1327291 1º Simulado Cálculo III 1º sem 2018

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
1o Simulado de Ca´lculo III - 1oSem/2018
Engenharia Mecaˆnica
Questa˜o 1. Em uma cidade a prefeitura liberou uma verba destinada a construc¸a˜o de uma prac¸a
na regia˜o central com o objetivo de atrair turistas e promover melhorias no come´rcio local. Dados
te´cnicos do projeto arquitetoˆnico informou que a prac¸a devera´ ter formato oval onde havera´ um
calc¸amento nas laterais e um gramado em formato de um quadrado ao centro. O engenheiro
responsa´vel verifica que dadas as medidas do terreno e a base orc¸amenta´ria o projeto da prac¸a
sera´ dado por uma elipse de
20
3
m de eixo maior e com distaˆncia focal de
5
√
7
3
m e o quadrado
onde sera´ constru´ıdo o gramado devera´ estar inscrito na elipse e ter seus lados paralelos aos eixos
da elipse.
a) Construa o projeto da prac¸a, ou seja fac¸a um esboc¸o dos entres geome´tricos presentes nesse
projeto em um sistema de coordenadas indicando suas medidas
b) Determine a equac¸a˜o geral da elipse no sistema de coordenadas criado no ı´tem a
c) Calcule a a´rea do quadrado inscrito na elipse onde devera´ conter o gramado especificado no
projeto.
Questa˜o 2. O eixo de simetria em uma para´bola e´ o segmento que separa este lugar geome´trico
em partes iguais. Sabemos que o eixo de simetria passa pelo foco e ve´rtice da para´bola. Seja P a
para´bola de equac¸a˜o:
x2 + y2 − 14
√
2x− 10
√
2y − 22− 2xy = 0.
Determine a equac¸a˜o geral da reta cartesiana que passa pelo ve´rtice e pelo foco de P.
Questa˜o 3. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a famı´lia de circun-
fereˆncias que passam pelo ponto
(
2,−1
2
)
e que sa˜o tangenciadas pela reta y = −3
2
. Determine
a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos centros dessas circunfereˆncias.
Questa˜o 4.
a) Defina a hipe´rbole como lugar geome´trico.
b) Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos ve´rtice sa˜o os pontos V1(1,−2) e V2(5,−2) e F (6, 2)
um de seus focos.
c) Use o me´todo de completar quadrado para determinar a equac¸a˜o reduzida da seguinte
hipe´rbole:
7x2 − 9y2 + 28x+ 54y − 116 = 0,
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico indicando o centro, os focos, os ve´rtices e a excentricidade.
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1o Simulado de Ca´lculo III - 1oSem/2018
Engenharia Mecaˆnica
Questa˜o 5. Seja C a circunfereˆncia x2 + y2 − 2x − 6y + 5 = 0. Considerem em C a corda AB
cujo ponto me´dio e´ M = (2, 2). Calcule o comprimento de AB (em unidades de comprimento)
Questa˜o 6. Um sate´lite de o´rbita el´ıptica e excentricidade e =
1
3
, viaja ao redor de um planeta
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distaˆncia mais pro´xima do sate´lite ao planeta e´
de 300 km, CALCULE a maior distaˆncia do sate´lite ao planta.
Questa˜o 7. Dadas a reta (r)y = −1
3
x e a para´bola (λ)y = x2 − x− 2, obtenha a reta tangente a`
(λ) que e´ perpendicular a (r).
Questa˜o 8. Considere a coˆnica
5x2 + 6xy + 5y2 − 8 = 0,
a) Escreva-a no sistema uv sem o termo misto xy
b) Obtenha o seu aˆngulo de rotac¸a˜o
c) Identifique-a
d) Fac¸a um esboc¸o da coˆnica dada.
Questa˜o 9. Observe a figura
 
Nela, o arco DC e´ parabo´lico e o segmento AB, contido na diretriz da para´bola, esta´ dividido em
8 partes iguais. Sabendo que d = 10m, AD = BC = 50m e AB = 80m, DETERMINE a medida
de h1 e h2.
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1o Simulado de Ca´lculo III - 1oSem/2018
Engenharia Mecaˆnica
Questa˜o 10. Identifique as coˆnicas atrave´s da seguinte legenda:
(R) Par de Retas
(H) Hipe´rbole
(E) Elipse
(Pa) Para´bola
(C) Circunfereˆncia
(Pt) Um ponto
(∅) Vazio
Justifique suas marcac¸o˜es.
a) ( ) y2 − 10y − 8x+ 17 = 0
b) ( ) 4x2 + 9y2 − 32x− 36y + 64 = 0
c) ( ) 25x2 + 250x− 16y2 + 32y + 209 = 0
d) ( ) x2 + y2 − 2x− 6y + 10 = 0
e) ( ) x2 − 10x+ y2 − 16y + 92 = 0
Questa˜o 11. O parabolo´ide z = 6 − x − x2 − 2y2 intercepta o plano x = 1 em uma para´bola.
Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a essa para´bola no ponto (1, 2,−4)
Questa˜o 12. A voltagem V em um circuito ele´trico simples decresce lentamente a` medida que a
pilha se descarrega. A resisteˆncia R aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use
a lei de Ohm,
V = IR,
para determinar como a corrente I esta´ variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A,
dV
dt
= −0, 01V/s e dR
dt
= 0, 03Ω/s.
Questa˜o 13. Mostre que todo plano tangente ao cone x2 + y2 = z2 passa pela origem.
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1o Simulado de Ca´lculo III - 1oSem/2018
Engenharia Mecaˆnica
Questa˜o 14. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva formada plea inter-
secc¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y2 com o elipso´ide 4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2)
Questa˜o 15. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2
no conjunto D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}
Questa˜o 16. Determine o volume ma´ximo de uma caixa retangular que esta´ inscrita em uma
esfera de raio R
Questa˜o 17. Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cil´ındrica de 10
cm de altura e 4 cm de diaˆmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de
espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 cm
Questa˜o 18. Sejam f(u, v) e g(x, y) func¸o˜es de duas varia´veis que admitem derivadas parciais
de primeira ordem. Se
g(x, y) = f
(√
x3 + ln(y) + 1, cosx+
√
y2 + 3
)
e ale´m disso
∂f
∂u
(1, 3) = 6 e
∂f
∂v
(1, 3) = 2, determine a equac¸a˜o do plano tangente a superf´ıcie
z = g(x, y) no ponto (0, 1, 10).
Questa˜o 19. A temperatura T (x, y, z) em uma bola de metal e´ inversamente proporcional a`
distaˆncia do centro da bola, que tomamos como a origem em R3. A temperatura no ponto (1, 2, 2)
e´ de 120oC.
a) Calcule o valor da constante de proporcionalidade.
b) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1, 2, 2) na direc¸a˜o do ponto (2, 1, 3)
c) Partindo do ponto (1, 2, 2) determine um vetor que indique a direc¸a˜o de maior crescimento da
temperatura da bola.
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1o Simulado de Geometria Anal´ıtica - 2oSem/2016
Engenharia Mecaˆnica
Questa˜o 20. Considere a func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2. E seja C a curva
de intersec¸a˜o do grafico de z = f(x, y) com o plano y = 2
a) Determine do domı´nio de f(x, y)
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C no ponto (1, 2,
√
11)
Questa˜o 21.
Metalurgia
A indu´stria metalu´rgica ba´sica compreende cinco grupos de atividades: produc¸a˜o de ferro gusa
e de ferroligas; siderurgia; fabricac¸a˜o de tubos, exceto em sideru´rgicas; metalurgia de metais na˜o
ferrosos e fundic¸a˜o.
No Estado de Sa˜o Paulo, nota-se a predominaˆncia das empresas ligadas a` metalurgia de metais
na˜o ferrosos, que respondem por 65,01% do produto dessa atividade, segmento consideravelmente
mais forte que a fabricac¸a˜o de produtos sideru´rgicos (19,2%), e a fabricac¸a˜o de tubos (15,8%).
No que se refere ao come´rcio exterior, estudo feito recentemente pela International Trade Com-
mission comprova que o baixo prec¸o do ac¸o brasileiro e´ um fator de competitividade. O Brasil
pode ser considerado o pa´ıs com menor custo me´dio de produc¸a˜o de ac¸o no mundo, de acordo
com dados comparativos da Companhia Sideru´rgica Nacional (CSN). O fato e´ justificado pela
abundaˆncia de mine´rio de ferro no pa´ıs. Ale´m disso, a ma˜o de obra esta´ entre as mais baratas do
mundo. O ac¸o e´ produzido, basicamente, a partir de mine´rio de ferro, carva˜o e cal. A fabricac¸a˜o
do ac¸o pode ser dividida em quatro etapas: preparac¸a˜o da carga, reduc¸a˜o, refino e laminac¸a˜o.
As sideru´rgicas nacionais tambe´m teˆm poder sobre um dos principais componentes do prec¸o do
mine´rio de ferro, que e´ o frete ferrovia´rio.Muitas empresas teˆm participac¸a˜o nas ferrovias, o
que barateia o escoamento do produto. A pesquisa revelou tambe´m que as empresas brasileiras,
por conta dos pesados investimentos em tecnologia, teˆm condic¸o˜es de concorrer com as empresas
norte-americanas. Uma Certa indu´stria produz dois tipos de ligas meta´licas:
• Dc54d + Z chapa de ac¸o galvanizado
• Liga de chapa de ac¸o carbono
O custo total da produc¸a˜o dessas ligas e´ expresso pela func¸a˜o C(x, y) = x2 + 100x + y2 − xy e a
receita total obtida com a vendas dessas ligas e´ dada pela func¸a˜o R(x, y) = 100x−x2+2000y+xy
onde x e y representam a quantidade medida em toneladas da chapa de ac¸o galvanizado e da
chapa de ac¸o carbono respectivamente.
a) Escreva a func¸a˜o lucro
b) Determine o n´ıvel de produc¸a˜o que maximiza o lucro dessa indu´stria.
c) Determine o valor em do´lares do lucro ma´ximo dessa produc¸a˜o.