Arquimedes: Matemático da Grécia Antiga

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29/03/2018 Texto-base - Arquimedes | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - MHM001
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Novamente, vamos voltar um pouco à Grécia Antiga. Arquimedes foi um
dos maiores matemáticos do séc. III a.C. Natural da cidade de Siracusa
(Sicília), nasceu por volta de 287 a.C. e morreu durante a Segunda
Guerra Púnica (Siracusa, 212 a.C.). Seu pai era astrônomo, o que
também lhe ajudou a garantir certa reputação em astronomia. 
Historiadores da Matemática e das Ciências apontam que Arquimedes
pode ter estudado por algum tempo em Alexandria, junto com alunos de
Euclides. Nessa época, deve ter mantido contato com matemáticos como
Cônon, Dosite e Eratóstenes (BOYER, 1974). 
Existem informações que apontam que Siracusa resistiu ao sítio de Roma
por quase 3 anos graças às engenhosas máquinas de guerra inventadas
por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância, como catapultas,
arranjos de cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios
romanos e outras invenções para queimar os navios. 
Os trabalhos de Arquimedes demonstram grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas
demonstrações. Existem cerca de 10 tratados que foram preservados até hoje (e vestígios de outros)
sobre geometria plana. Podemos fazer um breve resumo dos estudos de Arquimedes:
 
Cálculo: Arquimedes. Movimentações para o
cálculo no século XVII. Antecipações nos
trabalhos de Descartes, Fermat e Pascal.
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TEXTO-BASE
Arquimedes
Medidas de um Círculo, inaugurando o método clássico para cálculo do π.1.
Quadratura da parábola, estabelecendo 24 proposições que mostram que a área de um
segmento parabólico é 4/3 da área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde
a tangente é paralela à base. Esta dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente.
2.
Propriedades das Espirais: 28 proposições dedicadas às propriedades da curva (conhecidas hoje
como Espiral de Arquimedes) e cuja equação polar é r=kq, que, em particular, encontra-se a área
compreendida pela curva e por dois raios vetores de maneira essencialmente igual (hoje seria um
exercício de cálculo integral). Por meio dos árabes, sabemos que a fórmula usual para a área de
um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron, em que s é o
semiperímetro, era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. 
 
3.
Propriedades das alavancas (no tratado Sobre alavancas).4.
Geometria espacial: Temos o tratado Sobre a Esfera e o Cilindro, escrito em dois volumes e
constituído de 53 proposições, que trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de
uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente
2/3 da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela, e que o volume da esfera é
exatamente 2/3 do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera
5.
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Aqui, damos destaque ao princípio Hidrostático de Arquimedes: 
Todo sólido mais leve que um fluido, se colocado nele, ficará imerso o suficiente para que o peso do
sólido seja igual ao do fluido deslocado. Um sólido mais pesado que um fluido, se colocado nele,
descerá até o fundo do fluido, e o sólido, se pesado dentro do fluido, pesará menos do que seu peso real
de um tanto igual ao peso do fluido deslocado.
Citado por Boyer, 1974, p. 91. 
Além disso, atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a
Construção de Esferas (este, contendo a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os
movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Especula-se que o
mecanismo era acionado por sistema hídrico). 
Temos ainda que colocar que a invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água
em parafuso, construída para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões de navios. O
engenho ainda hoje é utilizado no Egito. Todavia, todas as narrações de Arquimedes mostram que ele
dava pouco valor aos seus inventos mecânicos: Arquimedes preferia o produto dos seus pensamentos.
O intuito de retomar conhecimentos da antiguidade foi de mostrar que Arquimedes foi o precursor da
matemática moderna, que será abordada ao longo deste material e também na próxima aula.
com um plano de maneira a obter 2 segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada.
Esse problema leva a uma equação cúbica, na qual é feita uma discussão relativa às condições
sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva (BOYER, 1974).
Cálculos de volume: Arquimedes escreveu também pequenas obras sobre aritmética, como o O
contador de areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de
areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol (ou seja, para os
padrões da época, Arquimedes estava tentando determinar o "volume do universo"). Nesse
trabalho, encontramos observações relacionadas com astronomia, nas quais Arquimedes utilizou o
modelo de universo de Aristarco de Samos (que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico).
Assim, Arquimedes calcula a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o
volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo.
6.
Logaritmos: De forma paralela ao "cálculo do volume do universo", Arquimedes desenvolve um
sistema de numeração que culminou na invenção dos logaritmos.
7.
Matemática aplicada: Temos dois tratados - Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os
Corpos Flutuantes. O primeiro consta de dois livros e contém 25 proposições em que, mediante
tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centroides e se determinam
centroides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área
limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Sobre os Corpos Flutuantes é composto por
dois livros com 90 proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O
tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e
depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a
posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de paraboloide de revolução mergulhado
num fluido (BOYER, 1974; EVES 2011).
8.