ver que o equilíbrio
competitivo tem que estar ocorrendo em um ponto em que
pA = 1 + pT :
Isto implica que em equilíbrio nós também temos LA = 10. Tentemos agora equilibrar o
mercado para o bem L. A condição de equilíbrio de mercado para tal bem é dada por
Lc + LA + LB = 15:
Usando o que aprendemos acima tal condição pode ser simpli…cada para
10 + LB = 15:
4.5
Ou seja, em equilíbrio nós temos LB = 5. Novamente, da caracterização da solução do
problema de produção de bandanas nós aprendemos que um vetor de preços que equilibre a
nossa economia tem que satisfazer
pB = 1:
4.3Notação: Chamaremos de (Lc; Tc; Ac; Bc) a cesta de consumo que resolve o problema do consumidor.
4.4Ou seja, o que o consumidor consome de T mais o que é usado de T na produção de maçãs e bandanas
tem que ser igual à dotação inicial do bem T .
4.5Usamos aqui os fatos de que do problema do consumidor nós sabemos que Lc = 0 e na análise acima
aprendemos que LA = 10:
20 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO
Finalmente, vamos agora equilibrar o mercado para o bemA. Como acima nós já aprendemos
que a …rma produzirá 10 unidades do bem A, a condição de equilíbrio para o mercado de tal
bem pode ser escrita simplesmente como
Ac = 10:
O que em termos da solução do problema do consumidor torna-se
3
4
15 + 10pT
pA
= 10:
Lembre-se que acima nós aprendemos que pA = 1 + pT . Portanto, podemos escrever a
condição acima como
3
4
15 + 10pT
1 + pT
= 10;
o que nos dá pT = 1=2 e, consequentemente, pA = 3=2.4.6 Portanto, o nosso equilíbrio
competitivo consistirá da alocação (Lc; Tc; Ac; Bc) = (0; 0; 10; 5), (LA; TA; AA) = (10; 10; 10)
e (LB; TB; BB) = (5; 0; 5), e do vetor de preços (pL; pT ; pA; pB) = (1; 1=2; 3=2; 1): k
Exercício 4.2. Considere uma economia como a estudada nas notas de aula. Isto é, uma
economia com um insumo x, dois bens produzidos, y e z, dois consumidores, A e B, e
duas …rmas, f e g. As funções de produção das duas …rmas são dadas por fy(xfy) = axfy ,
fz(xfz) = cxfz , gy
�
xgy
�
= bxgy e gz(xgz) = dxgz , em que a > b e d > c.
(a) Mostre que em qualquer plano de produção e…ciente para esta economia somente a
empresa f produz o bem y e somente a empresa g produz o bem z:
(b) Escolha o preço do bem x como numerário. Isto é, faça px = 1. Mostre que em
qualquer equilíbrio competitivo da economia acima, em que quantidades positivas dos
bens y e z sejam produzidas, o vetor de preços (1; py; pz) é sempre o mesmo. Isto
ocorre independentemente de quais sejam as funções de utilidade dos consumidores,
independentemente de quais sejam as dotações iniciais do bem x e independentemente
de como as ações das …rmas estejam distribuídas entre os consumidores (Dica: se tal
resultado é independente das funções de utilidade dos consumidores, então provavelmente
ele só depende do problema das …rmas. A letra (a) facilita a solução, mas, embora dê
mais trabalho, também dá para resolver a questão sem utilizá-la.).
Solução.
(a) Suponha que (xfy ; xfz) e
�
xgy ; xgz
�
seja um plano de produção e…ciente. De…na xy :=
xfy + xgy e xz := xfz + xgz . Por de…nição, nós sabemos que (xfy ; xgy) é solução para o
seguinte problema:
max
xf ;xg
axf + bxg
4.6Neste ponto é sempre uma boa idéia voltar ao problema do consumidor e veri…car que o vetor de preços
encontradorealmente faz o consumidor escolher consumir 10 unidades de A e 5 unidades de B.
21
sujeito a
xf + xg = xy
Mas é óbvio que a única solução para o problema acima é xf = xy e xg = 0.4.7 Ou
seja, xfy = xy e xgy = 0. Um raciocínio inteiramente análogo mostra que xfz = 0 e
xgz = xz:
(b) Seguindo a dica, olhemos para o problema das …rmas, então. Estudemos primeiro o
problema da …rma f :
max
xfy ;xfz
pyaxfy + pzcxfz � (xfy + xfz)
Obviamente, se py > 1=a ou pz > 1=c, a …rma poderia obter um lucro in…nito
produzindo uma quantidade in…nita de um dos bens. Logo, como por hipótese o
problema acima tem solução, nós temos que ter py � 1=a e pz � 1=c. Se py < 1=a, a
…rma tem prejuízo quando produz uma quantidade positiva do bem y. Pela letra (a),
nós sabemos que a …rma f produz uma quantidade positva do bem y, logo nós temos
que ter py = 1=a. Exatamente o mesmo raciocínio, agora aplicado ao problema da
…rma g, mostra que pz = 1=d: k
Exercício 4.3. Considere a economia no exemplo 1 das notas de aula sobre economias com
produção. É possível mostrar que a alocação (x1A; x
2
A) = (1=4; 1=4), (x
1
B; x
2
B) = (3=4; 7=4)
e (y1; y2) = (1; 2) é e…ciente no sentido de Pareto. Aquele exemplo satisfaz as condições
do segundo teorema do bem-estar, portanto, sabemos que com a correta redistribuição das
dotações iniciais e da propriedade da …rma existirá um equilíbrio competitivo que gera a
alocação acima. Encontre um destes equilíbrios (Dica: do problema do consumidor A você
já consegue descobrir qual vai ser o vetor de preços no equilíbrio. A partir daí, encontrar
uma distribuição de dotação inicial e de propriedade da …rma que leve a um equilíbrio com
a alocação acima é fácil).
Solução. Vamos primeiro estudar um pouco as características da alocação que temos em
mãos. Primeiramente, observe que os dois consumidores juntos consomem uma unidade do
bem 1 e a …rma utiliza outra unidade do bem 1 em seu processo de produção. Portanto,
como era o caso no exemplo das notas de aula, a dotação inicial agregada do bem 1 tem que
ser igual a 2. Isto é
w1A + w
1
B = 2:
Similarmente, os dois consumidores juntos consomem 2 unidades do bem 2 e a …rma produz
as mesmas 2 unidades do bem 2. Portanto, novamente como nas notas de aula, a dotação
inicial agregada do bem 2 tem que ser igual a zero. Ou seja,
w2A = w
2
B = 0:
Na nossa economia teremos ainda um vetor (�A; �B) que representa a parcela dos lucros da
…rma que cada consumidor tem direito. Para completar esta análise preliminar lembre-se
que em um equilíbrio competitivo só preços relativos estão determinados, portanto, nós
4.7É claro que implicitamente o problema acima também tem a restrição xf ; xg � 0:
22 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO
podemos escolher um dos preços como numerário. Façamos, então p1 = 1. O nosso vetor de
preços agora assume o formato (p1; p2) = (1; p). O nosso trabalho agora é encontrar w1A; w
1
B,
(�A; �B) e p, de modo que dados w1A; w
1
B, (�A; �B), o vetor de preços (1; p) e a alocação
(x1A; x
2
A) = (1=4; 1=4), (x
1
B; x
2
B) = (3=4; 7=4), (y
1; y2) = (1; 2) constituam um equilíbrio
competitivo. Seguindo a dica do problema, vamos primeiramente olhar para o problema do
consumidor A. Tal problema pode ser escrito como
max
(x1A;x2A)
�
x1A
� 1
2
�
x2A
� 1
2
sujeito a
x1A + px
2
A � w1A + �A�
x1A; x
2
A � 0:
O consumidor acima é o nosso velho amigo Cobb-douglas e nós já sabemos que a solução de
tal problema é dada por
x1A =
1
2
w1A + �A�
1
e x2A =
1
2
w1A + �A�
p
:
Se dividirmos x1A por x
2
A nós obtemos
x1A
x2A
= p:
Lembre-se que estamos procurando um vetor de preços que leve à cesta de consumo (x1A; x
2
A) =
(1=4; 1=4) no equilíbrio. Da condição acima nós vemos que tal vetor de preços terá que
satisfazer p = 1. Ou seja, conforme a dica do problema nos tinha informado, do problema
do consumidor A nós já conseguimos descobrir qual vetor de preços estará associado com
o equilíbrio competitivo que estamos tentando construir. Dado que o segundo teorema do
bem-estar nos garante que vai existir um equilíbrio competitivo com tal alocação, nós já
sabemos que se tentarmos resolver o problema da …rma com o vetor de preços em questão
nós teremos que obter exatamente (y1; y2) = (1; 2). Só por desencargo de consciência vamos
checar se isto realmente acontece. Lembre-se que o problema da …rma é
max
y1
p2
�
y1
� 1
2 � y1:
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá
p
�
y1
�� 1
2 = 1;
o que pode ser simpli…cado para
y1 = p2:
Como nós já aprendemos que p = 1, nós veri…camos que de fato sob tal vetor de preços
a …rma realmente escolhe y1 = 1, o que gera um nível de produção y2 = 2. Nós também
23
podemos observar que em tal situação o lucro da …rma será � = 1. Finalmente, vamos olhar
para o problema do consumidor B:
max
(x1B ;x2B)
x1B + x
2
B
sujeito a
x1B + px
2
B � w1B + �B�
x1B; x
2
B � 0:
Como nós sabemos que um equilíbrio competitivo com o vetor de preços e a alocação em
questão vai existir, nós também já sabemos que com a correta distribuição de renda a cesta
(x1B; x
2
B) = (3=4; 7=4) será uma solução para o problema acima. Neste caso é fácil veri…car
que tal fato é verdade, já que, conforme aprendemos nas notas de aula, com p = 1, qualquer
combinação de x1B e x
2
B que esgote a renda do consumidor B será solução para tal problema.
Lembre-se que queremos que o consumidor B consuma a cesta (x1B; x
2
B) = (3=4; 7=4). Sob
o vetor de preços em questão isto implica em um gasto igual a 5=2. De forma similar, nós
queremos que o consumidor A consuma a cesta (x1A; x
2
A) = (1=4; 1=4), o que dá um gasto
igual a 1=2. Portanto, tudo que temos que fazer agora é escolher uma dotação inicial e um
vetor (�A; �B) tais que a renda de A seja 1=2 e a renda de B seja 5=2. Existem in…nitas
combinações que geram tais rendas. A tabela abaixo mostra algumas possibilidades:
w1A w
1
B (�A; �B)
1=2 3=2 (0; 1)
0 2 (1=2; 1=2)
1=4 7=4 (1=4; 3=4)
: k
24 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO
Capítulo 5
Bem-estar Social5.1
Exercício 5.1. Considere uma situação em que os agentes têm preferências sobre um par
de alternativas x e y. Mostre que o funcional de bem-estar social dado pela regra de votação
por maioria simples é Paretiano e satisfaz as propriedades Anonimidade, Neutralidade entre
Alternativas e Resposta Positiva.
Solução. Lembre-se que, dada a notação introduzida nas notas de aula, o funcional de
bem-estar social dado pela regra da votação por maioria simples pode ser representado
pela seguinte fórmula:
fS (f1; :::; fN) =
8<:
1 se
PN
i=1 fi > 0;
0 se
PN
i=1 fi = 0;
�1 se PNi=1 fi < 0:
Primeiramente, note que se (f1; :::; fN) = (1; :::; 1), então
PN
i=1 fi = N > 0. Similarmente, se
(f1; :::; fN) = (�1; :::;�1), então
PN
i=1 fi = �N < 0. Então, fS(1; :::; 1) = 1 e fS(�1; :::;�1) =
�1, o que implica que a regra da maioria é paretiana. Agora, como …zemos nas notas de
aula, para um determinado per…l (f1; :::; fN) de…na n+ (f1; :::; fN) como o número de 1’s
em (f1; :::; fN). Similarmente, de…na n� (f1; :::; fN) como o número de -1’s em (f1; :::; fN).
Observe que
PN
i=1 fi = n
+ (f1; :::; fN)�n� (f1; :::; fN). Desta forma, nós podemos reescrever
a fórmula da regra da maioria como
fS (f1; :::; fN) =
8<:
1 se n+ (f1; :::; fN) > n� (f1; :::; fN) ;
0 se n+ (f1; :::; fN) = n� (f1; :::; fN) ;
�1 se n+ (f1; :::; fN) < n� (f1; :::; fN) :
Mas agora é evidente que o valor fS (f1; :::; fN) só depende do número de 1’s e -1’s no per…l
(f1; :::; fN) e, consequentemente, a regra da maioria satisfaz Anonimidade. Agora observe
5.1Quando eu imprimo o texto na minha impressora, algumas expressões que têm um símbolo de preferência
como sobrescrito aparecem apenas como um til.Isto é, a expressão %% aparece apenas como %~, quando
impressa. Ou seja, o arquivo é visualisado corretamente na tela do computador, mas a impressão apresenta
tal problema. A única forma que eu encontrei para resolver isto foi imprimir o arquivo como imagem. No
meu caso isto é feito selecionando imprimir, depois clicando no botão avançado e depois selecionando a opção
imprimir como imagem. Isto é só uma dica caso alguém tenha o mesmo problema.
25
26 CAPÍTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL
que para um dado per…l (f1; :::; fN), n+(f1; :::; fN) = n�(�f1; :::;�fN) e n�(f1; :::; fN) =
n+(�f1; :::;�fN). Note que se fS(f1; :::; fN) = 1, o que é equivalente a dizer que n+(f1; :::; fN) >
n�(f1; :::; fN), nós claramente teremos n+ (�f1; :::;�fN) < n� (�f1; :::;�fN), o que é equivalente
a dizer que fS (�f1; :::;�fN) = �1. Similarmente, se fS (f1; :::; fN) = 0, o que é equivalente a
dizer que n+ (f1; :::; fN) = n� (f1; :::; fN), nós teremos n+ (�f1; :::;�fN) = n� (�f1; :::;�fN),
o que é equivalente a dizer que fS (�f1; :::;�fN) = 0. Finalmente, se fS (f1; :::; fN) = �1, o
que é equivalente a dizer que n+ (f1; :::; fN) < n� (f1; :::; fN), nós teremos n+ (�f1; :::;�fN) >
n� (�f1; :::;�fN), o equivale a dizer que fS (�f1; :::;�fN) = 1. Portanto, em todas as
situações possíveis nós temos fS (�f1; :::;�fN) = �fS (f1; :::; fN), o que implica que a regra
da maioria satisfaz Neutralidade entre Alternativas. Para …nalizar, suponha que o per…l
(f1; :::; fN) seja tal que fS (f1; :::; fN) � 0. Nós sabemos que isto é equivalente a dizer que
n+ (f1; :::; fN) � n� (f1; :::; fN). Seja agora (f^1; :::; f^N) um per…l tal que f^i � fi pra todo i,
com desigualdade estrita para algum i. Mas isto implica que n+(f^1; :::; f^N) � n+ (f1; :::; fN)
e n� (f1; :::; fN) � n�(f^1; :::; f^N), com pelo menos uma destas duas desigualdades estrita.
Mas então, claramente nós temos n+(f^1; :::; f^N) > n�(f^1; :::; f^N), o que é equivalente a dizer
que fS(f^1; :::; f^N) = 1. Ou seja, a regra da maioria satisfaz Resposta Positiva. Isto completa
a solução do exercício. k
Exercício 5.2. Complete mais dois passos da demonstração do Teorema de Impossibilidade
de Arrow para dois agentes e três alternativas. Mais especi…camente, usando o que foi
aprendido nos passos 1 e 2 nas notas de aula mostre que para qualquer per…l (%1;%2) em
que z �2 y, nós temos que ter z �(%1;%2)S y e, posteriormente, mostre que para qualquer per…l
(%1;%2) em que x �2 y, nós temos que ter x �(%1;%2)S y:
Solução. Considere o seguinte per…l: %1= (x; y; z) e %2= (z; x; y). Pela propriedade de
unanimidade, nós sabemos que para tal per…l nós temos que ter x �(%1;%2)S y. Pelo passo 1
na demonstração nas notas de aula, nós também sabemos que para tal per…l nós temos que
ter z �(%1;%2)S x. Mas então, usando a transitividade de %(%1;%2)S , nós obtemos z �(%1;%2)S y.
Por IAI, nós aprendemos que para qualquer per…l em que y �1 z e z �2 y nós teremos
z �(%1;%2)S y. Mas para per…s em que z �1 y e z �2 y, Paretianismo imediatamente implica
que z �(%1;%2)S y. Com isto nós concluímos que para qualquer per…l em que z �2 y nós
necessariamente teremos z �(%1;%2)S y, como queríamos.
Considere agora o per…l %1= (y; x; z) e %2= (x; z; y). Por unanimidade, nós sabemos que
x �(%1;%2)S z. Pelo que nós aprendemos na primeira parte do exercício, nós também temos que
ter z �(%1;%2)S y. Mas então, usando a transitividade de %(%1;%2)S nós obtemos x �(%1;%2)S y.
Agora, por IAI, nós concluímos que para qualquer per…l em que y �1 x e x �2 y nós temos
que ter x �(%1;%2)S y. Novamente, como por Paretianismo nós temos x �(%1;%2)S y para todos
os per…s em que x �1 y e x �2 y, nós concluímos que x �(%1;%2)S y para qualquer per…l em
que x �2 y. Isto completa a solução do exercício. k
Exercício 5.3. Suponha que estejamos em uma economia como a da seção 4 das notas
de aula. Ou seja, os agentes têm preferências sobre suas cestas de consumo individual.
Seja
��
x11; :::; x
K
1
�
; :::;
�
x1N ; :::; x
K
N
��
uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que
existe um agente i� que não inveja ninguém. Ou seja, mostre que existe um agente i� tal que
U i
� �
x1i� ; :::; x
K
i�
� � U i� �x1i ; :::; xKi � pra todo i:
27
Solução. Suponha que
��
x11; :::; x
K
1
�
; :::;
�
x1N ; :::; x
K
N
��
seja e…ciente, mas todos os agentes
invejem alguém. Ou seja, suponha que para todo i exista j tal que U i
�
x1j ; :::; x
K
j
�
>
U i
�
x1i ; :::; x
K
i
�
. Comecemos pelo agente 1. Por hipótese, existe um agente i (1) tal que
U i
�
x1i(1); :::; x
K
i(1)
�
> U i
�
x1i ; :::; x
K
i
�
. Agora observe que por hipótese o agente i (1) também
inveja alguém. Ou seja, se chamarmos este alguém de i2 (1) nós teremos U i(1)
�
x1i2(1); :::; x
K
i2(1)
�
>
U i(1)
�
x1i(1); :::; x
K
i(1)
�
. Mas, por hipótese também existirá um agente i3 (1) que o agente i2 (1)
invejará, e assim por diante. Se continuarmos procedendo desta forma, nós acabaremos
com uma sequência dada por 1; i (1) ; i2 (1) ; i3 (1) ; :::; tal que para todo j � 0 o agente
ij (1) inveje o agente ij+1 (1).5.2 Agora observe que na nossa economia nós temos um
número …nito, N , de agentes. Obviamente, existirá j > 0 tal que ij+1 (1) = il (1) para
algum l < j. Ou seja, existirá um indivíduo ij (1) que invejará alguém que já apareceu
anteriormente na sequência. Seja j� o menor valor de j para que isto acontece, e seja
il (1) o indivíduo que ij
�
(1) inveja. Pela discussão acima nós sabemos que l < j�. Agora
olhemos para a seguinte sequência …nita de agentes: il (1) ; il+1 (1) ; :::; ij
�
(1). Observe que na
sequência acima todo agente inveja o agente posterior a ele e o último agente, ij
�
(1), inveja
o primeiro agente, il (1). Ou seja, na sequência acima temos um círculo de inveja. Mas
então, olhemos para a alocação
��
x^11; :::; x^
K
1
�
; :::;
�
x^1N ; :::; x^
K
N
��
em que para l � j � j� � 1,
(x^1ij(1); :::; x^
K
ij(1)) = (x
1
ij+1(1); :::; x
K
ij+1(1)) e (x^
1
ij
� (1); :::; x^
k
ij
� (1)) = (x
1
il(1)
; :::; xK
il(1)
). Para os demais
agentes i de…na
�
x^1i ; :::; x^
K
i
�
=
�
x1i ; :::; x
K
i
�
. Primeiramente, observe que tudo que …zemos foi
redistribuir as cestas de consumo que tínhamos na alocação
��
x11; :::; x
K
1
�
; :::;
�
x1N ; :::; x
K
N
��
,
portanto se
��
x11; :::; x
K
1
�
; :::;
�
x1N ; :::; x
K
N
��
era factível, então
��
x^11; :::; x^
K
1
�
; :::;
�
x^1N ; :::; x^
K
N
��
também é factível. Além disto, por construção, para l � j � j�, nós temos U j(x^1j ; :::; x^Kj ) >
U j(x1j ; :::; x
K
j ). Para os demais indivíduos nós temos
�
x^1i ; :::; x^
K
i
�
=
�
x1i ; :::; x
K
i
�
, portanto,
U i
�
x^1i ; :::; x^
K
i
�
= U i
�
x1i ; :::; x
K
i
�
. Mas então a alocação
��
x^11; :::; x^
K
1
�
; :::;
�
x^1N ; :::; x^
K
N
��
melhora
estritamente a situação de alguns indivíduos na economia sem piorar a situação de nenhum
outro. Isto contradiz a e…ciência no sentido de Pareto de
��
x11; :::; x
K
1
�
; :::;
�
x1N ; :::; x
K
N
��
.
Nós temos, então, que concluir que a nossa hipótese inicial não é verdadeira. Ou seja, tem
que existir algum indivíduo i� na nossa economia que não inveje ninguém, como queríamos
demonstrar. k
Exercício 5.4. Suponha que estejamos em uma situação com 3 alternativas fx; y; zg e três
agentes fA;B;Cg. As preferências dos agentes são dadas pela tabela abaixo:
A B C
x y z
y z x
z x y
:
Ou seja, o agente A prefere x a y e prefere y a z, e assim por diante. Suponha que nossa
tarefa seja escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para a
sociedade. Considere o seguinte método: primeiro escolha um par de alternativas e realize
uma votação entre os agentes.Feito isto, pegue a alternativa vencedora da votação anterior
e realize uma nova votação contra a alternativa que …cou de fora da primeira votação.
5.2Nós estamos adotando aqui a convenção de que o agente i0 (1) é simplesmente o agente 1.
28 CAPÍTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL
(a) Mostre que tal procedimento é totalmente manipulável. Isto é, mostre que de acordo com
a ordem de votação que escolhermos nós podemos in‡uenciar na escolha …nal.
(b) Suponha agora que nós usemos estas votações dois a dois para de…nir a nossa preferência
social entre as alternativas. Ou seja, uma alternativa será socialmente preferível a
outra se mais agentes a considerarem melhor do que a outra. Chame a preferência
social de…nida desta forma de %S. Não é difícil ver que tal método para de…nir
uma preferência social satisfaz Paretianismo e IAI, mas obviamente não é ditarorial.
Parece, então, que algo mais fundamental não está correto aqui. Discuta.
Solução.
(a) Suponha que primeiro façamos uma votação entre x e y. Neste caso x terá 2 votos contra
apenas 1 voto de y. Ou seja, x vencerá a votação. Agora se …zermos uma votação entre
x e z, z seria a alternativa que obteria 2 votos e venceria a eleição. Neste caso, então,
a escolha social seria z. Suponha agora que primeiro comecemos com uma votação
entre y e z. Neste caso y recebe 2 votos e vence a votação. Mas agora quando …zermos
uma votação entre x e y, x é quem receberá 2 votos. Neste caso a escolha social seria
x. Finalmente, se iniciarmos com uma votação entre x e z, vemos que z vence tal
votação por 2 a 1. Mas quando …nalmente realizarmos uma votação entre z e y, y é
quem vencerá a votação por 2 a 1. Ou seja, neste caso a escolha social seria y. Nós
mostramos, então, que se pudermos controlar a ordem da votação entre as alternativas
nós podemos fazer com que a escolha social seja qualquer uma que quisermos.
(b) Utilizando a regra proposta no exercício nós somos obrigados a concluir que x �S y,
z �S x e y �S z. Como foi apontado pelo enunciado do exercício, tal procedimento
de fato satisfaz Paretianismo e IAI, e não é ditatorial. No entanto, isto não é uma
contradição ao Teorema da Impossibilidade de Arrow. Note que a preferência social
obtida com tal procedimento não é transitiva e esta é uma das hipóteses do teorema
de Arrow. Note, também, que é exatamente a intransitividade da preferência social
de…nida desta forma que gera o fenômeno descrito no item (a). O processo de escolha
por votação realmente escolhe a alternativa preferida entre um par de alternativas, mas
como a preferência social resultante não é transitiva, dependendo da ordem em que nós
comparamos as alternativas nós obtemos uma escolha diferente. k
Capítulo 6
Monopólio
Exercício 6.1 (Imposto sobre os lucros). Considere o exemplo 1 das notas de aula sobre
monopólio. Lembre-se que naquele exemplo nós tínhamos dois bens, x e y e um consumidor
com função de utilidade U (x; y) = x+ 2
p
y. Também tínhamos uma tecnologia de produção
dada por y =
p
x, ou seja, o bem x é usado como insumo para produzir o bem y. Finalmente,
o consumidor tinha uma dotação inicial wx do bem x.
(a) Calcule o nível de produção em equilíbrio quando a …rma age como monopolista (Dica:
Quase todo o trabalho já está feito nas notas de aula. Tudo que você tem a fazer é
pegar a expressão encontrada lá e usar uma condição de equilíbrio de mercado).
(b) Suponha agora que o governo resolva impor um imposto proporcional sobre o lucro do
monopolista. Isto é, se o monopolista tiver um lucro � ele terá que pagar um valor
t� de imposto, em que 0 < t < 1. O valor arrecadado com o imposto sobre os lucros
do monopolista será repassado diretamente ao consumidor na forma de um subsídio de
montante …xo.6.1 Calcule o nível de produção de equilíbrio agora.
(c) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que o nível de produção no item (b) é
exatamente o mesmo do item (a). De acordo com tal modelo, parece não haver nenhuma
justi…cativa para a imposição de um imposto sobre os lucros das …rmas. É claro que
o modelo acima tem uma séria limitação que faz com que o modelo por de…nição já
ignore um possível efeito de tal imposto. Que limitação e que efeito são estes?6.2
Solução.
(a) Nas notas de aula nós chegamos à seguinte expressão caracterizando o nível de produção
de monopólio:
1
2
1p
y
= 2
p
wx � x:
6.1Ou seja, o consumidor verá tal subsídio como algo totalmente exógeno e totalmente independente das
suas ações.
6.2O modelo obviamente tem várias limitações, mas tem uma que é claramente mais relevante para a
discussão aqui.
29
30 CAPÍTULO 6. MONOPÓLIO
Mas dada a nossa tecnologia de produção, nós sabemos que y =
p
wx � x. Usando isto
na expressão acima nós …camos com
1
2
1p
y
= 2y;
o que nos dá um nível de produção
y =
1
2
1
3
p
2
:
(b) Agora o problema do consumidor vira
max
(x;y)
x+ 2
p
y
sujeito a
x+ py = wx + � + s;
em que s é o subsídio que este recebe do governo. Repetindo os passos nas notas de
aula nós vemos que as condições de primeira ordem do problema do consumidor ainda
nos dão a mesma condição que antes. Ou seja, nós chegamos a
1p
y
= p:
Dada a caracterização da função demanda inversa do consumidor obtida na expressão
acima, o problema da …rma monopolista pode agora ser escrito como
� = max
xf
(1� t)
 
1pp
xf
p
xf � xf
!
Mas a condição de primeira ordem do problema acima é exatamente a mesma que nós
tínhamos no caso sem imposto.6.3 Nas notas de aula nós já vimos que tal condição
implicava que
1
2
1p
y
= 2
p
wx � x:
Ou seja, se novamente usarmos a observação de que y =
p
wx � x em equilíbrio, nós
obteremos o mesmo nível de produção que obtivemos antes.
(c) A grande limitação de tal modelo é que ele só tem um consumidor. Suponha que
o modelo tivesse dois consumidores. Neste caso, o nível de produção de equilíbrio
geralmente vai depender das dotações iniciais dos agentes e de como as ações da …rma
estão divididas entre os consumidores. Porém, se o governo impuser um imposto sobre
o lucro da …rma e redistribuí-lo entre os consumidores de acordo com o percentual
6.3Isto não deve ser nenhuma surpresa. É claro que o valor de xf que maximiza p
p
xf � xf também
maximiza �
�
p
p
xf � xf
�
para qualquer � > 0:
31
de ações da …rma que cada consumidor possui, nós obteremos o mesmo resultado que
obtivemos agora. Ou seja, a alocação de equilíbrio será exatamente a mesma. Mas, é
claro, isto só ocorre se o governo usar como parâmetro de distribuição exatamente o
percentual de ações que cada consumidor possui. Se o governo utilizar qualquer outra
forma para calcular a redistribuição do imposto, a alocação de equilíbrio será diferente.
Em resumo, um modelo com apenas um consumidor, por de…nição, ignora os possíveis
efeitos de redistribuição de renda que um imposto sobre o lucro da …rma monopolista
pode ter. k
Exercício 6.2. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função
custo seja dada por
C (y) = y2:
Ou seja, para produzir y unidades do bem a …rma gasta y2. Seja a função demanda inversa
do bem y dada por
p (y) = 3� y:
(a) Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y quando o mercado é competitivo
(…rma age como tomadora de preços) e quando a …rma age como monopolista.
(b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio,
implemente o seguinte esquema de incentivo. O governo pagará um bônus de s reais
por cada real vendido pela …rma. Isto é, se a …rma obtiver uma receita de x reais com
a venda do bem y, então o governo lhe pagará um bônus de sx reais. Calcule o valor
de s que faz com que a …rma produza a quantidade e…ciente (o valor encontrado no
caso competitivo).
Solução.
(a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema pode ser escrito como
max
y
py � y2
A condição deprimeira ordem para o problema acima nos dá
p = 2y:
Dada a curva de demanda inversa da economia, a oferta e a demanda só estarão
equilibradas se
2y = 3� y;
o que implica que
yc = 1
e
pc = 2:
Quando a …rma age como monopolista o seu problema pode ser escrito como
max
y
(3� y) y � y2
32 CAPÍTULO 6. MONOPÓLIO
A condição de primeira ordem para o problema acima é
3� 4y = 0;
o que nos dá
ym =
3
4
e, consequentemente,
pm =
9
4
:
(b) O problema da …rma agora pode ser escrito como
max
y
(3� y) y (1 + s)� y2
A condição de primeira ordem para o problema acima é
�y (1 + s) + (3� y) (1 + s)� 2y = 0:
Fazendo y = 1 na expressão acima, nós obtemos s = 1. k
Exercício 6.3. Uma empresa monopolista produz um bem q de acordo com uma função
custo dada por c (q) = q + q2. Suponha que a curva de demanda inversa do mercado seja
dada por p (q) = 13� q.
(a) Calcule a quantidade q produzida pelo monopolista. Qual o seu lucro?
(b) Suponha agora que, embora a empresa monopolista funcione em um mercado protegido
contra a importação, esta tenha a opção de vender o seu bem no mercado exterior. Mais
especi…camente, o monopolista tem a opção de vender o bem no mercado doméstico,
em que este enfrenta uma curva de demanda inversa dada por pd (qd) = 13 � qd,
mas tem também a opção de vender o bem no mercado internacional por um preço
pi = 11. O preço do bem no mercado internacional não depende da quantidade qi
vendida pelo monopolista neste mercado. A função custo da …rma continua sendo
dada por c (q) = q + q2. A diferença é que agora q = qd + qi. Quanto a …rma venderá
no mercado doméstico e no mercado internacional? Qual o seu lucro agora? (Dica: A
intuição pode ser traiçoeira aqui. É melhor con…ar na matemática e resolver o problema
do monopolista completo.)
Solução.
(a) Neste caso o problema do monopolista é
max
q
(13� q) q � q � q2
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá q = 3 Tal quantidade implica
que o preço cobrado pelo monopolista será 10 e o seu custo será 12. Portanto o seu
lucro será � = 10 � 3� 12 = 18:
33
(b) O problema da …rma agora é
max
qd;qi
(13� qd) qd + 11qi � (qd + qi)� (qd + qi)2
As condições de primeira ordem do problema acima são
12� 4qd � 2qi = 0
e
10� 2qd � 2qi = 0:
Resolvendo o sistema acima nós obtemos qd = 1 e qi = 4. O preço no mercado
doméstico será 12. O custo da …rma será 5+52 = 30. Portanto, o lucro do monopolista
será
� = 12 � 1 + 11 � 4� 30
= 26: k
Exercício 6.4 (Monopsônio). Suponha que uma empresa produza um bem y que é vendido
no mercado internacional por um preço py = 24. O único insumo para a produção do bem y
é um bem super especializado, x. O bem y é produzido de acordo com a função de produção
y := ln x. O preço pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 2+x.
(a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. Isto é, suponha que
a …rma aja como tomadora de preços em relação ao preço w. Calcule quanto a …rma
utilizará do insumo x neste caso. (Atenção! Embora a …rma aja como tomadora de
preços em relação a w, posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelo
bem x …quem equilibradas). (Dica: No …nal você chegará em uma equação do segundo
grau que tem uma raiz positiva e uma negativa. Logicamente, a solução do problema é
a raiz positiva.)
(b) Suponha agora que a …rma seja o único consumidor do insumo x e que esta entenda que
a sua decisão em relação a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preço pago
w(x). Isto é, a …rma não é mais tomadora de preços em relação ao bem x. Calcule
quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Dica: Novamente você chegará em
uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que a
solução do problema é a raiz positiva.)
(c) Se você fez as contas corretamente, você veri…cou que a quantidade de insumo x utilizada
na letra (a) foi maior do que na letra (b). Suponha que no caso tratado na letra (b) o
governo queira implementar um esquema de incentivos que faça com que a …rma utilize
a mesma quantidade de insumos da letra (a). O esquema funcionará da seguinte forma:
o governo subsidiará uma fração s dos custos da …rma com o insumo x. Isto é, se os
gastos da …rma com o insumo x forem l, esta receberá uma ajuda de s � l do governo.
Qual o valor de s que faz com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumo x
encontrada na letra (a)?
34 CAPÍTULO 6. MONOPÓLIO
Solução.
(a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema é:
max
x
24 lnx� wx
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá
24
x
= w:
Para que o mercado do bem x esteja equilibrado, o w que aparece na solução do
problema da …rma tem que coincidir com o que aparece na curve de oferta inversa. Ou
seja, a seguinte equação tem que ser satisfeita:
24
x
= 2 + x;
o que nos dá a seguinte equação do segundo grau:
x2 + 2x� 24 = 0:
A solução positiva da equação acima é x = 4:
(b) O problema da …rma agora é
max
x
24 lnx� (2 + x)x
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá
24
x
= 2 + 2x;
o que implica que a solução do problema satisfaz a seguinte equação do segundo grau:
x2 + x� 12 = 0:
A solução positiva da equação acima é x = 3:
(c) Com o subsídio descrito na questão o problema da …rma vira:
max
x
24 lnx� (1� s)(2 + x)x
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá
24
x
= (1� s)(2 + 2x);
o que implica que a solução do problema satisfaz a seguinte equação do segundo grau:
x2 + x� 12
1� s = 0:
Substituindo x = 4 na equação acima nós …camos com a seguinte equação em relação
a s:
12
1� s = 20;
Resolvendo a equação acima nós obtemos s = 2=5. k
Capítulo 7
Discriminação de Preços
Exercício 7.1 (Descrição grá…ca da solução do modelo de Mussa e Rosen). Considere o
modelo de discriminação de preços de segundo grau estudado nas notas de aula (o modelo de
Mussa e Rosen). Caracterize gra…camente a solução de tal modelo. Atenção, no livro texto
tem uma análise grá…ca para se chegar a solução de um modelo parecido com o de Mussa e
Rosen. Não é aquela análise grá…ca que eu quero. O que eu quero é algo mais simples. Dada
a solução que nós obtivemos nas notas, simplesmente mostre no mesmo grá…co os pacotes de
consumo dos dois consumidores, as curvas de indiferença dos dois consumidores que passam
por estes pacotes e os pacotes e…cientes, ou seja, os pacotes que teriam sido vendidos se o
monopolista pudesse diferenciar os dois consumidores, bem como as curvas de indiferença
que passam por tais pacotes.
Solução. Lembre-se que a solução do problema deMussa e Rosen tem as seguintes características:
1. A quantidade oferecida ao agente do tipo H é a e…ciente.
2. A restrição de participação para o agente do tipo L é satisfeita com igualdade.
3. A restrição de compatibilidade de incentivos para o agente do tipo H é satisfeita com
igualdade.
As três condições acima implicam que a solução do modelo de Mussa e Rosen pode ser
representada gra…camente como na …gura 7.1.
Na …gura 7.1 os pacotes que solucionam o modelo de Mussa e Rosen estão identi…cados
com o sobrescrito MR. A primeira coisa que podemos perceber é que o pacote oferecido
ao agente L encontra-se exatamente na interseção entre as curvas de indiferença dos dois
agentes. Isto nada mais é do que a representação grá…ca do fato de que a restrição de
compatibilidade de incentivos para o agente do tipo H é satisfeita com igualdade. Ou seja,
o agente do tipo H é indiferente entre o seu pacote,
�
pMRH ; q
MR
H
�
, e o pacote direcionado ao
agente L,
�
pMRL ; q
MR
L
�
. A outra coisa que podemos perceber é que a curva de indiferença
do agente L que passa sobre o seu pacote intercepta a origem. Isto nada mais é do que a
representação grá…ca do fato de que na solução do modelo de Mussa e Rosen a restrição departicipação do agente do tipo L é satisfeita com igualdade. Finalmente, nós vemos na …gura
que a quantidade consumida pelo agente do tipo H na solução de Mussa e Rosen é igual a
35
36 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS
Figura 7.1: Solução do modelo de Mussa e Rosen
quantidade consumida por H quando o monopolista consegue diferenciar os consumidores,
representada na …gura por qEH . Por outro lado, a quantidade consumida por L é menor do
que o nível e…ciente, que é a quantidade produzida pela …rma quando ela pode diferenciar os
dois consumidores. A razão disto, conforme podemos perceber na …gura, é o fato de que se o
monopolista tentasse fazer o agente L comprar a cesta
�
pEL ; q
E
L
�
, então o agente H preferiria
tal pacote ao pacote
�
pMRH ; q
MR
H
�
. Isto acaba fazendo com que o monopolista produza uma
quantidade menor do que a e…ciente para o agente L. k
Exercício 7.2. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a …rma
monopolista consiga diferenciá-los. A curva de demanda agregada dos consumidores do tipo
A é dada por
qA (pA) = 20� pA
e a dos consumidores do tipo B é dada por
qB (pB) = 16� pB
2
:
O custo de produção da …rma monopolista é dado por
c (qA + qB) = 4 (qA + qB) :
(a) Encontre os preços cobrados pelo monopolista quando a prática de discriminação de
preços é permitida. Calcule o excedente agregado dos consumidores neste caso. Isto
é, a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questão
você primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de
consumidores).
(b) Suponha agora que a prática de discriminação de preços seja proibida por lei. Encontre o
preço cobrado pela …rma neste caso. Também neste caso, calcule o excedente agregado
37
dos consumidores (Dica: Para fazer esta questão você terá que derivar a curva de
demanda agregada para este caso. Esta curva terá 3 regiões. Para preços abaixo de
um certo valor, os dois tipos de consumidores consomem. Para preços entre o valor
previamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome.
Para preços acima do valor mais alto citado anteriormente, nenhum consumidor consome.
De posse da curva de demanda agregada, você pode agora derivar a curva de demanda
inversa. Esta também será dividida em regiões. A solução do problema da …rma se
dará na região em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. Portanto,
na hora de resolver o problema da …rma você pode assumir que a curva de demanda
inversa da economia corresponde à parte da curva da demanda inversa em que a …rma
atende aos dois consumidores. Porém, para calcular o excedente dos consumidores você
precisará olhar para a curva de demanda inversa completa, considerando todas as suas
regiões).
Solução.
(a) Conforme a dica, vamos primeiro encontrar as curvas de demanda inversa para os dois
tipos de consumidores. Para tanto, tudo que temos que fazer é isolar p nas suas funções
demanda, o que nos dá as seguintes curvas de demanda inversa:
pA (qA) = 20� qA
e
pB (qB) = 32� 2qB:
O custo marginal de produção do monopolista é constante e igual a 4. Como o
monopolista pode praticar discriminação de preços, suas escolhas ótimas igualarão
a sua receita marginal com cada tipo de consumidor ao seu custo marginal. Ou seja,
resolverão as seguintes equações:
20� 2qA = 4
e
32� 4qB = 4:
Resolvendo as equações acima nós obtemos
qA = 8
e
qB = 7:
As quantidades acima implicam que os preços cobrados pelo monopolista serão pA = 12
e pB = 18. O excedente dos consumidores do tipo A será dado pela área escura da
…gura abaixo.
38 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS
Figura 7.2: Excedente dos consumidores do tipo A.
Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo A é 32. Já o excedente dos consumidores
do tipo B é dado pela área escura da …gura abaixo.
Figura 7.3: Excedente dos consumidores do tipo B.
Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo B é 49. O excedente agregado, então,
é 32 + 49 = 81:
(b) A curva de demanda agregada agora é dada por
q (p) =
8<: 36�
3p
2
, se p � 20;
16� p
2
, se 20 < p � 32;
0, se p > 32:
Tal curva de demanda agregada está associada com a seguinte curva de demanda
inversa:
p (q) =
�
32� 2q, se q � 6;
24� 2
3
q, se q > 6:
39
Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema do monopolista se dará na
região em que este atende aos dois tipos de consumidores. Ou seja, na região em que
a curva de demanda inversa da economia é
p (q) = 24� 2
3
q:
Igualando a receita marginal ao custo marginal nós …camos com a seguinte equação:
24� 4
3
q = 4:
Ou seja, a quantidade produzida pela …rma será q = 15. Isto dá um preço p = 14.
Finalmente, o excedente dos consumidores será dado pela área escura da …gura abaixo:
Figura 7.4: Excedente dos consumidores sem discriminação de preços.
Ou seja, o excedente dos consumidores é A+B + C = 36 + 36 + 27 = 99: k
Exercício 7.3 (Descontos para Estudantes). Suponha que um monopolista venda em um
mercado que tenha dois tipos de consumidores: estudantes e consumidores regulares. A
curva de demanda dos estudantes é dada por
qe = (2� 3pe)
e a dos consumidores regulares é dada por
qr = (1� pr) :
Por simplicidade, suponha que o custo de produção do monopolista é constante e igual a
zero.
(a) Suponha que o mercado seja composto só por estudantes. Que preço o monopolista
cobrará? E se o mercado for composto só por consumidores regulares, que preço o
monopolista cobrará?
40 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS
(b) Suponha agora que uma fração � dos consumidores seja de estudantes e uma fração
(1� �) seja de consumidores regulares. Isto é, o lucro do monopolista assume o
seguinte formato: � = �(lucro obtido com estudantes) + (1� �) (lucro obtido com
consumidores regulares). Suponha, também, que o governo imponha uma lei que obrigue
que o preço cobrado dos estudantes seja sempre igual à metade do preço cobrado dos
consumidores regulares. Assumindo que o monopolista vá sempre tentar atender aos
dois mercados, calcule o preço cobrado dos consumidores regulares (o preço cobrado
dos estudantes será a metade) como função de �. Observe que a fórmula para o preço
encontrada é uma função crescente em relação a �, ou seja, quanto maior é a parcela
da população composta por estudantes, maior é o preço. Explique intuitivamente por
que isto ocorre, utilizando o que você aprendeu na letra (a).
Solução.
(a) Se o mercado for composto só por estudantes, o problema do monopolista pode ser
escrito como
max
pe
(2� 3pe) pe:7.1
A condição de primeira ordem do problema acima nos dá pe = 1=3. Quando o mercado
é composto só por consumidores regulares o problema do monopolista pode ser escrito
como
max
pr
(1� pr) pr
Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que pr = 1=2.
(b) Agora o problema do monopolista pode ser escrito como
max
p
�
�
2� 3p
2
� p
2
+ (1� �) (1� p) p
Da condição de primeira ordem do problema acima nós temos
�
�
1� 3
2
p
�
+ (1� �) [1� 2p] = 0
()
p =
2
4� �:
Como o exercício já havia nos informado, p é uma função crescente de �. Além disto,
nós podemos observar que quando � = 0 e, portanto, só existem consumidores regulares
no mercado, p = 1=2, que é o preço que encontramos na letra (a). Além disto, quando
� = 1 e, portanto, só existem estudantes, p = 2=3, o que nos dá um preço para
7.1Eu estou escrevendo o problema do monopolista como um em que ele escolhe o preço. Alternativamente,
eu poderia ter derivado a curva de demanda inversa e escrito o problema como um em que ele escolhe
a quantidade. As duas abordagens se equivalem, mas como na letra (b) será mais conveniente escrever
o problema como um em que o monopolista escolhe o preço, eu optei por usar a abordagem em que o
monopolista escolhe o preço desde o início.41
estudantes igual a 1=3, que é exatamente o valor que encontramos na letra (a). A
razão pela qual o preço é uma função crescente de � é simples. Quando � é pequeno, o
monopolista se importa mais com as vendas para consumidores regulares e, portanto,
quanto menor �, mais p se aproxima de 1=2. A medida que � aumenta, as vendas para
estudantes passam a ser mais importantes e p=2 se aproxima de 1=3 o que é equivalente
a dizer que p se aproxima de 2=3: k
42 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS
Capítulo 8
Escolha sob Incerteza
Exercício 8.1 (Maximizar a Probabilidade de Obter a Consequência Favorita). Considere
o exemplo de preferência sobre loterias nas notas de aula. Isto é, suponha que o conjunto de
alternativas X tenha uma alternativa x� que é a favorita do agente. Suponha, também, que
dadas duas loterias p e q,
p % q () p (x�) � q (x�) :
Ou seja, o agente sempre busca maximizar a probabilidade de obter a sua consequência
favorita. Mostre que tal relação de preferências satisfaz Independência e a propriedade
Arquimediana (Dica: Não tente mostrar isto diretamente, use o teorema da utilidade esperada).
Solução. Lembre-se que, de acordo com o teorema da utilidade esperada, uma preferência
satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana se e somente se ela tem uma representação
por utilidade esperada. Então, para provarmos que a preferência acima satisfaz as duas
propriedades, tudo o que precisamos fazer é encontrar uma representação por utilidade
esperada que a represente. Mas isto é fácil. Considere a função de Bernoulli u tal que
u (x�) = 1 e u (x) = 0 para todo x 2 X, com x 6= x�. Calculemos agora a utilidade esperada
de uma loteria genérica dada tal função de Bernoulli. Lembre-se que a utilidade esperada
de uma loteria p genérica é dada por
U (p) =
X
x2X
p (x)u (x) :
Mas como para todo x 6= x� u (x) = 0, a expressão acima reduz-se para
U (p) = p (x�) � 1:
Mas, então, para qualquer par de loterias p e q, dizer que p (x�) � q (x�) é exatamente o
mesmo que dizer que X
x2X
p (x)u (x) �
X
x2X
q (x)u (x) .
Ou seja, % tem uma representação por utilidade esperada em que a função de Bernoulli u
é de…nida como acima. Pelo teorema da utilidade esperada, % satisfaz Independência e a
propriedade Arquimediana. k
43
44 CAPÍTULO 8. ESCOLHA SOB INCERTEZA
Exercício 8.2. Suponha agora que estejamos falando de loterias monetárias. Lembre-se que
para uma dada loteria p, nós usamos a notação E [p] para representar o seu valor esperado.
Nós usaremos a notação V ar (p) para representar a variância de uma determinada loteria.
Por exemplo, para loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias do tipo p :=
� (x)� (1� �) (y), o valor esperado e a variância têm a seguinte forma
E [p] = � � x+ (1� �) � y
e
V ar (p) = � (x� E [p])2 + (1� �) (y � E [p])2 :
(a) Calcule os valores esperados e as variâncias das loterias p := 1
3
(2) � 2
3
(1) e q :=
1
4
(8)� 3
4
(4) :
(b) (Dependendo dos seus conhecimentos de probabilidade e estatística este exercício pode
ser um pouco mais difícil, mas eu acho que vocês têm condições de resolvê-lo) Suponha
agora que o agente tenha uma função de utilidade sobre o conjunto de loterias monetárias
dada por
V (p) = E [p]� (E [p])2 � V ar (p) :
Considerando loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias da forma
� (x)� (1� �) (y), mostre que a função de utilidade acima pode ser escrita no formato
de utilidade esperada. Ou seja, mostre que existe uma função u sobre os números reais
tal que para qualquer loteria p := � (x)� (1� �) (y),
V (p) = �u (x) + (1� �)u (y) :
Solução.
(a) Comecemos com a loteria p. Para tal loteria nós temos
E [p] =
1
3
� 2 + 2
3
� 1 = 4
3
e
V ar (p) =
1
3
�
2� 4
3
�2
+
2
3
�
1� 4
3
�2
=
1
3
�
2
3
�2
+
2
3
�
�1
3
�2
=
2
9
:
Já para a loteria q nós temos
E [q] =
1
4
� 8 + 3
4
� 4 = 5
45
e
V ar (q) =
1
4
(8� 5)2 + 3
4
(4� 5)2
=
1
4
(3)2 +
3
4
(�1)2
= 3:
(b) Considere uma loteria genérica p := � (x) � (1� �) (y). Observe que a variância de p
pode ser escrita como
V ar (p) = � (x� E [p])2 + (1� �) (y � E [p])2
= �
�
x2 � 2xE [p] + (E [p])2�+ (1� �) �y2 � 2yE [p] + (E [p])2�
= �x2 + (1� �) y2 � 2E [p] (�x+ (1� �) y) + (E [p])2 ;
em que nós simplesmente reagrupamos os termos na segunda expressão acima. Mas
observe que �x+ (1� �) y é exatamente o valor esperado de p, portanto, a expressão
acima pode ser escrita como
V ar (p) = �x2 + (1� �) y2 � 2 (E [p])2 + (E [p])2
= �x2 + (1� �) y2 � (E [p])2 :
Mas agora nós podemos escrever V (p) como
V (p) = E [p]� (E [p])2 � V ar (p)
= E [p]� (E [p])2 � ��x2 + (1� �) y2 � (E [p])2�
= E [p]� �x2 � (1� �) y2
= �x+ (1� �) y � �x2 � (1� �) y2
= �
�
x� x2�+ (1� �) �y � y2� :
Mas então, tudo que temos a fazer é de…nir u como a função tal que para todo z 2 R,
u (z) = z � z2. k
Exercício 8.3 (Seguro Total). Lembre-se do exemplo nas notas de aula. Isto é, suponha
que tenhamos um agente com riqueza inicial igual a W . Com probabilidade � um evento que
implica em uma perda de D reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade
de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos D reais
ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja simplesmente s.
(a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. Como não sabemos
ainda se o evento que ocasiona a perda dos D reais vai ocorrer, a riqueza futura do
agente é para nós uma variável aleatória, ou, na nossa terminologia, uma loteria.
Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um seguro
de X reais.
46 CAPÍTULO 8. ESCOLHA SOB INCERTEZA
(b) Observe que para cada possível valor de X, a expressão que você encontrou acima
representa uma loteria diferente. Deste modo, o problema de escolher o nível ótimo
de seguro pode ser interpretado como o problema de escolher a melhor loteria dentre
as diversas possíveis acima. Suponha agora que o seguro tenha um preço justo, isto
é, suponha que s = �. Mostre que neste caso o valor esperado das loterias acima é
sempre o mesmo, independentemente do valor X.
(c) Ou seja, quando o seguro tem um preço justo, o problema do agente passa a ser o
de escolher entre várias loterias que têm o mesmo valor esperado. Use este fato
para argumentar que neste caso um agente avesso ao risco sempre vai escolher um
seguro total, ou seja, X = D (Dica: Você não tem que fazer conta. A conclusão vem
diretamente da de…nição de aversão ao risco).
Solução.
(a) Caso o evento não ocorra, a riqueza futura do agente será simplesmente W � sX. Ou
seja, sua riqueza inicial menos quanto ele gastou em seguro. Caso o evento ocorra, sua
riqueza futura será W � sX �D +X. Ou seja, será igual à sua riqueza inicial menos
o que ele gastou em seguro, menos os D reais que ele perde, mais os X reais que ele
ganha da seguradora. Como o evento ocorre com probabilidade �, a riqueza futura do
agente pode ser representada pela loteria
pX := � (W �D + (1� s)X)� (1� �) (W � sX) :
(b) Dado qualquer valor X, o valor esperado da loteria pX é
E [pX ] = � (W �D + (1� s)X) + (1� �) (W � sX) :
Como por hipótese agora s = �, a expressão acima pode ser escrita como
E [pX ] = � (W �D + (1� �)X) + (1� �) (W � �X)
= W � �D + � (1� �)X � � (1� �)X
= W � �D:
Ou seja, o valor esperado de todas as loterias pX é o mesmo, independentemente do
valor X:
(c) Primeiro, observe que se o agente contratar um seguro total, ou seja, quando X = D, a
riqueza futura do agente será igual aW��D, independentemente da ocorrência ou não
do evento que gera a perda dosD reais. Ou seja, contratar um seguro total é equivalente
a escolher a loteria degenerada que paga o prêmio W ��D com probabilidade 1. Mas
a de…nição de aversão ao risco nos diz