AULA02 PARTEIREGRADE3SIMPLESECOMPOSTA

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MATEMÁTICA DO ZERO 
 
Professor LEANDRO MOREIRA 
 
 
 
 1 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá, meus amigos CONCURSEIROS! Sejam 
bem-vindos a nossa aula 02 do curso de 
matemática e raciocínio lógico para Manausprev. 
Hoje estudaremos o assunto de Regra de três 
simples e composta. É receita de bolo. Uma vez 
que você aprende, não esquece mais. Vamos à 
luta!!! 
 
“Tente fazer algo além do que você já domina, caso 
contrário você nunca crescerá”. [Ronald Osbourn] 
 
 
AULA 02 – PARTE I 
 
- NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS; 
- REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA; 
 
 
PROPORCIONALIDADE DIRETA E INVERSA 
 
De início, um esclarecimento: o que é Grandeza? 
 
Grandeza é todo valor que, ao ser relacionado a 
outro, varia quando este outro também sofre 
variação. 
 
Por exemplo, depois do concurso vocês irão 
passear bastante, e espero que viajem para 
Fortaleza (minha terra). 
 
O trajeto entre Fortaleza e Aracati leva, em média, 
2 horas para ser realizado de carro, a uma 
velocidade de 90km/h. Mas, se a velocidade do 
veículo for aumentada, o tempo de viagem 
diminui. 
 
Perceberam a relação entre velocidade e tempo? 
Neste caso, temos duas grandezas relacionadas. 
 
As grandezas podem ser diretamente proporcionais 
e inversamente proporcionais. 
 
Grandezas diretamente proporcionais (DP) são 
aquelas que, quando uma aumenta, a outra 
também aumenta, e quando uma diminui, a outra 
também diminui. 
 
Por exemplo, a quantidade de gasolina colocada no 
tanque de um automóvel é diretamente 
proporcional à distância que o carro pode percorrer 
(quanto mais gasolina, maior a distância). 
 
Já as grandezas inversamente proporcionais 
(IP) são aquelas que, quando uma aumenta, a 
outra diminui, e quando uma diminui, a outra 
aumenta. 
Temos o exemplo que falei acima: quanto maior 
a velocidade, menor o tempo para percorrer um 
trajeto. 
 
Numa fábrica, quanto maior a quantidade de 
trabalhadores, menor a carga de trabalho para 
cada um deles. 
 
Existem infinitas relações de proporcionalidade. 
Veremos algumas durante nossa aula, 
principalmente nas questões. 
 
Para resolver questões com grandezas 
proporcionais (direta ou inversamente), temos 
que aprender a Regra de Três. O princípio é o 
mesmo, só a maneira de calcular muda um 
pouco, para o caso de Grandezas Diretamente e 
Inversamente proporcionais. 
 
 
REGRA DE TRÊS PARA GRANDEZAS 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 
Se colocamos 20 litros de combustível no tanque 
do carro, ele anda 250 kilômetros. E se 
colocarmos 30 litros? 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade de combustível no tanque e distância 
percorrida com o combustível são grandezas 
diretamente proporcionais, como vimos. 
 
Portanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se eu colocar 30 litros, ando quanto? 
Vamos montar a Regra de Três, seguindo o 
esquema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA DO ZERO 
 
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Assim como 
 
 
 
 
 
No nosso caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver a Regra de Três, o passo é 
“multiplicar em cruz”. Vejamos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o nosso caso, fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, colocando 30 litros, ando 375km. 
Vamos ver como funciona o cálculo para as 
Grandezas Inversamente Proporcionais. 
 
 
REGRA DE TRÊS PARA GRANDEZAS 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
No início da aula, falei que, a uma velocidade de 
90km/h, se leva 2 horas para percorrer a 
distância entre Fortaleza e Aracati. E se fizermos 
uma velocidade de 100km/h? Existe uma relação 
entre velocidade e tempo: 
 
 
 
 
 
 
No entanto, a relação entre elas é inversamente 
proporcional: quando uma aumenta, a outra 
diminui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Regra de Três correspondente a uma relação 
de grandezas inversamente proporcionais é 
chamada Regra de Três Inversa. Ela é 
calculada da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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No exemplo, temos que, viajando-se a 90km/h, 
percorre-se a distância entre Fortaleza e Aracati 
em 2 horas. Para saber em quanto tempo se chega 
viajando-se a 100km/h: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
O trajeto é completado em 1,8 horas. Para saber o 
quanto 0,8 hora representa em minutos, podemos 
até fazer outra regra de três, pois 1 hora possui 60 
minutos. Quanto mais horas, mais minutos: 
 
1 hora -------- 60minutos 
0,8 hora ----- x minutos 
 
Multiplicando em cruz: 
 
x = 0,8.60 = 48 minutos. 
 
Portanto, com o aumento da velocidade, o tempo 
de trajeto entre Fortaleza e Aracati diminui 12 
minutos (passou de 2 horas para 1 hora e 48 
minutos). 
 
Passamos agora para uma variação da Regra de 
Três Simples. É a Regra de Três Composta: 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra de três composta é utilizada no caso de 
termos mais de 2 grandezas interligadas. 
 
Por exemplo: em uma mecânica com 10 
funcionários, a folha de pagamento é de 15000 
reais, e o salário é proporcional também à 
quantidade de carros consertados por mecânico, 
que é de 3 carros por dia. 
O dono da mecânica quer aumentar o 
faturamento da oficina. Quer que a quantidade 
de carros consertados por mecânico seja de 4 
carros. E quer contratar 5 mecânicos. 
 
A folha de pagamento, nesse caso, passa a ser 
de quanto? 
 
Existe uma relação entre essas três grandezas: 
quanto maior o número de entregados e maior a 
quantidade de carros consertados por 
empregado, maior a folha de pagamento. 
 
Em sumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para descobrir o valor da Folha, fazemos a Regra 
de Três Composta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Regra de Três Composta, é importante 
atentar para as grandezas inversamente 
proporcionais. Assim como na Regra de Três 
Inversa, este tipo de grandeza deve ser dividido 
por um. 
 
Outro aspecto importante da Regra de Três 
Composta é que não há “multiplicação em cruz”. 
Então, essa Regra segue o que chamo de 
“Esquema do Grude”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, no exemplo da mecânica, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a folha dobrou, passou para 30.000 
reais. Se a folha dependesse apenas da quantidade 
de funcionários (que variou de 10 para 15), não 
teria dobrado. 
 
RESUMINDO 
 
Siga a “receita de bolo” 
 
1. Construa umatabela com as grandezas e 
valores conhecidos, atribuindo o valor “x” à 
variável desconhecida. 
 
2. Verifique se as grandezas são inversamente 
proporcionais. Se inversamente, inverta as 
posições na tabela. 
 
3. Aplique o método do grude, para casos de regra 
de três composta. 
 
4. Faça as devidas simplificações (regra de 3 
composta); 
 
5. Por fim, multiplique “cruzado” e encontre o valor 
de “x”. 
 
PRATICANDO 
 
 
01. (FCC/CEF) Uma pessoa x pode realizar uma certa 
tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais 
eficiente que x. Nessas condições, o número de 
horas necessárias para que y realize essa tarefa é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
SOLUÇÃO 
 
Digamos que a eficiência de x tenha valor 
numérico igual a 100. Portanto, a eficiência 
de y será 150. 
 
 
 
 
 
Observe que, porque y é mais eficiente do que 
x, gastará menos horas do que x. Portanto, as 
grandezas são inversamente proporcionais. 
Portanto, as setas ficam em sentidos contrários. 
 
 
 
 
 
 
 
Na montagem da proporção, devemos inverter a 
coluna da eficiência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Letra E 
 
 
02. (FCC/PREF-SALVADOR) Um certo número de 
guardas municipais foram encaminhados, em 
Salvador, para ações comunitárias de proteção às 
crianças. No ano anterior, para as mesmas ações, 
participaram 24 guardas, durante 6 dias, 
trabalhando 8 horas por dia. Sabendo que, neste 
ano, os guardas trabalharão durante 8 dias, 4 
horas por dia, quantos guardas serão necessários 
para a execução das mesmas tarefas? 
 
a) 12 
b) 16 
c) 24 
d) 36 
e) 64 
 
SOLUÇÃO 
 
Vamos montar uma tabela para relacionar 
as grandezas envolvidas. 
 
 
 
 
 
A coluna dos dias pode ser simplificada por 
2 e a coluna das “horas por dia” pode ser 
simplificada por 4. 
 
MATEMÁTICA DO ZERO 
 
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Agora, pergunte para você mesmo(a): Se 
aumentarmos a quantidade de guardas, cada um 
deles trabalhará mais ou menos dias? Menos 
dias. Logo, “Guardas” e “Dias” são inversamente 
proporcionais (seta em sentido contrário). 
 
E se aumentarmos a quantidade de “guardas”, 
cada um deles trabalhará mais ou menos horas? 
Menos horas. Portanto, “Guardas” e “horas por 
dia” também são inversamente proporcionais 
(seta em sentido contrário). 
 
Daí, 
 
 Guardas Dias Horas por dia 
 
 24 3 2 
 
 X 4 1 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
4.x = 24.6 4x = 144 x = 36 
 
Resposta: Letra D 
 
 
03. (FCC/DNOCS) Suponha que 8 máquinas de 
terraplanagem, todas com a mesma capacidade 
operacional, sejam capazes de nivelar uma 
superfície de 8.000 metros quadrados em 8 dias, 
se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. 
Nas mesmas condições, quantos metros quadrados 
poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, 
em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de 
funcionamento ininterrupto? 
 
a) 16.000 b) 20.000 c) 64.000 
 
d) 78.000 e) 84.000 
 
04. (FCC/2011) Os 20 tripulantes de um navio 
consumiram, nas refeições, 24 kg de feijão durante 
uma viagem de 15 dias. Se os tripulantes fossem 
apenas 15 e se a dispensa tivesse 30 kg de feijão, 
essa quantidade seria consumida em: 
 
a) 20 dias b) 25 dias c) 35 dias 
 
d) 40 dias e) 30 dias 
 
05. (FCC/MPE-AP) Em um escritório, três digitadores 
de produtividade idêntica realizam a tarefa de 
digitar 2400 páginas em 20 dias. Para realizar uma 
tarefa de digitação de 6000 páginas em 15 dias, o 
número mínimo de digitadores que devem ser 
incorporados à equipe, com a mesma 
produtividade dos três primeiros é: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
06. (FCC/ANALISTA-ADM/2013) Para arrumar 120 
salas, 2 pessoas gastam 5 dias. Se for preciso 
que as salas sejam arrumadas em um único dia, 
será necessário contratar mais n pessoas que 
trabalhem no mesmo ritmo das duas iniciais. O 
valor de n é: 
 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
 
07. (FCC/2010) Uma pilha de 50 jornais iguais, com 
30 páginas cada um, pesa 7,5 kg. Quantos 
quilogramas pesaria uma pilha de 100 jornais, 
com 20 páginas cada um? 
 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8 
 
08. (FCC/2009) Desenvolvendo uma velocidade 
média de 18km por hora, um pedestre correu 
durante 1h 20min. Se tivesse desenvolvido a 
velocidade média de 15km por hora, teria feito o 
mesmo percurso em quanto tempo? 
 
a) 1h 16min 
b) 1h 26min 
c) 1h 36min 
d) 1h 46min 
e) 1h 30min 
 
09. (FCC/BB) Pesquisadores descobriram que o uso 
do fundo preto nas páginas de busca da internet 
produz um consumo menor de energia em 
relação à tela branca. Se todas as buscas fossem 
feitas com tela preta, a economia total em um 
tempo médio de 10 segundos seria equivalente à 
energia gasta por 77 milhões de geladeiras 
ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas 
condições, a economia total em um tempo médio 
de buscas de 30 minutos seria equivalente à 
energia gasta por essas geladeiras ligadas 
initerruptamente durante: 
 
a) 2 dias e meio b) 3 dias c) 5 dias 
 
d) 7 dias e meio e) 8 dias 
 
10. (FCC/SERGÁS/2013) Em uma fábrica, 20 
operários são escalados para produzir 10.000 
unidades de uma determinada peça em 108 dias, 
trabalhando 4 horas por dia. Verificou-se que, 
após 60 dias, apenas 40% das peças foram 
produzidas. Para concluir a produção das 10.000 
unidades no prazo previamente estabelecido, 
optou-se, a partir do 61º dia, por aumentar o 
número de horas trabalhadas por dia e a contar 
com 25 operários em vez de 20. Considerando 
que todos estes operários trabalham com 
desempenhos iguais e constantes, tem-se que o 
número de horas trabalhadas por dia, a partir do 
61º dia, é igual a: 
 
a) 7,0 b) 8,0 c) 7,5 d) 9,0 e) 6,0