6.Probabilidade condicional e a Regra da Multiplicação

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Probabilidade condicional e a Regra da Multiplicação
23/11/2013 09:25:10 Bryan Mariano Martinez Alves 1
Probabilidade condicional
23/11/2013 09:25:13 Bryan Mariano Martinez Alves 2
Probabilidade condicional
Uma probabilidade condicional é a probabilidade de
ocorrer um evento, dado que um outro evento já ocorreu.
A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado
que o evento A já ocorreu, é denotada por 𝑃(𝐵|A) — lida
como “probabilidade de B, dado A”.
Resumindo
Obter a probabilidade de dois eventos ocorrerem em
sequência
Probabilidade condicional
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Exemplo
1.Duas cartas são selecionadas em sequência em um
baralho comum. Determine a probabilidade de a segunda
ser uma dama, dado que a primeira foi um rei. (Assuma
que o rei não seja recolocado.)
SOLUÇÃO
Uma vez que a primeira carta foi um rei e não foi
recolocada, restou um baralho com 51 cartas, quatro delas
são damas. Assim,
𝑃 𝐵 A =
4
51
≈ 0,078
Probabilidade condicional
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Probabilidade condicional
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Exemplo
2.A tabela à baixo mostra os resultados de um estudo no qual
pesquisadores examinaram o QI de 102 crianças e a presença
de um gene específico nelas. Obtenha a probabilidade de
determinada criança ter um QI alto, dado que ela tem o gene.
Gene presente Gene não presente Total
QI alto 33 19 52
QI normal 39 11 50
Total 72 30 102
Probabilidade condicional
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SOLUÇÃO
Existem 72 crianças com o gene. O espaço amostral, portanto,
consiste nessas 72 crianças. Delas, 33 têm QI alto.
𝑃 𝐵 A =
33
72
≈ 0,458
Gene presente Gene não presente Total
QI alto 33 19 52
QI normal 39 11 50
Total 72 30 102
Probabilidade condicional
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Exemplo
1.Determine a probabilidade de uma criança não ter o gene.
2.Determine a probabilidade de uma criança não ter o gene,
dado que ela tem um QI normal.
a.Obtenha o número de resultados no evento e no espaço
amostral.b.Divida o número de resultados no evento pelo
número de resultados do espaço amostral.
Gene presente Gene não presente Total
QI alto 33 19 52
QI normal 39 11 50
Total 72 30 102
Probabilidade condicional
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SOLUÇÃO
1.a)Existem 30 crianças sem o gene (evento). b)O espaço
amostral, portanto, consiste nessas 102 crianças.
𝑃 𝐵 A =
30
102
≈ 0,294
2.a)Existem 11 crianças sem o gene (evento) e QI normal.
b)O espaço amostral, portanto, consiste nessas 50 crianças
com QI normal.
𝑃 𝐵 A =
11
50
≈ 0,22
Eventos independentes e dependentes
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Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Dois
eventos A e B são independentes se
𝑃 𝐵 A = P(B) ou se 𝑃 𝐴 𝐵 = P(A)
Os eventos que não são independentes são dependentes.
Freqüentemente, é importante determinar se dois eventos são
independentes. Para determinar se A e B são independentes,
calcule P(B) e 𝑃 𝐵 A . Se os valores são iguais, os eventos
são independentes. Se 𝑃 𝐵 A ≠ P(B) .A e B são eventos
dependentes.
Eventos independentes e dependentes
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Exemplo
Decida se os eventos são dependentes ou independentes.
1.Selecionar um rei de um baralho comum (A), não o
recolocando, e então selecionar uma dama do baralho (B).
2.Jogar uma moeda, obter uma cara (A) e então jogar um
dado de seis faces e obter um 6 (B).
3.Praticar piano (A) e então tornar-se um pianista de concerto
(B).
Eventos independentes e dependentes
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SOLUÇÃO
1.𝑃 𝐵 A =
4
51
, 𝑃 𝐵 =
4
52
. A ocorrência de A modifica a
probabilidade da ocorrência de B, portanto, os eventos são
dependentes.
2.𝑃 𝐵 A =
1
6
, 𝑃 𝐵 =
1
6
. A ocorrência de A não modifica a
probabilidade da ocorrência de B; portanto, os eventos são
independentes.
3.Se a pessoa praticar piano, aumentam suas chances de se
tomar pianista de concerto; portanto, esses eventos são
dependentes.
Eventos independentes e dependentes
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Exemplo
Decida se os eventos são independentes ou dependentes.
Explique.
1.Um salmão passar com sucesso através de uma barragem
(A) e um outro salmão passar com sucesso pela mesma
barragem (B).
2- Exercitar-se frequentemente (A) e ter uma baixa taxa de
batimento cardíaco quando em repouso (B).
a)Decida se a ocorrência do primeiro evento afeta a
probabilidade do segundo.
b)Estabeleça se os eventos são independentes ou dependentes.
Eventos independentes e dependentes
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SOLUÇÃO
1.a) não b) independentes
2.a) sim b) dependentes
Regra da Multiplicação
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A probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem em
sequência e:
𝑃(𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵|A).
Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser
simplificada para
𝑃(𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵).
Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer
número de eventos independentes.
Regra da Multiplicação
23/11/2013 09:25:13 Bryan Mariano Martinez Alves 15
Exemplo
1.Duas cartas foram selecionadas de um baralho comum, sem
a reposição da primeira. Obtenha a probabilidade de se
escolher um rei e então se escolher uma dama.
2.São jogados uma moeda e um dado. Obtenha a
probabilidade de sair cara e depois um 6.
SOLUÇÃO
1.Uma vez que não há reposição da primeira carta, os eventos
são dependentes.
𝑃(𝐾 𝑒 𝑄) = 𝑃(𝐾) × 𝑃(𝑄|K)
Regra da Multiplicação
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SOLUÇÃO
1. 𝑃(𝐾 𝑒 𝑄) = 𝑃(𝐾) × 𝑃(𝑄|K)
=
4
52
×
4
51
=
16
2.652
≈ 0,006
Assim, a probabilidade de se escolher um rei e depois uma
dama é de cerca de 0,006.
2. Os eventos são independentes.
𝑃(𝐶 𝑒 6 ) = 𝑃(𝐶 ) × 𝑃(6)
=
1
2
×
1
6
=
1
12
≈ 0,083
Regra da Multiplicação
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=
1
2
×
1
6
=
1
12
≈ 0,083
Regra da Adição
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Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B serão mutuamente exclusivos se A e B não
puderem ocorrer ao mesmo tempo.
A e B são mutuamente exclusivos A e B não são mutuamente exclusivos
Regra da Adição
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Exemplo
Decida se os eventos são mutuamente exclusivos.
1.Jogue um dado. A. obter um 3. B: obter um 4.
2.Escolha um estudante. A. escolher um estudante do sexo
masculino. B: escolher um estudante com especialidade em
enfermagem.
3.Escolha um doador sanguíneo. A. o doador é do tipo O. B: o
doador é do sexo feminino.
Regra da Adição
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SOLUÇÃO
1.O primeiro evento tem somente um resultado, um 3. O
segundo evento também tem um resultado, um 4. Esses
resultados não podem ocorrer ao mesmo tempo, por isso os
eventos são mutuamente exclusivos.
2.Uma vez que um estudante pode ser do sexo masculino e
com especialidade em enfermagem, os eventos não são
mutuamente exclusivos.
3.Uma vez que o doador pode ser do sexo feminino com o
tipo sanguíneo O, os eventos não são mutuamente exclusivos.
Regra da Adição
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Regra da Adição
A probabilidade de o evento A ou B ocorrer P(A ou B) é dada
por
𝑃 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 𝑒 𝐵).
Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, a regra pode
ser simplificadapara
𝑃 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(B).
Essa regra simplificada pode ser estendida a um número
qualquer de eventos mutuamente exclusivos.
Regra da Adição
23/11/2013 09:25:13 Bryan Mariano Martinez Alves 22
Exemplo
1.Você seleciona uma carta de um baralho comum. Obtenha a
probabilidade de a carta ser um 4 ou um ás.
2.Você joga um dado. Obtenha a probabilidade de sair um
número menor do que 3 ou um número ímpar.
SOLUÇÃO
1.Se a carta for um 4, ela não pode ser um ás. Assim, os
eventos são mutuamente exclusivos. A probabilidade de se
selecionar um 4 ou ás é
𝑃(4 𝑜𝑢 á𝑠) = 𝑃(4) + 𝑃(á𝑠)
Regra da Adição
23/11/2013 09:25:13 Bryan Mariano Martinez Alves 23
SOLUÇÃO
1. 𝑃 4 𝑜𝑢 á𝑠 = 𝑃 4 + 𝑃 á𝑠
=
4
52
+
4
52
=
8
52
=
2
13
≈ 0,154
2.Os eventos não são mutuamente exclusivos, pois 1 é um
resultado comum a ambos os eventos. Assim, a probabilidade
de obter um número menor do que 3 ou um número ímpar é
𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3 𝑜𝑢 í𝑚𝑝𝑎𝑟) = 𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3) + 𝑃(í𝑚𝑝𝑎𝑟) − 𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3 𝑒 í𝑚𝑝𝑎𝑟)
Regra da Adição
23/11/2013 09:25:13 Bryan Mariano Martinez Alves 24
SOLUÇÃO
2.
=
2
6
+
3
6
−
1
6
=
4
6
=
2
3
≈ 0,667
𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3 𝑜𝑢 í𝑚𝑝𝑎𝑟) = 𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3) + 𝑃(í𝑚𝑝𝑎𝑟) − 𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 3 𝑒 í𝑚𝑝𝑎𝑟)