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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba Disciplina: Calculo III Professores: Onildo Freire 1ª Lista de Exercícios – Unidade I – Integrais Duplas 1. Calcule as integrais abaixo: a) 2 1 2 1 32 )812( dxdyxyx 36: R b) 2 1 1 2 x x dxdyyx 120 163 :R c) 2 0 2 2 )4( y y dydxyx 5 36 :R d) 60 2 0 )coscos( dxdyxyyx 144 7 : 2 R e) 1 0 1 1 22 )( y y dydxyx 3 5 :R 2. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações abaixo e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas. a) 24 xxy e yx . .. 6 125 auA R b) 23 xy e 24 xy . .. 3 16 auA R c) 62 xy e 032 xy . .. 3 32 auA R d) 1 yx , 177 yx e 32 yx . ..15 auA R e) 2 2x y e 4 xy . ..18 auA R f) 6 xy , 03 xy e 02 xy . ..22 auA R g) xy , 4 yx e 3 y x . ..2 auA R h) 3xy e xy . .. 2 1 auA R i) 2yx , 2 xy , 2y e 3y . .. 6 115 auA R j) xy 2 , 2xy e acima de 3 xy . .. 12 49 auA R l) 3yx , 2 yx e 0y . .. 4 5 auA R m) xseny e o eixo x com 0x até 2x . ..4 auA R 3. Reverta a ordem de integração das integrais abaixo e, em seguida, calcule o valor da integral resultante. a) 2 0 1 2 2 y x dydxe 1: eR b) 1 0 1 2 2 x y dxdyex )1( 4 1 : 1 eR c) 1 0 1 3 )( y dydxxsen )1cos1( 3 1 : R d) 2 0 2 24 )(cos x dxdyyxy )8cos1( 3 1 : R e) 1 0 x x y x dxdye 1 2 : e R 4. Encontre o volume da superfície cuja base é o triângulo contido no plano xy , limitado pelo eixo x e pelas retas xy 2 e 3x cujo topo está no plano 29),( xyxfz . Resposta: ..18 vu 5. Encontre o volume da superfície cuja base é o triângulo contido no plano xy , limitado pelo eixo x e pelas retas xy e x cujo topo está no plano x xsen yxf ),( . Resposta: ..2 vu 6. Reverta a ordem de integração das integrais resultantes abaixo: a) 1 0 1 2 x x dxdy 2 1 2 1 1 0 2 0 : y y y dydxdydxR b) 3 0 9 2x dxdy 9 0 0 : y dydxR c) 2 0 4 0 2x dxdy 4 0 4 0 : y dydxR d) 1 0 2 2x x dxdy 2 1 2 0 1 0 0 2 : yy dydxdydxR e) 9 0 y y dydx 3 3 9 2 : x dxdyR f) 1 1 2 2 2 x x dxdy 2 1 2 2 1 0 2 2 : y y y y dydxdydxR g) 1 1 2 3 x x dxdy 3 1 3 2 1 3 3 1 : y y y dydxdydxR 7. Seja R a região delimitada pelos gráficos das curvas 2xy e xy 2 . Calcule R dAyx )4( 3 de duas maneiras diferentes. Resposta: .. 3 32 vu 8. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações 42 yz , zx 4 0x e 63 zy , e expresse seu volume através de uma ou mais integrais múltiplas. 2 5 4 63 4 0 2 : y y z dydzdxR
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