Lista 4 Solução

Prévia do material em texto

Eletricidade Aplicada
Lista de Quest~oes # 4
Prof. Fla´vio
FGA / Universidade de Brası´lia
Questa˜o 1
Se Vˆab = 400 V em um gerador trifa´sico ligado em estrela equilibrado, determine as tenso˜es
de fase, supondo que a sequeˆncia de fases seja: (a) abc e (b) acb
Soluc¸a˜o
(a) sequeˆncia abc
• tensa˜o de fase −→ Vˆfase = Vˆlinha√3 ∠− 30o
Vˆab=400∠0o−−−−−−−−−−−→

Vˆan =
Vˆab√
3
∠− 30o = 400∠0o√
3
∠− 30o =⇒
�� ��Vˆan = 230.94∠− 30o V
Vˆbn = Vˆan∠− 120o =⇒
�� ��Vˆbn = 230.94∠− 150o V
Vˆcn = Vˆan∠120o =⇒
�� ��Vˆcn = 230.94∠90o V
(b) sequeˆncia acb
• tensa˜o de fase −→ Vˆfase = Vˆlinha√3 ∠30o
Vˆab=400∠0o−−−−−−−−−−−→

Vˆan =
Vˆab√
3
∠30o = 400∠0o√
3
∠30o =⇒
�� ��Vˆan = 230.94∠30o V
Vˆbn = Vˆan∠120o =⇒
�� ��Vˆbn = 230.94∠150o V
Vˆcn = Vˆan∠− 120o =⇒
�� ��Vˆcn = 230.94∠− 90o V
Questa˜o 2
Determine a sequeˆncia de fases e a tensa˜o na fase a de um circuito trifa´sico equilibrado no
qual Vˆbn = 208∠130o V e Vˆcn = 208∠10o V .
Soluc¸a˜o
• Observando as tenso˜es nas fases b e c −→ Vˆbn esta´ adiantada 120o em relac¸a˜o a Vˆcn =⇒
�� ��sequeˆncia abc
• tensa˜o na fase a −→ Vˆan = Vˆbn∠120o =⇒
�� ��Vˆan = 208∠250o V
Questa˜o 3
Para um carga ligada em estrela, as expresso˜es no domı´nio do tempo para treˆs tenso˜es
linha-neutro nos terminais sa˜o: van(t) = 150 cos (ωt+ 32
o) V , vbn(t) = 150 cos (ωt− 88o) V e vcn(t) =
150 cos (ωt+ 152o) V . Escreva as tenso˜es no domı´nio do tempo para as tenso˜es linha-linha Vˆab, Vˆbc e Vˆca.
Soluc¸a˜o
• observando as tenso˜es nas fases −→ sequeˆncia abc
1
• tensa˜o de linha −→ Vˆlinha =
√
3Vˆfase∠30o
Vˆa=150∠32o−−−−−−−−−−−→

Vˆab =
√
3Vˆa∠30o =
√
3× 150∠ (32o + 30o) −→ Vˆab = 259.8∠62o V
=⇒
�� ��vab(t) = 259.8 cos (ωt+ 62o)
Vˆbc = Vˆab∠− 120o −→ Vˆbc = 259.8∠− 58o V =⇒
�� ��vbc(t) = 259.8 cos (ωt− 58o)
Vˆca = Vˆab∠120o −→ Vˆca = 259.8∠182o V =⇒
�� ��vca(t) = 259.8 cos (ωt+ 182o)
Questa˜o 4
Considere na Figura 1, as configurac¸o˜es ∆ e Y de carga trifa´sica. Mostre que na conversa˜o
(a) ∆ - Y , tem-se: ZA =
ZABZAC
ZAB+ZAC+ZBC
, ZB =
ZABZBC
ZAB+ZAC+ZBC
e ZC =
ZBCZAC
ZAB+ZAC+ZBC
.
(b) Y -∆, tem-se: ZAB =
ZC
ZAZB+ZBZC+ZAZC
, ZBC =
ZA
ZAZB+ZBZC+ZAZC
e ZAC =
ZB
ZAZB+ZBZC+ZAZC
.
Figura 1: Questa˜o 4
Soluc¸a˜o
(a) Conversa˜o ∆ - Y
• A impedaˆncia entre cada par de no´s na configurac¸a˜o ∆ e´ igual a impedaˆncia entre o mesmo par
de no´s da configurac¸a˜o Y .
• Terminal A e B
{
ZAB∆ = ZAB// (ZAC + ZBC)
ZABY = ZA + ZB
ZAB∆=ZABY−−−−−−−−−→ ZA +ZB = ZAB(ZAC+ZBC)ZAB+ZAC+ZBC ...(1)
• Terminal A e C
{
ZAC∆ = ZAC// (ZAB + ZBC)
ZACY = ZA + ZC
ZAC∆=ZACY−−−−−−−−−→ ZA + ZC = ZAC(ZAB+ZBC)ZAB+ZAC+ZBC ...(2)
• Terminal B e C
{
ZBC∆ = ZBC// (ZAC + ZAB)
ZBCY = ZB + ZC
ZBC∆=ZBCY−−−−−−−−−→ ZB +ZC = ZBC(ZAC+ZAB)ZAB+ZAC+ZBC ...(3)
• (2) - (3) −→ ZA − ZB = ZAB(ZAC−ZBC)ZAB+ZAC+ZBC ...(4)
• (1) + (4) =⇒
�
�
�
�ZA = ZABZACZAB+ZAC+ZBC ...(5)
• (5) em (4) =⇒
�
�
�
�ZB = ZABZBCZAB+ZAC+ZBC ...(6)
• (6) em (3) =⇒
�
�
�
�ZC = ZACZBCZAB+ZAC+ZBC ...(7)
(b) Conversa˜o Y - ∆
• (5)×(6) + (6)×(7) + (5)×(7) −→ ZAZB + ZBZC + ZAZC = ZABZACZBC(ZAB+ZAC+ZBC)(ZAB+ZAC+ZBC)2
−→ ZAZB + ZBZC + ZAZC = ZABZACZBCZAB+ZAC+ZBC ...(8)
• (8)/(5) =⇒
�
�
�
�ZBC = ZAZAZB+ZBZC+ZAZC
• (8)/(6) =⇒
�
�
�
�ZAC = ZBZAZB+ZBZC+ZAZC
• (8)/(7) =⇒
�
�
�
�ZAB = ZCZAZB+ZBZC+ZAZC
2
Questa˜o 5
Para o circuito trifa´sico estrela-estrela da Figura 2, determine as correntes de linha, as tenso˜es
de linha e as tenso˜es de carga. Considere magnitude da tensa˜o trifa´sica de Vp = 220 V e carga com resisteˆncia
de R = 10 Ω e reataˆncia indutiva XL = 5 Ω
Figura 2: Questa˜o 5
Soluc¸a˜o
• circuito trifa´sico equilibrado com sequeˆncia de fases abc
• corrente de linha na fase a −→ Iˆa = VˆaZy −→ Iˆa = 220∠0
o
10+j5 =⇒
�� ��Iˆa = 19.678∠− 26.56o A
• corrente de linha na fase b −→ Iˆb = Iˆa∠− 120o =⇒
�� ��Iˆb = 19.678∠− 146.56o A
• corrente de linha na fase c −→ Iˆc = Iˆa∠120o =⇒
�� ��Iˆc = 19.678∠93.44o A
• tensa˜o de linha entre fases a e b −→ Vˆab = Vˆa
√
3∠30o =⇒
�� ��Vˆab = 381.05∠30o V
• tensa˜o de linha entre fases b e c −→ Vˆbc = Vˆab∠− 120o =⇒
�� ��Vˆbc = 381.05∠− 90o V
• tensa˜o de linha entre fases a e c −→ Vˆac = Vˆbc∠− 120o =⇒
�� ��Vˆac = 381.05∠− 210o V
• tensa˜o na fase a da carga −→ VˆA = Zy Iˆa −→ VˆA = (10 + j5) 19.678∠−26.56o =⇒
�� ��VˆA = 220∠0o V
• tensa˜o na fase b da carga −→ VˆB = VˆA∠− 120o =⇒
�� ��VˆB = 220∠− 120o V
• tensa˜o na fase c da carga −→ VˆC = VˆA∠− 120o =⇒
�� ��VˆC = 220∠120o V
Questa˜o 6
No circuito trifa´sico estrela-triaˆngulo da Figura 3, determine a magnitude da corrente de linha
IL e a poteˆncia me´dia liberada para a carga.
Figura 3: Questa˜o 6
Soluc¸a˜o
• converter a carga equilibrada da configurac¸a˜o triaˆngulo para estrela −→ Zy = Z∆3 −→ Zy = 9−j63
=⇒ Zy = 3− j2 Ω, observe o circuito da Figura 4
3
Figura 4: Questa˜o 6 - circuito com a carga na configurac¸a˜o estrela.
• Considere o circuito da Figura 4 −→ corrente de linha = corrente de fase
• corrente na fase a −→ Iˆa = Vˆa2+Zy = 110∠0
o
5−j2 −→ Iˆa = 20.43∠21.8o A
• magnitude da corrente de linha IL=Ia−−−−−−−→
�� ��IL = 20.43 A
• poteˆncia me´dia liberada para a carga −→ P = 3RyI2a
Ry=real(Zy)=3−−−−−−−−−−−−−→ P = 3× 3× 20.432
=⇒
�� ��P = 3756 W
Questa˜o 7
Uma carga equilibrada ligada em triaˆngulo possui uma corrente de fase IˆAC = 5∠− 30o A.
(a) Determine as treˆs correntes de linha supondo que o circuito opera na sequeˆncia de fase positiva.
(b) Calcule a impedaˆncia de carga se a tensa˜o de linha para VˆAB = 110∠0o V .
Soluc¸a˜o
• sequeˆncia de fase positiva −→ sequeˆncia abc
• correntes de fase na carga −→

IˆCA = −IˆAC −→ IˆCA = −5∠− 30o =⇒ IˆCA = 5∠150o A
IˆAB = IˆCA∠− 120o =⇒ IˆAB = 5∠30o A
IˆBC = IˆCA∠120o =⇒ IˆBC = 5∠270o A
• correntes de linha −→

Iˆa = IˆAB
√
3∠− 30o −→
�� ��Iˆa = 8.66∠0o A
Iˆb = Iˆa∠− 120o −→
�� ��Iˆb = 8.66∠− 120o A
Iˆc = Iˆa
√
3∠120o −→
�� ��Iˆc = 8.66∠120o A
• carga em triaˆngulo −→ tensa˜o de linha = tensa˜o de fase
• na fase da carga, entre os terminais A e B −→ Z∆ = VˆABIˆAB =
110∠0o
5∠30o =⇒
�� ��Z∆ = 22∠− 30o Ω/fase
Questa˜o 8
Se Vˆa = 220∠60o V no circuito da Figura 5, determine para a carga as correntes IˆAB, IˆBC e
IˆCA.
Figura 5: Questa˜o 8
4
Soluc¸a˜o
• tensa˜o na carga, entre os terminais A e B −→ VˆAB = Vˆa
√
3∠30o −→ VˆAB = 381.1∠90o V
• correntes na carga −→

IˆAB =
VˆAB
Z∆
= 381.1∠90
o
12+j9 =⇒
�� ��IˆAB = 25.40∠53.14o A
IˆBC = IˆAB∠− 120o =⇒
�� ��IˆBC = 25.40∠− 66.87o A
IˆCA = IˆAB∠120o =⇒
�� ��IˆCA = 25.40∠173.13o A
Questa˜o 9
Determine as correntes Iˆa, Iˆb e Iˆc no circuito trifa´sico da Figura 6. Adote Z∆ = 12 − j5 Ω,
ZY = 4 + j6 Ω e ZL = 2 Ω.
Figura 6: Questa˜o 9
Soluc¸a˜o
• impedaˆncia equivalente da carga, na configurac¸a˜o Y =⇒ converter a carga Z∆ para Y e depois
associa´-la em paralelo com a carga ZY =⇒ Z = Z∆3 //ZY
−→ Z = (4− j5)//(4 + j6) = (4−j5)(4+j6)8+j −→ Zeq = 5.723− j0.215 Ω
• converter a a fonte de tensa˜o da configurac¸a˜o ∆ para Y
−→ na fase a: Vˆan = Vˆab√3∠− 30o =
440√
3
∠− 30o =⇒ Vˆan = 254∠− 30o V
• ca´lculo das correntes de linha
fase a −→ Iˆa = VˆanZL+Z = 254∠−30
o
7.723−j0.215 =⇒
�� ��Iˆa = 32.87∠− 28.40o A
fase b −→ Iˆb = Iˆa∠− 120o =⇒
�� ��Iˆb = 32.87∠− 148.40o A
fase c −→ Iˆb = Iˆa∠120o =⇒
�� ��Iˆb = 32.87∠91.60o A
Questa˜o 10
Um sistema trifa´sico equilibrado com tensa˜o de linha igual a 202 V rms alimenta uma carga
ligada em triaˆngulo com Zp = 25∠60o Ω.
(a) Determine a corrente de linha.
(b) Determine a poteˆncia total fornecida para a carga usando dois watt´ımetros ligados a`s linhas A e C.
Soluc¸a˜o
• ca´lculo da corrente na fase −→ IˆAB = VˆABZ∆= 202∠0
o
25∠60o −→ IˆAB = 8.08∠− 60o A
• corrente de linha −→ Iˆa = IˆAB
√
3∠− 30o IL=|Iˆa|−−−−−−−−→
�� ��IL = 13.995 A
• poteˆncia total consumida pela carga −→ P = √3VLIL cos(θ) −→ P =
√
3× 202× 13.995 cos(60o)
=⇒
�� ��P = 2.448 kW
5
Questa˜o 11
Um sistema trifa´sico estrela-triaˆngulo equilibrado possui Vˆan = 240∠0o V rms e Z∆ =
51 + j45 Ω. Se a impedaˆncia de linha por fase for 0.4 + j1.2 Ω, determine a poteˆncia complexa total para a
carga.
Soluc¸a˜o
• converter a carga em configurac¸a˜o ∆ para a Y −→ ZY = Z∆3 = 51+j453 −→ ZY = 17 + j15 Ω
• ca´lculo da corrente na carga ZY −→ Iˆa = VˆanZL+ZY = 240∠0
o
(0.4+j1.2)+(17+j15) −→ Iˆa = 10.095∠−42.95o A
• poteˆncia complexa na carga −→ S = 3ZY I2a = 3×(17 + j15) 10.0952 −→
�� ��S = 5.197 + j4.585 kVA
Questa˜o 12
Uma carga ligada em ∆ equilibrada e´ alimentada por uma fonte trifa´sica 60 Hz com tensa˜o
de linha igual a 230 V . Cada fase da carga absorve 6 kW com fator de poteˆncia igual a 0.8 atrasado.
Determine
(a) a impedaˆncia de carga por fase,
(b) a corrente de linha,
(c) e o valor da capacitaˆncia necessa´ria para ser ligada em paralelo com cada fase da carga para minimizar
a corrente da fonte.
Soluc¸a˜o
• poteˆncia aparente por fase −→ |Sp| = Ppcos(θ) = 60000.8 −→ |Sp| = 7500 VA
• poteˆncia reativa por fase −→ Qp = |Sp| sin(θ) = 7500
√
1− 0.82 −→ Qp = 4500 VAR
• poteˆncia complexa por fase −→ Sp = Pp + jQp −→ Sp = 6000 + j4500 VA
• impedaˆncia por fase −→ Sp = V
2
p
Z∗p
−→ Z∗p = V
2
p
Sp
= 240
2
6000+j4500 −→ Z∗p = 6.144− j4.608
=⇒
�� ��Zp = 6.144 + j4.608 Ω
• corrente de linha −→ Pp =
√
3VLIL cos(θ) −→ IL = 6000√3×VL×0.8 =⇒
�� ��IL = 18.042 A
• ca´lculo da capacitaˆncia a ser inserida em paralelo com a carga para que se tenha fator de poteˆncia
unita´rio em cada fase −→ QC = Qp = 4500 VA −→ C = QCωV 2p −→ C =
4500
2pi×60×2402
=⇒
�� ��C = 207.2 µF
Questa˜o 13
A poteˆncia total medida em um sistema trifa´sico que alimenta uma carga ligada em estrela
equilibrada e´ de 12 kW com fator de poteˆncia 0.6 adiantado. Se a tensa˜o de linha for 208 V rms, calcule a
corrente de linha IL e a impedaˆncia de carga ZY .
Soluc¸a˜o
• poteˆncia ativa na carga −→ P = √3× VLIL cos(θ) −→ IL = 12×103√3×208×0.6 −→
�� ��IL = 55.51 A
• poteˆncia complexa na carga −→ S = P + jQ
cos(θ) adiantado−−−−−−−−−−−−−−→
{
P = 12 kW
Q = −P tan(θ) = −12× tan(cos−1(0.6)) = −16 kVAR
• ca´lculo da impedaˆncia da carga em Y −→ S = 3ZY I2L −→ ZY = (12−j16)10
3
3×55.512
=⇒
�� ��ZY = 1.298− j1.731 Ω/fase
6
Questa˜o 14
Determine a poteˆncia real absorvida pela carga no circuito apresentado na Figura 8
Figura 7: Questa˜o 14
Soluc¸a˜o
• observe que a fonte de tensa˜o e´ trifa´sica e equilibrada, pore´m a carga e´ trifa´sica desequilibrada
−→ resoluc¸a˜o por lei das malhas
Figura 8: Questa˜o 14 - Resoluc¸a˜o por lei das malhas
• malha 1 −→ 100∠0o = (18− j6) Iˆ1 − 5Iˆ2 − (8− j6) Iˆ3 ...(1)
• malha 2 −→ 100∠− 120o = −5Iˆ1 + 20Iˆ2 − 10Iˆ3 ...(2)
• malha 3 −→ 0 = − (8− j6) Iˆ1 − 10Iˆ2 + (22− j3) Iˆ3 ...(3)
• (1), (2) e (3) na forma matricial −→
 (18− j6) −5 −(8− j6)−5 20 −10
−(8− j6) −10 (22− j3)
×
 Iˆ1Iˆ2
Iˆ3
 =
 100∠0o100∠− 120o
0

• resoluc¸a˜o pelo me´todo de Cramer - ca´lculo dos determinantes
−→ ∆ =
∣∣∣∣∣∣∣
(18− j6) −5 −(8− j6)
−5 20 −10
−(8− j6) −10 (22− j3)
∣∣∣∣∣∣∣ = 3850− j525
−→ ∆1 =
∣∣∣∣∣∣∣
100∠0o −5 −(8− j6)
100∠− 120o 20 −10
0 −10 (22− j3)
∣∣∣∣∣∣∣ = 18004.809− j18704.48
−→ ∆2 =
∣∣∣∣∣∣∣
(18− j6) 100∠0o −(8− j6)
−5 100∠− 120o −10
−(8− j6) 0 (22− j3)
∣∣∣∣∣∣∣ = −6294.0− j33310
−→ ∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣
(18− j6) −5 100∠0o
−5 20 120∠− 120o
−(8− j6) −10 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 22060− j26552
7
• correntes de malha −→

Iˆ1 =
∆1
∆ −→ Iˆ1 = 6.681∠− 38.32o A
Iˆ2 =
∆3
∆ −→ Iˆ2 = 8.724∠− 92.93o A
Iˆ3 =
∆3
∆ −→ Iˆ3 = 6.857∠− 77.48o A
• poteˆncia me´dia absorvida pelo resistor de 8 Ω
−→ P1 = 8
∣∣∣Iˆ1 − Iˆ3∣∣∣2 = 8 |6.681∠− 38.32o − 6.857∠− 77.48o|2 −→ P1 = 164.60 W
• poteˆncia me´dia absorvida pelo resistor de 4 Ω
−→ P2 = 4
∣∣∣Iˆ3∣∣∣2 = 8 |6.857∠− 77.48o|2 −→ P2 = 188.07 W
• poteˆncia me´dia absorvida pelo resistor de 10 Ω
−→ P3 = 10
∣∣∣Iˆ2 − Iˆ3∣∣∣2 = 8 |8.724∠− 92.93o − 6.857∠− 77.48o|2 −→ P3 = 79.36 W
• poteˆncia total consumida pela carga
−→ PT = P1 + P2 + P3 = 164.60 + 188.07 + 79.36 =⇒
�� ��PT = 432.03 W
Questa˜o 15
Uma carga trifa´sica e´ formada por treˆs resistores de 100 Ω que podem ser ligados em triaˆngulo
ou em estrela. Determine que conexa˜o absorvera´ a maior poteˆncia me´dia de uma fonte trifa´sica com tensa˜o
de linha 110 V . Suponha despres´ıvel a impedaˆncia de linha.
Soluc¸a˜o
• carga em estrela −→ PY = 3VˆpIˆ∗p =
3|Vˆp|2
Z∗ =
3|VˆL/√3|2
Z∗ −→ PY = 110
2
100 =⇒
�� ��PY = 121 W
• carga em delta −→ P∆ = 3VˆpIˆ∗p =
3|Vˆp|2
Z∗ =
3|VˆL|2
Z∗ −→ P∆ = 3× 110
2
100 =⇒
�� ��P∆ = 363 W
• a conexa˜o da carga em ∆ consumira´ o triplo de poteˆncia absorvida pela conexa˜o Y , utilizando os
mesmos elementos.
Questa˜o 16
Treˆs cargas trifa´sicas associadas em paralelo sa˜o alimentadas por uma fonte trifa´sica equili-
brada:
Carga 1: 250 kVA, fp = 0.8 atrasado
Carga 2: 300 kVA, fp = 0.95 adiantado
Carga 3: 450 kVA, fp = 1
Se a tensa˜o de linha for 13.8 kV , calcule a corrente de linha e o fator de poteˆncia da fonte. Suponha que a
impedaˆncia da linha seja nula.
Soluc¸a˜o
• poteˆncia complexa nas cargas −→

carga 1: S1 = 250∠ cos−1(0.8) −→ S1 = 250∠36.86o kVA
carga 2: S2 = 300∠− cos−1(0.95) −→ S2 = 300∠− 18.19o kVA
carga 3: S3 = 450∠ cos−1(1) −→ S3 = 450∠0o kVA
• poteˆncia complexa total −→ ST = S1 + S2 + S3 = 250∠36.86o + 300∠− 18.19o + 450∠0o
−→ ST = 936.72∠3.44o kVA
• fator de poteˆncia total −→ fp = cos(3.44o) −→
�� ��fp = 0.998 atrasado
• corrente de linha −→ |ST | =
√
3VLIL −→ 936.72 =
√
3× 13.8× 103 × IL =⇒
�� ��IL = 39.19 A
8
Questa˜o 17
Considere o sistema triaˆngulo-triaˆngulo mostrado na Figura 9. Adote Z1 = 8 + j6 Ω, Z2 =
4.2− j2.2 Ω e Z3 = 10 Ω. Determine
(a) as correntesde fase IˆAB, IˆBC e IˆCA
(b) e as correntes de linha IˆaA, IˆbB e IˆcC .
Figura 9: Questa˜o 17
Soluc¸a˜o
• correntes na carga −→

IˆAB =
240∠0o
Z1
= 240∠0
o
8+j6 −→
�� ��IˆAB = 24∠− 36.86o A
IˆBC =
240∠120o
Z2
= 240∠120
o
4.2−j2.2 −→
�� ��IˆBC = 50.61∠147.64o A
IˆCA =
240∠−120o
Z3
= 240∠−120
o
10 −→
�� ��IˆCA = 24∠− 120o A
• correntes de linha
−→

IˆaA = IˆAB − IˆCA = 24∠− 36.86o − 24∠− 120o −→
�� ��IaA = 31.84∠11.57o A
IˆbB = IˆBC − IˆAB = 50.61∠147.64o − 24∠− 36.86o −→
�� ��IbB = 74.56∠146.19o A
IˆcC = IˆCA − IˆBC = 24∠− 120o − 50.61∠147.64o −→
�� ��IcC = 56.89∠− 57.28o A
Questa˜o 18
Um circuito estrela-estrela quadrifilar possui tenso˜es de fase Vˆan = 120∠120o V , Vˆab =
120∠0o V e Vˆcn = 120∠ − 120o V , e carga com impedaˆncias de fase ZAN = 20∠60o Ω, ZBN = 30∠0o Ω e
ZCN = 40∠30o Ω. Calcule a corrente na linha neutra.
Soluc¸a˜o
• correntes de fase −→

Iˆa =
Vˆan
ZAN
= 120∠120
o
20∠60o −→ Iˆa = 6∠60o A
Iˆb =
Vˆbn
ZBN
= 120∠0
o
30∠0o −→ Iˆb = 4∠0o A
Iˆc =
Vˆcn
ZCN
= 120∠−120
o
40∠30o −→ Iˆc = 3∠− 150o A
• corrente na linha neutra −→ Iˆn = −
(
Iˆa + Iˆb + Iˆc
)
−→ Iˆn = − (6∠60o + 4∠0o + 3∠− 150o)
=⇒
�� ��Iˆn = 5.75∠220o A
Questa˜o 19
No sistema estrela-estrela mostrado na Figura 10, as cargas conectadas a` fonte esta˜o dese-
quilibradas. Adote Vp = 240 V rms, ZA = 100 Ω, ZB = 60 Ω e ZC = 80 Ω. Calcule
(a) as correntes de linha Iˆa, Iˆb e Iˆc
(b) e a poteˆncia total liberada para a carga.
9
Figura 10: Questa˜o 19
Soluc¸a˜o
• A carga trifa´sica esta´ desequilibrada =⇒ resoluc¸a˜o por lei das malhas
Figura 11: Questa˜o 19 - Resoluc¸a˜o por lei das malhas
• malha 1
−→240∠− 120o − 240 + 160Iˆ1 − 60Iˆ2 = 0 −→ 160Iˆ1 − 60Iˆ2 = 415.692∠30o ...(1)
• malha 2
−→ 240∠− 120o − 240∠− 120o − 60Iˆ1 + 140Iˆ2 = 0 −→ −60Iˆ1 + 140Iˆ2 = 415.692∠− 90o ...(2)
• (1) e (2) na forma matricial −→
[
160 −60
−60 140
][
Iˆ1
Iˆ2
]
=
[
415.692∠30o
415.692∠− 90o
]
• resoluc¸a˜o pelo me´todo de Cramer - determinantes
−→ ∆ =
∣∣∣∣∣ 160 −60−60 140
∣∣∣∣∣ = 18800
−→ ∆1 =
∣∣∣∣∣ 415.692∠30o −60415.692∠− 90o 140
∣∣∣∣∣ = 50571.11∠4.71o
−→ ∆2 =
∣∣∣∣∣ 160 415.692∠30o−60 415.692∠− 90o
∣∣∣∣∣ = 588196.88∠− 68.21o
• correntes de malha −→
{
Iˆ1 =
∆1
∆ =
50571.11∠4.71o
18800 −→ Iˆ1 = 2.69∠4.71o A
Iˆ2 =
∆2
∆ =
588196.88∠−68.21o
18800 −→ Iˆ2 = 3.09∠− 68.21o A
• correntes de linha −→

Iˆa = Iˆ1 −→
�� ��Iˆa = 2.69∠4.71o A
Iˆb = Iˆ2 − Iˆ1 −→
�� ��Iˆb = 3.454∠− 116.33o A
Iˆc = −Iˆ2 −→
�� ��Iˆc = 3.09∠111.79o A
10
• poteˆncia complexa em cada fase −→

Sa = ZA
∣∣∣Iˆa∣∣∣2 = 100× 2.692 −→ Sa = 723.61 kVA
Sb = ZB
∣∣∣Iˆb∣∣∣2 = 60× 3.4542 −→ Sb = 715.80 kVA
Sc = ZC
∣∣∣Iˆc∣∣∣2 = 80× 3.092 −→ Sb = 763.84 kVA
• poteˆncia complexa total −→ ST = Sa + Sb + Sc =⇒
�� ��ST = 2.203 kVA
Questa˜o 20
Conforme indicado na Figura 11 , uma linha de transmissa˜o quadrifilar com tensa˜o de fase
igual a 120 V rms e sequeˆncia de fase positiva alimenta uma carga de motor equilibrada a 260 kVA com
fator de poteˆncia fp = 0.85 atrasado. A carga do motor esta´ conectada a treˆs linhas principais indicadas
por a, b e c. Ale´m disso, laˆmpadas incandescentes (fp unita´rio) sa˜o ligadas como segue: 24 kW da linha a
para o neutro, 15 kW da linha b para o neutro e 9 kW da linha c para o neutro.
(a) Considere a utilizac¸a˜o de treˆs watt´ımetros para medir a poteˆncia em cada linha, calcule a leitura de
cada medidor.
(b) Determine a magnitude da corrente na linha neutra.
Figura 12: Questa˜o 20
Soluc¸a˜o
• poteˆncia trifa´sica do motor −→ PT = ST cos(θ) = 260× 0.85 −→ PT = 221 kW
• poteˆncia em cada fase −→ Pf = PT3 −→ Pf = 73.67 kW
• leitura dos watt´ımetros −→

Wa = 73.67 + 24 −→
�� ��Wa = 97.67 kW
Wb = 73.67 + 15 −→
�� ��Wb = 88.67 kW
Wc = 73.67 + 9 −→
�� ��Wc = 82.67 kW
• o motor e´ uma carga equilibrada −→ IN = 0 .
• ca´lculo das magnitudes das correntes nas cargas de iluminac¸a˜o
−→

fase a : Ia =
24×103
120 −→ Ia = 200 A
fase b : Ib =
15×103
120 −→ Ib = 125 A
fase c : Ic =
9×103
120 −→ Ic = 750 A
• a carga de iluminac¸a˜o resistiva −→ correntes defasadas de acordo com as tenso˜es nas fases
=⇒

Iˆa = 200∠0o A
Iˆb = 225∠− 120o A
Iˆc = 75∠120o A
• corrente no neutro −→ −Iˆn = Iˆa + Iˆb + Iˆc
=⇒ Iˆn = −108.97∠− 23.41o A magnitude−−−−−−−−−−→
�� ��In = 108.97 A
11
Questa˜o 21
Para o circuito apresentado na Figura 13, determine as leituras de cada watt´ımetro.
Figura 13: Questa˜o 21
Soluc¸a˜o
• Considere o sentido das correntes de acordo com o circuito da Figura 14
Figura 14: Questa˜o 21 - sentido arbitrado para as correntes
• ca´lculo das correntes nas fases
−→

Iˆa =
240∠−60o
10+j30 −→ Iˆa = 7.59∠− 131.57o A
Iˆb =
240∠−120o
10+j30 −→ Iˆb = 7.59∠− 191.57o A
ZIˆc + 240∠− 60o − 240∠− 120o = 0 −→ Iˆc = −24010+j30 −→ Iˆc = 7.59∠− 108.43o A
• ca´lculo das correntes de linha −→
{
Iˆ1 = Iˆa − Iˆc −→ Iˆ1 = 13.146∠− 101.57o A
Iˆ2 = Iˆb + Iˆc −→ Iˆ2 = 13.146∠138.43o A
• poteˆncia nos watt´ımetros
−→
W1 : P1 = Real
(
Vˆ1Iˆ
∗
1
)
= Real (240∠− 60o × 13.146∠101.57o) =⇒
�� ��P1 = 2360 W
W2 : P2 = Real
(
Vˆ2Iˆ
∗
2
)
= Real (240∠− 120o × 13.146∠− 138.43o) =⇒
�� ��P2 = −632.8 W
• poteˆncia me´dia total −→ PT = P1 + P2 = 2360− 632.8 −→
�� ��PT = 1727.2 W
12