ATPS MATEMATICA

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Etapa 1
CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de funções é um dos mais importantes em Matemática, e seu conhecimento impulsionou o desenvolvimento tecnológico em quase todas as áreas. As funções permeiam nossa vida cotidiana mesmo que não tenhamos consciência disso. Por exemplo, o valor da conta de luz depende da quantidade de energia gasta, a dose de remédio que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor para fazer cópias de um material depende do número de páginas copiadas. Usando funções, também se estudam o crescimento de bactérias, o movimento dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função nos permite, enfim, descrever e analisar relações de dependência entre quantidades.
A função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado um e somente um valor para y. A relação é expressa por y=f(x), onde o conjunto de valores de x é dito domínio da função, e as variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente.
A relação entre as variáveis x e y tem uma representação, de grande apelo visual, que evidencia propriedades da função. Evidencia, por exemplo, se as variáveis estão em relação crescente (se o aumento de x corresponde ao aumento de y) ou se a variação de y é maior ou menor que a variação de x. A representação desta função é chamada de Gráfico da Função.
CONCEITO DE GRÁFICO DA FUNÇÃO
Dada uma função y=f(x) consideramos no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos (x, y) este conjunto é denominado gráfico da função f.
A linguagem gráfica permite entender melhor diversos fenômenos da natureza e está cada vez mais presente no nosso dia-a-dia, nas informações veiculadas pelos meios de comunicação (revistas, jornais, televisão etc.) ou nas formas de arte e diversão (como os jogos de computadores e os efeitos especiais para a arte cinematográfica). A própria paisagem urbana está cada vez mais influenciada pela linguagem gráfica, e a matemática aparece aos olhos de quem observa as regularidades das construções arquitetônicas e a decoração dos ambientes.
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Para que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos Reais para os Reais, definida pela fórmula f(x) =ax+b, sendo que A deve pertencer ao conjunto dos Reais menos o zero e que B deve pertencer ao conjunto dos Reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R definida por f(x) = ax+b, com a Є R* e b Є R.
Alguns exemplos de função afim.
f(x) = 2x + 1; a= 2 e b= 1
f(x) = -5x - 1; a= -5 e b= -1
f(x) = -1/2x + 5; a= -1/2 e b= 5
Toda função do 1º grau também terá domínio e contradomínio.
A função 1º grau f(x)= 2x -3 pode ser representada por y= 2x -3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x =-2; -1; 0; 1. Assim temos para cada valor de x um valor para y.
x = -2
y = 2. (-2) – 3
y = 7
x = -1
y = 2. (-1) – 3
y = 5
x = 0
y = 2. (0) – 3
y = -3
x = 1
y = 2. (1) – 3
y = -1
Exercícios
Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado insumo descrito por C(q) = 3q+60. Com base nisso:
Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.
C(0) = 3.0+ 60=0+60=60
C(5) = 3.5+60=15+60= 75
C(10) =3.10+60=30+60= 90
C(15) = 3.15+60=45+60=105
C(20) =3.20+60=60+60=120
Esboçar o gráfico da função
Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q=0?
R: O significado do valor de C= 60 quando q=0 é custo que independe da produção, também chamado de custo fixo.
A função é crescente ou decrescente? Justificar.
R: Essa função é crescente porque quanto maior a produção (q), maior é o custo (C).
A função é limitada superiormente? Justificar.
R: A função não é limitada superiormente porque, se continuar aumentando a produção (q), o custo também irá aumentar.
Etapa 2
FUNÇÃO DO 2º GRAU
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e A diferente de 0.
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas á Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
Também teremos que determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara: 
Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada à função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ. 
1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes. 
2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz. 
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais. 
Soma e produto das raízes 
Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que: 
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por  e o produto das raízes por  . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos: 
Soma das raízes
Produto das Raízes
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:
Após a simplificação, temos:
Exercícios
O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E=t²-8 t+210, onde o consumo E é dado em KWh, e o tempo associa-se t=0 para janeiro, t=1 para fevereiro, e assim sucessivamente.
Determinar o(s) mês (es) em que o consumo foi de 195KWh.
R: Foram os meses de Abril e Junho. (*Dados em Vermelho na Tabela).
	Mês
	T
	Consumo kWh
	E=t²-8 t+210
	Janeiro
	0
	210
	E=0-8.0+210= 210
	Fevereiro
	1
	203
	E=1-8.1+210=1-8+210=-7+210=203
	Março
	2
	198
	E=2²-8.2+210=4+16+210=-12+210=198
	Abril
	3
	195
	E=3²-8.3+210=9-24+120=-15+120=195
	Maio
	4
	194
	E=4²-8.4+210=16-32+210=-16+210=194
	Junho
	5
	195
	E=5²-8.5+210=25-40+210=-15+210=195
	Julho
	6
	198
	E=6²-8.6+210=36-48+210=-12+210=198
	Agosto
	7
	203
	E=7²-8.7+210=49-56+210=-7+210=203
	Setembro
	8
	210
	E=8²-8.8+210=64-64+210=210
	Outubro
	9
	219
	E=9²-8.9+210=81-72+210=219
	Novembro
	10
	230
	E=10²-8.10+210=100-80+210=230
	Dezembro
	11
	243
	E=11²-8.11+210=121-88+210=243
Determinar o consumo médio para o primeiro ano.
R: O consumo médio foi de 208,17 kWh.
Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.
Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?
R: Foi o mês de Dezembro com o consumo de 243 kWh.
Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?
R: Foi o mês de Maio com o consumo de 194 kWh.
(*Dados das questões
d, e em lilás na Tabela).
Etapa 3
Função exponencial
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando às regras envolvendo potenciação quando necessário.
Exercícios
Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) =250. (0,6)t, onde Q representa a quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:
A quantidade inicial administrada.
Q(t) = 250. (0,6)t
Q(0) = 250. (0,6)º
Q(0) = 250.1
Q (0) = 250 mg
A taxa de decaimento diária.
R: Não tem cálculo o decaimento diário é 0,6 ou 60% por dia.
A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.
 Q(t) = 250. (0,6)t
    Q(3) = 250. (0,6)³
     Q(3) = 250.0,216
    Q(3) = 54 mg
O tempo necessário para que seja completamente eliminado.
Ele nunca vai ser totalmente eliminado, pois como na função exponencial o Y nunca vai ser zero (0), no caso o Q(t) vai ser sempre Q.
Etapa 4
Conceito de Derivadas 
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é de grande importância na vida diária, todos desenvolveram uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.
Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma ou outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.
O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de ``A seta'', pode-se enunciar da seguinte forma: ``Uma seta movendo-se, a cada instante está `em repouso' ou `não em repouso' (isto é, `em movimento'). Se o instante é indivisível, a seta não pode se mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante seria imediatamente dividido. Mas tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se mover em nenhum instante, ela não pode se mover em nenhum tempo. Então ela sempre permanece em repouso. '' Ou seja, não existe o movimento da seta.
O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T. Bell ``Men of Mathematics'', Dover, N. York (1937), por exemplo.
Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido, pode ser refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os disponíveis naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade instantânea.
Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada de um arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade média v, definida por
v= [s(t2) - s(t1)] / (t2 - t1).
Assim, a velocidade média envolve o lapso de certo tempo e as posições do ponto no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma grandeza que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?
A ideia é tomar velocidades médias
vt = [s(t) - s(t0)]/(t - t0),
em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como
ou seja:
Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p= (a, b), b=f(a), onde f é uma função definida numa vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, b) e por (x, y) de G(f). Logo deslizamos (x, y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto (a, b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para um reto limite. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a, b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a, b).
É instrutivo imaginar um caso em que não existe essa tal reta limite. Pense, por exemplo, na função:
tomando (a, b) = (0,0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x, y) do gráfico dessa função e imagine oque acontece com as retas secantes por (a, b) e (x, y), quando (x, y) desliza sobre o gráfico, tendendo a (a, b). Não existe reta limite.
As Figuras representam dois casos de funções em que existe a reta tangente ao gráfico. Repare que o caso não está muito de acordo com nossa intuição, digamos mais primitiva, pois a reta tangente cruza a curva no ponto de tangência.
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de funções como as lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito particulares e simples. Por este motivo, temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
1. Derivada de uma função constante
Seja f: R R definida por f(x)=c. A sua derivada em um ponto x qualquer do seu domínio é dada por:
f '(x)=0
O significado geométrico deste resultado é que, o gráfico da função f(x)=c é sempre paralelo ao eixo dos x e a declividade da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto do domínio de f é sempre zero.
2. Derivada da função Potência
Se n é um número natural e f(x) =xn, então:
f '(x) = n xn-1
Na verdade esta função potência pode ser definida de uma forma muito mais ampla, pois esta regra é válida também quando consideramos o número n inteiro, racional ou até mesmo um irracional, isto é, para qualquer n real. Assim, se r é um número real e f(x) =xr, então:
f '(x) = r xr-1
3. Derivada da função Exponencial
Se f é uma função real definida por f(x) =exp(x) =ex, onde e=2,71828... (número de Euler), então:
f '(x) = ex
Como a derivada da função exponencial é ela própria, esta função tem um papel de fundamental importância no estudo de Equações Diferenciais.
4. Derivada da soma de duas funções
Se f e g são funções deriváveis sobre R, então a função h=f+g, definida por: h(x) = f(x) + g(x), possui derivada dada por:
h'(x) = f '(x) + g'(x) 
Este resultado pode ser estendido a uma soma finita de funções, isto é, se h(x)=h1(x)+h2(x)+...+hn(x), então:
h'(x)=h'1(x)+h'2(x)+...+h'n(x)
isto é, a derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma de suas derivadas.
5. Derivada do produto de uma constante por uma função
Se f é uma função derivável, c é uma constante e g=c.f é a função definida por g(x)=c. f(x), então:
g '(x) = c.f '(x)
6. Derivada do produto de funções
Se f e g são funções deriváveis e h=f.g é definida por: h(x) =f(x). g(x), então
h'(x) = f '(x). g(x) + f(x). g '(x) 
Podemos estender este fato a um produto finito de funções reais, como por exemplo z(x)=f(x).g(x).h(x). Assim:
z'(x) = f '(x).g(x).h(x) + f(x).g '(x).h(x) + f(x).g(x).h '(x)
7. Derivada do quociente de duas funções
Se f e g são funções deriváveis e se h=f/g é a função definida por h(x) =f(x) /g(x) quando g(x) é diferente de zero, então:
A ordem das derivadas das funções f e g não podem ser alteradas.
Regra da cadeia
As regras estabelecidas até aqui nos habilitaram a derivar qualquer função passível de representação por expressões cujos termos fossem funções com derivadas conhecidas. Entretanto, tais regras não se aplicam a funções, como por exemplo, f(x) =(4x+1)100 uma vez que é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos. Podemos, no entanto expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.
Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h=fog a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto g(x), então a função h é derivável no ponto x e sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)). g '(x) 
Com outras notações, como y=h(x) =f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), obteremos qualquer das expressões equivalentes:
Dxy = Duy. Dxu
yx = yu. Ux
1. Exemplo: Se f é a função real definida por f(x)=(4x+1)100, então, tomando u(x)=4x+1 e v(u)=u100, poderemos escrever:
f(x) = (v o u)(x) = v(u(x))
e pela regra da cadeia:
logo
f '(x) = 400 u99=400(4x+1)99
2. Derivada de uma função inversa
Seja y=f(x) uma função inversa, derivável em um ponto x tal que a derivada f '(x) não se anule e x=g(y) a função inversa de f. Então g é derivável no ponto y=f(x) e sua derivada g' é dada por:> Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que:
x = g(f(x)) 
e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)). f '(x) 
donde o resultado desejado.
3. Derivada da função logaritmo natural
Para deduzir a derivada da função logaritmo natural, usaremos o fato que esta função é a inversa da função exponencial e a regra da cadeia.
Seja y=f(x) =ln(x), sendo x um número real positivo. Como x=g(y) =ey é a função inversa de f, então:
y = f(x) = f(g(y)) = (fog) (y) 
e como g'(y) =ey, para todo y real, então pelo Teorema anterior sobre a função inversa, obtemos através da derivada em ambos os membros em relação à y, obteremos:
logo
 (ln(x)' = f '(x) = 1/ey = 1/x
4. Derivada da função seno
Se f(x) = sen(x) e x é um número real qualquer, então:
f '(x) = cos(x) 
5. Derivada da função arco cujo seno é x
Seja y=f(x) =arcsen(x), a função arco cujo seno é igual a x, que é a função inversa de f, dependendo do intervalo onde tal inversa tem sentido. Como x=g(y) =sen(y) e g'(y) =cos(y), então, pelo teorema da função inversa:
y = f(x) = f(g(y)) = (fog) (y) 
Derivando ambos os termos em relação à y, seguirá:
1 = f '(g(y)). g'(y) = f '(x). cos(y) 
f '(x) = 1/cos(y) desde que cos(y) seja não nulo.
6. Derivada da função cosseno
Se f:R R é definida por f(x)=cos(x), então
f '(x) = -sen(x)
7. Derivada da função arco cujo cosseno é x
É realizada de forma análoga ao caso anterior.
8. Derivadas de outras funções trigonométricas clássicas
Como todas as outras funções trigonométricas clássicas circulares são definidas a partir do seno e cossenos podem encontrar suas derivadas com as regras de derivação apresentadas.
tg'(x) = sec2(x)
cotg'(x) = -cossec2(x)
sec'(x) = sec(x).tg(x)
cossec'(x) = -cossec(x).cotg(x)
arctg'(x) = 1/(1+x2)
9. Derivadas de funções de funções u=u(x)
Se f(x)=u(x)p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então
f '(x) = p u(x)p-1.u '(x)
Se f(x)=u(x)v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0. Então:
f'(x) = u(x)v(x) [(v(x).u'(x)/u(x)) + v'(x).ln(u(x))]
ou sem a variável x, como:
f' = uv [ v.u'/u + v'.ln(u)]
Resumo
Após o desenvolvimento desse breve trabalho podemos concluir que a teoria matemática tende a considerar uma grande variedade de atividades econômicas diferenciadas e que podem também atuar de forma interdependente. 
De modo que, os modelos matemáticos vêm a envolver funções provenientes de um grande número de variáveis. As mesmas são determinadas de modo empírico e não através de teorias extremamente minuciosas. Por essa razão também foram apresentados problemas, os quais foram adotados funções simples para executar sua resolução, de modo que, esses se adaptassem da melhor maneira possível aos dados analisados. Contudo, é válido considerarmos que a Matemática vai tratar, a partir de técnicas que proporcionem o ajuste de funções não só lineares, mas também as chamadas quadráticas de muitas variáveis dos problemas observados, aproximando-as da realidade.
Referências Bibliográficas
Morettin, Pedro A. – Cálculo: funções de uma variável / São Paulo: Atual, 1987.
Links Sugerido:
http://www.brasilescola.com/matematica/
http://www.brasilescola.com/matematica/
PLT (Programa Livro Texto) 622, Matemática Aplicada a Administração Economia e Contabilidade, Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto. (Cengage Learning)
Hariki, Seiji – Matemática aplicada: administração, economia, contabilidade
São Paulo: Saraiva 2005.·.