Exercícios - Extremos de Funções

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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba 
 
 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 Professores: Onildo Freire 
 
Lista de Exercícios – Extremos de Funções 
 
1. Encontre, caso existam, os extremos locais e os pontos de sela das funções abaixo: 
 
a) 
yxyxyxf 632),( 64 
 
 
b) 
222 )2643(),(  yxyxyxf
 
 
c) 
yxyyxxyxf 8
2
1
2
2
1
),( 22 
 
 
d) 
1262),( 22  yyxxyxf
 
 
e) 
yyyxxyxf 12
2
1
3
1
),( 23 
 
 
f) 
xyyxyxyxf 623),( 22 
 
 
g) 
yxyxyxf 4
2
3
3
1
3
1
),( 233 
 
h) 
33 3),( yxyxyxf 
 
 
i) 
23 94
3
1
),( yxxyxyxf 
 
 
j) 
yxyxyxf 1232),( 34 
 
 
l) 
ysenxyxf ),(
 
 
m) 
234 42
2
1
),( yxyxxyxf 
 
 
n) 
yx
xyxy
yxf
84
),(
22 

 R: 
 33 22,2
 é ponto crítico 
 
o) 
yx
x
yxf

),(
 
 
p) 
22 3412),( yxyxyxyxf 
 
 
q) 
4326
2
1
3
2
3
1
),( 233  yxxyxyxf
 
 
r) 
yeyxf x cos),( 2 
 
 
s) 
yx
yx
yxf 
24
),(
 
 
2. Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume igual a 12 metros 
cúbicos. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de 400 reais para o fundo, 300 
reais para os lados opostos, e 200 reais para os lados opostos restantes. Determine as 
dimensões do depósito que minimizem o custo. 
 
R: Os lados maiores devem ser construídos com o material de 200 reais e os lados menores 
com o material de 300 reais o metro quadrado. 
 
3. A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 
min/6 3cm
. Ao vazar, a 
areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à 
razão de 
min/4 cm
. Se, no instante em que já vazaram 
340 cm
, o raio é de 
cm5
, determine a 
taxa de aumento da altura da pilha. 
 
DICA: 
hrV  2
3
1 
 
 
4. Uma caixa retangular tem um volume de 20 metros cúbicos. O material usado nos lados 
custa um real por metro quadrado, o material usado no fundo custa dois reais por metro 
quadrado e o usado na parte superior custa três reais por metro quadrado. Quais as dimensões 
da caixa mais barata? 
 
5. Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 
364 cm
 de volume. Se 
o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para que a tampa e para o 
fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizem o custo. 
 
6. Ache três números reais positivos cujo produto seja 1.000 e cuja soma seja máxima. 
 
7. Num dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é de 10cm e ele 
está crescendo a uma taxa de 
min/2 cm
 e o comprimento do outro cateto é de 12cm o qual 
está decrescendo a uma taxa de 
min/5 cm
. Encontre a taxa de variação da medida do ângulo 
agudo oposto ao lado de 12cm de comprimento, num dado instante. 
 
8. Encontre, caso existam, os pontos críticos da função 
 
)(22 22)3(),( yxeyxyxf 
 
 
Resposta: 
)0,0(1P
 , 
)1,0(2 P
 , 
)1,0(3P
 , 
)0,1(4P
 e 
)0,1(5 P
 
 
9. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam á razão de 0,01 cm/mim e 
0,02 cm/min, respectivamente. 
 
a) Ache a taxa de variação de volume quando 
4r
cm e 
7h
cm. 
R: 
min/88,0 3cm
dt
dV 
 
 
b) A que taxa a área da superfície curva está variando nesse instante? 
R: 
min/48,0 3cm
dt
dA 
 
 
10. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em 
certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce 
à razão de 2 ohms/min. Use a Lei de Ohm, 
RVI 
, e uma Regra da Cadeia para achar a 
taxa à qual a corrente I (em ampères) varia. R: 
min/
40
9
amp
dt
dI

 
 
11. A pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado estão relacionados pela 
lei dos gases ideais 
TkVP 
 , onde k é uma constante. Se P e V variam às taxas de 
dtdP
e 
dtdV
, respectivamente, ache uma fórmula para 
dtdT
. 
 
 
 Sabe o que é perfeição? 
 
 - É a prática constante.