AP1 GP 2017.1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Num triaˆngulo ABC iso´sceles de
base BC o ponto D pertence ao lado AC e e´ determi-
nado de modo que DC = BC.
Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) ate´ o
ponto E de modo que CE = BC.
Se o aˆngulo AB̂D mede 18◦, qual e´ a medida,
em graus, do aˆngulo BÂC? Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: O triaˆngulo ABC e´ iso´sceles de base BC, enta˜o m(AB̂C) = m(AĈB), que denominamos
de x, conforme figura. D pertence ao lado AC e tal que DC = BC. Prolongando BC ate´ o ponto
E de modo que CE = BC e m(AB̂D) = 18◦.
Logo m(DB̂C) = x− 18◦, pois o triaˆngulo ABC
e´ iso´sceles. E como ∆DBC e´ iso´sceles enta˜o
m(BD̂C) = x− 18◦ . Ale´m disso DC = CE,
o triaˆngulo CDE tambe´m e´ iso´sceles de base DE,
portanto m(ED̂C) = m(DÊC) .
Denote m(ED̂C) = a.
No triaˆngulo BDE, temos
2(x− 18◦) + 2a = 180◦ ⇒ x− 18◦ + a = 90◦ ⇒ x + a = 108◦ (1)
Do aˆngulo externo do triaˆngulo CDE temos que x = 2a (2)
Substituindo (2) em(1) vem:
x + a = 108◦ ⇒ 2a + a = 108◦ ⇒ a = 108
◦
3
= 36◦
x + a = 108◦ ⇒ x = 108◦ − 36◦ = 72◦
Logo m(BÂC) = 180◦ − 2(72◦) = 180◦ − 144◦ = 36◦.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Questa˜o 2 [2 pts]: (OBMEP 2012 adaptado www.obmep.org.br) Joa˜o brinca com dois triaˆngulos
iguais cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 6 cm. Ele forma figuras planas unindo um lado de um
triaˆngulo com um lado do triaˆngulo, sem que um triaˆngulo fique sobre o outro. Abaixo vemos duas
figuras que ele fez.
a) Quais comprimentos dos lados que foram unidos nas figuras (I) e (II) ? Justifique.
b) Calcule os per´ımetros das figuras (I) e (II). Justifique.
Soluc¸a˜o:
a) Na figura (I) :
1) Observe que sa˜o dadas medidas de dois lados que na˜o foram unidos: 4 cm e 6 cm.
2) Os dois lados que foram unidos sa˜o do mesmo tamanho. Como esses triaˆngulos sa˜o escalenos,
esse lado na˜o pode ser 4 cm e tambe´m na˜o pode ser 6 cm.
3) Portanto a medida dos lados que foram unidos so´ pode medir 3 cm.
Na figura (II) observe que temos duas possibilidades para os lados que foram unidos e que na˜o tem
mesma medida: Observe que lado menor so´ pode ser 3 cm, pois deve ser o menor lado, veja o
triaˆngulo A nas figuras (i) e (ii).
Vemos que o maior lado de um dos triaˆngulos (que mede 6 cm) foi unido ao menor lado do outro
triaˆngulo, cuja medida e´ de 3 cm. Portanto os lados unidos medem 6 cm e 3 cm, veja figura (i).
Outra possibilidade e´ que os lados unidos edem 6 cm e 3 cm, veja a figura (ii).
b) Do item a) observe as medidas dos lados que na˜o foram unidos.
O per´ımetro da figura (I) e´ 4 + 6 + 4 + 6 = 20 cm.
E o per´ımetro da figura (II) e´ 20 cm, pois observando as figuras (i) e (ii) temos:
6 + 4 + 3 + 4 + (6− 3) = 6 + 4 + 3 + 6 + 3 + (4− 3) = 20 cm.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Questa˜o 3 [2 pts]: Considere X e Y medidas de arcos e Z a medida de aˆngulo assinalados :
Determine X + Y − Z. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Observe que X + 60◦ + Y + X + 30◦ = 360◦ ⇒ 2X + Y = 270◦ (1)
Do aˆngulo exceˆntrico externo temos
20◦ =
Y −X
2
⇒ −X + Y = 40◦ (2)
Subtraindo (2) de (1)
3X = 230◦ ⇒ X = 230
◦
3
(3)
Substituindo (3) em (2) vem
−230
◦
3
+ Y = 40◦ ⇒ Y = 40◦ + 230
◦
3
=
120◦ + 230◦
3
=
350◦
3
(4)
Do aˆngulo exceˆntrico interno temos
Z =
Y + 30◦
2
=
350◦
3
+ 30◦
2
=
350◦ + 90◦
3
2
=
440◦
3
· 1
2
=
440◦
6
=
220◦
3
(5)
De (3), (4) e (5) vem
X + Y − Z = 230
◦
3
+
350◦
3
− 220
◦
3
=
360◦
3
= 120◦
Outra soluc¸a˜o:
Observe que Y + 60◦ + X + 30◦ + X = 360◦ ⇒ 2X + Y = 270◦ (I).
Considere A,B,C,D e E, pontos da circunfereˆncia conforme figura:
Os aˆngulos EÂD, DÂB e AÊC sa˜o inscritos,
logo: EÂD =
X
2
, DÂB =
X + 30◦
2
e
AÊC =
60◦ + X
2
.
No triaˆngulo AEF , vem
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Geometria Plana – Gabarito AP1 4
Â+Ê+F̂ = 180◦ ⇒ X
2
+
X + 30◦
2
+
60◦ + X
2
+20◦ = 180◦ ⇒ 3X
2
= 180◦−(15◦+30◦+20◦)
⇒ 3X
2
= 115◦ ⇒ X = 2 · 115
◦
3
=
230◦
3
(II)
De (I) e (II) vem
Y = 270◦ − 2 · 230
◦
3
=
710◦ − 460◦
3
⇒ Y = 350
◦
3
Para encontrar o valor de Z, observe que
Z+AÊC+EÂD = 180◦ ⇒ Z+X
2
+
X + 60◦
2
= 180◦ ⇒ Z = 180◦−X−30◦ = 150◦−230
◦
3
=
220◦
3
Logo X + Y − Z = 120◦.
Alternativa para encontrar o valor de Z: trace os segmentos AC e ED, conforme figura:
Temos os aˆngulos inscritos
DÂC = DÊC =
30◦
2
= 15◦ e
ED̂A = EĈA =
Y
2
=
350◦
3
2
=
350◦
3
· 1
2
=
175◦
3
Do aˆngulo externo temos que
Z = DÂC + EĈA = 15◦ +
175◦
3
=
45◦ + 175◦
3
=
220◦
3
.
Questa˜o 4 [2 pts]: Um pol´ıgono regular convexo tem o aˆngulo interno medindo 174◦.
Determine :
a) (1,2) o nu´mero de diagonais desse pol´ıgono,
b) (0,8) o nu´mero de diagonais desse pol´ıgono que na˜o passam pelo seu centro.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Seja n o nu´mero de lados desse pol´ıgono.
a) Como o pol´ıgono e´ regular, os aˆngulos internos sa˜o iguais, portanto
Ai = 174 =
180(n− 2)
n
⇒ 174n = 180n− 360 ⇒ 6n = 360 ⇒ n = 60
Logo o nu´mero de diagonais do pol´ıgono de 60 lados e´:
d =
n(n− 3)
2
=
60(60− 3)
2
= 30 · 57 = 1710
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Geometria Plana – Gabarito AP1 5
b) O nu´mero de diagonais que passam pelo centro e´:
60
2
= 30.
Logo o nu´mero de diagonais desse pol´ıgono que na˜o passam pelo seu centro e´: 1710− 30 = 1680.
Questa˜o 5 [2 pts]: A e B sa˜o dois pontos do lado OX de um aˆngulo XÔY = 60◦ e C e´ um ponto
do lado OY , tal que OA = a, OB = 2a,BX = a e OC = 3a.
a) Mostre que os triaˆngulos OAC e XBC sa˜o congruentes. Justifique suas respostas.
b) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
a) Do enunciado temos m(XÔY ) = 60◦, A e B dois pontos do lado OX tal que OA = a, OB =
2a,BX = a. C um ponto do lado OY tal que OC = 3a:
Enta˜o OX = 3a = OC, triaˆngulo OCX e´ iso´sceles. Como m(XÔY ) = 60◦, concluimos que
triaˆngulo OCX e´ equila´tero. Enta˜o m(CX̂B) = 60◦. Como OA = BX = a, m(CÔA) =
m(BX̂C) = 60◦ e OC = CX = 3a, pelo crite´rio LAL, temos que os os triaˆngulos OAC e XBC
sa˜o congruentes. Ou seja, ∆OAC ≡ ∆XBC.
b) Do item a) como ∆OAC ≡ ∆XBC, enta˜o AC = BC. Da´ı o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
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