relatório- Atividades Matlab Sistemas de controle moderno

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Resumo— Neste trabalho, aborda-se o método controle 
modernos como ferramenta para simulações. Com o auxílio do 
MATLAB, foi simulada a implementação de um compensador e 
filtros em plantas distintas. Como resultado, obteve-se um sistema 
com uma resposta satisfatória, validando, deste modo, os métodos 
empregados para o sistema desejado. 
 
Palavras chave—Sistemas de controle modern, filtros e controle 
PID 
 
I. INTRODUÇÃO 
M sistema de controle consiste em componentes 
interconectados de modo a atingir o seu objetivo.Na forma 
de um sistema onde será examinado qual o modo de controle 
ideal através da analise de resposta do sinal. 
Os primeiros sistemas usavam muitas ideias de 
realimentação que são geralmente empregadas no processos 
modernos de energia alternative, automóveis híbridos, robôs e 
processo de manufatura. 
Um processo deve apresentar definição de seus objetivos e 
suas variáveis controladas, definição dos parâmetros desejados, 
do sistema, modelagem da planta a ser controlada e análise que 
será realizada. 
Esse trabalho temp or objetivo mostrar alguns métodos de 
controle através de várias plantas de acordo com a proposta do 
exercicio e será implementados filtros, além de fazermos 
análise dos resultados obtidos da simulação e dos cálculos 
realizados. 
II. MODO DE CONTROLES 
Neste tópico iremos explicar os modos de controle que foram 
utilizados ao para manipulação do sistema. 
 
1) Controle com retardo no tempo (Atraso de transporte) 
Um retardo no tempo é o intervalo de tempo que será 
implementado no inicio de uma atividade em um detarminado 
ponto no sistema, esperando que a sua ação seja em outro ponto 
do sistema. Através do critério de Nyquist pode ser utilizado 
para determinação do efeito de retardo no tempo na estabilidade 
 
 
relativa com realimentação. O retardo sem atenuação pode ser 
representado pela seguinte expressão na função de 
transferência: 
𝐺𝑑(𝑠) = 𝑒
−𝑠𝑇 
 Onde T é o retardo no tempo. Vale ressaltar que essa 
expressão é válida por não acrescentar polos e zeros no 
sistemas, assim não apresentando interferencia na função de 
transferência em sim, apenas no deslocamento de fase em 
frequencia sem alterar a magnitude do sistema. 
Esse tipo de retardo ocorre porque o sistema geralmente 
possue movimento de um material onde requer um tempo 
infinito passando de um ponto de entrada ou de um controle 
para um tempo de saída ou determinado pelo atraso. 
2) Controle PI 
O objetivo do controle PI é exatidão do sistema em regime 
permanente para compensar a falta de integração na função de 
trnaferência em malha aberta sem compensaçãoe manter o 
desempenho transitório dentro de limiter razoáveis. 
Uma forma de proporcionar essa integração é utilizando o 
controlador proporcional integrative, o qual possui a seguinte 
função de tranferência para o sistema: 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 +
𝐾𝑖
𝑠
 
Ao colocar esse tipo de controlador no sistema, pode-se 
observer também que o erro em regime permanete para entrada 
em rampa tem um decaída significante. 
 
3) Sistemas de controle ótimo 
O propósito da sua aplicação é conceber um sistema com 
components práticos e que fornece o desemprenho de operação 
de acordo com o desejado. Os sistemas são ajustáveis com a 
finalidade de fornecer índices de desempenho minímo , esse 
sistema são descrito em variáveis de estado, considerando que 
a medição das variáveis de estado e utilização no 
desenvolvimento de um sinal de controle. De modo que 
desempenho do sistema seja o melhor possível 
O sistema pode ser descrito da seguinte maneira: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 
De modo que u seja a realimentação do sistema e x as 
variáveis de estado. 
Sistemas de Controle 
Aline Evangelista Rubenich 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - Campus Cuiabá Cel. Octayde 
Jorge da Silva, Departamento da Área de Eletroeletrônica, Cuiabá, Brasil 
 
U 
 2 
4) Controle Robusto PID 
Um sistema robusto apresenta o desempenho desejado a 
despeito da presença de incertezas significativas do 
processo.[1] 
O objetivo desse tipo de sistema é garantir que o desempenho 
mantenha apesar das inexatidões do modelo e suas variações, 
ou seja, apresenta variações aceitaveis devido a variações e 
imexatidões da modelagem. 
Na realização do projeto de controle robusto obtem um 
sistema que apresente seu desempenho adequado sobre uma 
variação muito grande na faixa dos parâmetros incertos. Pode 
afirmar que um sistema é robusto quando ele é durável, 
resistente e resiliente, ou seja, ele apresenta uma sensibilidade 
pequena, é estável mesmo com variação dos parâmentros e seu 
desempenho é sempre contínuo. 
Os controladores PID são utilizados para redução do erro em 
regime permanente e melhorar a resposta no estado transitório. 
Mas para determinação dos coefientes PID pensando em um 
controle robusto é basicamente um problema, pois não são 
introduzidos diretamente no sistema nas caracteristicas de 
desempenho e de rosbustez desejada. 
III. EXERCÍCÍOS 
Neste tópico iremos mostrar com foi a realização dos 
controladores nas determinadas plantas e iremos mostrar os 
resultados além de discutir. 
1) PP9.11 
A malha de controle principal de uma usina de energia 
nuclear inclui retardo no tempo devido à necessidade de se 
conduzir o fluido do reator de transferência do controlador que 
é: 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 +
𝐾𝑖
𝑠
 
A função de transferência do reator e do retardo no tempo é: 
𝐺(𝑠) =
𝑒−𝑠𝑇
𝜏𝑠 + 1
 
No qual T=0.4s e 𝜏=0.2s. Usando métodos de resposta em 
frequência, projete o controlador de modo que a máxima 
ultrapassagem do sistema seja M.U.P<10%. Com este 
controlador na malha estime a máxima ultrapassagem e o tempo 
de acomodação(com um critério de 2%) para um degrau 
unitário. Determine a máxima ultrapassagem e o tempo de 
acomodação reais e compare com os valores estimados. 
 
Resposta: 
Primeiramente foi calculado no matlab o valor da função de 
transferência do reator e do retardo no tempo para os parâmetros 
definidos no exercício 
 
%G(s) 
[np,dp]=pade(0.4,1); 
den1=conv(dp,[0.2 1]); 
sys1=tf(np,den1) 
 
Que obtivemos a seguinte expressão: 
𝐺(𝑠) =
−𝑠 + 5
0.2𝑠2 + 2𝑠 + 5
 
Logo, com esses valores fizemos o cálculo da função de 
transferência em malha fechada do sistema para gerar o falor da 
equação caracteristica deste sistema. 
(𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝑖) ∗ (−𝑠 + 5)
𝑠 ∗ (0.2𝑠2 + 2𝑠 + 5) + (𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝑖) ∗ (−𝑠 + 5)
 
 
Equação característica do sistema: 
𝑠3 + 𝑠2(2 − 𝐾𝑝) + 𝑠(5 + 5𝐾𝑝 − 𝐾𝑖) + 5𝐾𝑖 
Comparando com a tabela 5.6 do livro de referência, temos a 
seguinte equação para comparer obtermos os valores de 𝐾𝑝 e 
𝐾𝑖: 
 
𝑠3 + 1.75𝑤𝑛𝑠2 + 2.15𝑤𝑛2𝑠 + 𝑤𝑛3 
 
Através dela, podemos concluir que o valor de 𝐾𝑖 é: 
𝐾𝑖 =
(𝑤𝑛3)
5
 
E o valor de 𝐾𝑝 é: 
 
𝐾𝑝 = 2 − 𝑤𝑛 ∗ 1.75 
Com os parâmetros descritos no enunciado, podemos obter 
os valor no seguinte equacionamento: 
mpu=10; 
 3 
ts=1; 
pos=mpu/100; 
 
qsi = sqrt((log(pos))^2/(pi^2 + 
(log(pos))^2)) 
wn = 4/(qsi*ts) 
 
 Quando inserimos no matlab a substituição do valores da 
função transferencia já implementado obtemos o seguinte 
gráfico em degrau unitário: 
%G(s) 
[np,dp]=pade(0.4,1); 
den1=conv(dp,[0.2 1]); 
sys1=tf(np,den1) 
%Gc(s) 
%Para o calculo de Kp e Ki, é necessário 
a tabela 5.6 
%P=[1 wn*1.75 3.25*wn^2 wn^3] 
%fazendo os calculo podemos obter que a 
equação caracteristica para esse 
%sistema é: 
%eq=[0.2 2-kp 5+5*kp-ki 5*ki] 
%assim determinamos os valores de Kp e Ki 
 
kp=2-wn*1.75; 
ki=(wn^3)/5;num1=[kp ki]; 
den=[1 0]; 
sys2=tf(num1,den); 
sys=series(sys1,sys2) 
 
%Função degrau 
step(sys)
 
2) PC10.7 
Um sistema de guiamento por feixe transversal possui uma 
malha interna, onde a função de transferência para a aeronaval 
coordernada é [26]. 
 
𝐺(𝑠) =
23
𝑠 + 23
 
Considere o controlador PI 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 +
𝐾𝑖
𝑠
 
a)projete um sistema de controle para atender as seguintes 
especificações: tempo de acomodação (com um critério de 
2%) para uma entrada em degrau unitário menos que 1s e 2 
erro de rastreamento em regime permanente para uma entrada 
rampa unitária menos que 0.1 
Resultado: 
 Foi realizado o calculo da função de transferência em malha 
fechada que obtendo a seguinte equação: 
(𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝑖) ∗ 23
𝑠2 + 23𝑠(1 + 𝐾𝑝) + 23𝐾𝑖
 
Com o tabela 5.6 temos a seguinte equação 
𝑠2 + 1.4𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2 
Através do valor do erro em regime permanente podemos 
calcular o valor de 𝐾𝑖, que é igual a 1. Assim, o valor de wn será 
igual a 0.23. Permitindo a achar o valor de 𝐾𝑝 
%G(s) 
num1=23; 
den1=[1 23]; 
sys1=tf(num1,den1); 
 
wn=0.23 
 
%Gc(s) 
kp=(1.4*wn-23)/23 
%kp=10 
ki=0.1 
num2=[kp ki]; 
den2=[1 0]; 
sys2=tf(num2,den2); 
sys=series(sys1,sys2); 
f=feedback(sys,1); 
 
Assim, se analisarmos o controlador no sistema em rampa 
unitária e degrau temos o seguinte gráfico: 
%Função da rampa 
t=[0:0.01:1]; 
subplot(2,1,1) 
ys=step(sys,t); 
plot(t,ys); 
grid on 
title('degrau'); 
u=t; 
yr=lsim(sys,u,t); 
subplot(2,1,2); 
plot(t,yr); 
title('rampa') 
grid on 
 4 
 
 
3) PA11.13 
Considere o sistema representado na forma de variáveis de 
estado: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 
Em que: 
𝐴 = (
1 2
−6 −12
) 
𝐵 = (
−5
1
) 
𝐶 = (4 − 3) 
𝐷 = (0) 
Verifique que o sistema é observavél e controlável. Se for 
uma lei de realimentação de estado complete e um observador 
alocando polos do sistema em malha fechada em 𝑠 = −1 ± 𝑗 e 
os polos do observador em 𝑠 = −12 
 
Resposta: 
 No matlab, conseguimos ter os valores do sistema se ele é 
observável e controlável, através do seguinte comando: 
A=[1 2;-6 -12] 
B=[-5;1]; 
C=[4 -3]; 
PC=[-5 -3; 1 18] 
PO= [4 -3; 22 44] 
 
qc=det(PC) 
qo=det(PO) 
 
Como a terminante de PC e PO são diferentes de zero, 
podemos concluir que é observável 
PC = 
 -5 -3 
 1 18 
 
PO = 
 4 -3 
 22 44 
 
 
qc = 
 
 -87 
 
 
qo = 
 
 242 
 Assim, através da função acker no matlab, podemos obser 
qual o valor de K e L para a lei de realimentação 
%Ganho controlador 
gc=[-1-1*j;-1+1*j]; 
K=acker(A,B,gc) 
 
%Ganho observador 
go=[-12;-12]; 
F=A'; 
P=C'; 
L=acker(F,P,go) 
 
 
K = 
 
 3.0230 6.1149 
 
 
L = 
 
2.3760 -1.1653 
 
 
4) PC11.11 
Considere o sistema de terceira ordem 
�̇� = ⟦
0 1 0
0 0 1
−4.3 −1.7 −6.7
⟧ 𝑥 + ⟦
0
0
0.35
⟧ 𝑢 
𝑦 = ⟦0 1 0⟧𝑥 + [0]𝑢 
a)usando a função acker, determine uma matriz de ganho de 
realiamentação de estado complete e uma matriz de ganho do 
observador para alocar os polos do sistema em malha fechada 
em 𝑠 = −1.4 ± 𝑗1.4;-2 e os polos do observador em 𝑠 =
−18 ± 𝑗5; −20 b)Construa o campensador com variáveis de 
estado.c)Simule o sistema em malha fechada com as condições 
iniciais de estado 𝑥(0) = (1 0 0)𝑇 e a estimação de estado 
inicial de �̂�(0) = (0.5 0.1 0.1)𝑇 
Resposta: 
a)Primeiramente foi só realizado o comando acker nas equação 
de estado com a alocação dos polos e zeros no sistema 
A=[0 1 0 0;0 0 1 0; 0 0 0 1;-2 -5 -1 -
13]; 
B=[0;0;0;1]; 
C=[1 0 0 0]; 
D=[0]; 
 
 5 
%Ganho controlador 
cg=[-1.4-1.4*j;-1.4+1.4*j;-2+j;-2-j]; 
K=acker(A,B,cg) 
 
%Ganho observador 
og=[-18-5*j;-18+5*j;-20;-20]; 
L=acker(A',C',og); 
L=L' 
 
Resultado: 
K = 
 10.1143 22.3429 -5.4286 
L = 
 1.0e+03 * 
 
 -1.6223 
 0.0493 
 0.7370 
Após foi simulado o sistema em malha fechada com as 
condições e estimação iniciais pedidas no enunciado. 
%Simulação malha fechada com as condições 
Ac=[A -B*K;L*C A-B*K-L*C] 
Bc=[zeros(6,1)] 
Cc=eye(6) 
Dc=zeros(6,1) 
sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc) 
x=[1;0;0;0.5;0.1;0.1]; 
t=[0:0.001:3.5]; 
[y,t]=initial(sys,x,t); 
subplot(311) 
plot(t,y(:,1),t,y(:,4),'--'), grid 
subplot(312) 
plot(t,y(:,2),t,y(:,5),'--'), grid 
subplot(313) 
plot(t,y(:,3),t,y(:,6),'--'), grid 
 
 Onde a linha continua é o estado verdadeiro e o tracejado é o 
valor Estimado do sistema. 
 
5) PC11.13 
Considere o sistema na forma de variáveis de estado 
�̇� = ⟦
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
−2 −5
0 1
−1 −13
⟧ 𝑥 + ⟦
0
0
0
1
⟧ 𝑢 
𝑦 = ⟦1 0 0 0⟧𝑥 + [0]𝑢 
Projete uma matriz de ganho de reaimentação de estado 
complete e uma matriz de ganho do observador para alocar os 
polos do sistema em malha fechada 𝑠 = −1.4 ± 𝑗1.4; −2 ± 𝑗 e 
os polos do observador em 𝑠 = −18 ± 𝑗5; −20. Construa um 
compensador com variávies de estado e simule o sistema em 
malha fechada no simolink. Escolha vários valores de estados 
iniciais e estimativas de estado inicial no observador e mostre 
os resultados de rastreamento em um gráfico x-y. 
Resposta: 
 
Primeiro foi encontrado a matriz de ganho através da função 
acker com os polos e zeros alocados. 
A=[0 1 0 0;0 0 1 0; 0 0 0 1;-2 -5 -1 -
13]; 
B=[0;0;0;1]; 
C=[1 0 0 0]; 
D=[0]; 
 
%Ganho controlador 
cg=[-1.4-1.4*j;-1.4+1.4*j;-2+j;-2-j]; 
K=acker(A,B,cg) 
 
%Ganho observador 
og=[-18-5*j;-18+5*j;-20;-20]; 
L=acker(A',C',og); 
L=L' 
 
Após foi realizado a simulação para os parâmetros desejado 
para ser comparado com o gráfico obtido no Simulink 
Command: 
 6 
%Simulação malha fecha com os parâmetros 
do observador 
Ac=[A -B*K;L*C A-B*K-L*C] 
Bc=[zeros(8,1)] 
Cc=eye(8) 
Dc=zeros(8,1) 
sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc) 
x=[1;0;0;0;0.5;0.1;0.1;0.1]; 
t=[0:0.001:10]; 
[y,t]=initial(sys,x,t) 
subplot(311) 
plot(t,y(:,1),t,y(:,4),'--'), grid 
subplot(312) 
plot(t,y(:,2),t,y(:,5),'--'), grid 
subplot(313) 
plot(t,y(:,3),t,y(:,6),'--'), grid 
 
 
Sendo o traço contínuo o sistema real e o tracejado o 
esperado com o controlador. 
No Simulink foi adicionada no seguinte esquema: 
 
Sendo que os valores inseridos na planta foi o que o exercício 
forneceu e a equação do compensador foi: 
�̈� = [𝐴 − 𝐵𝐾 − 𝐿𝐶]�̇� + 𝐿𝑦 
𝑢 = −𝐾�̇� 
Sendo que 𝐴 − 𝐵𝐾 − 𝐿𝐶 foi feito o calculo no matlab, tendo 
o resultado igual a: 
 
 1.0e+04 * 
 
 -0.0063 0.0001 0 0 
 -0.1369 0 0.0001 0 
 -1.0495 0 0 0.0001 
 -0.1499 -0.0030 -0.0020 -0.0007 
 
 
Obtendo o seguinte gráfico xy 
 
 
6) PA12.3 
Os sistemas de frenagem antiderrapantes oferem um 
problema de controle desafiador, uma vez que as variações dos 
parâmetros do sistema freio/automóvel podem ser muito 
significativas (por exemplodevido a variações no coeficiente de 
atrito das pastilhas de freio ou variações no coefiente na 
inclinação da Estrada) e as condições ambientais influenciam 
muito (por exemplo, devido as condições desfavoráveis da 
rodovia). O objetivo do sistema antiderrapagem é regular o 
escorregamento da roda para maximizar o coeficiente de atrito 
entre o pneu e a estrada para qualquer superfície de Estrada. 
Como esperado, o coeficiente de atrito de frenagem é máximo 
para asfalto seco, levementereduzido para asfalto molhado. 
Um modelo simplificado do sistema de frenagem é 
representado por uma função de transferencia de planta G(s) 
com um sistema como mostrado na figura com: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
 
Em que a=1 e b=47 
a)usando um controlador PID, projete um sistema muito 
robusto no qual, para uma entrada em degrau, a máxima 
ultrapassagem seja menor que 4% e o tempo de acomodação 
(com critério de 2%) seja 1segundo ou menos. O erro em regime 
permanented eve ser menos que 1% para um degrau. O erro em 
regime permanented eve ser menor que 1% para degrau. 
Espera-se que a e b variem de ±50% 
b)projete um sistema para atender as especificações da parte 
a usando um indice de desempenho ITAE. Prediga máximo de 
ultrapassagem e o tempo de acomodação para este projeto 
 
Resposta: 
 
Primeiramente foi realizado o calculo da equação 
característica do sistema, isso através da G(s) com o controlador 
Gc(s). 
𝐺𝑐(𝑠) =
𝐾𝑑𝑠
2 + 𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝑖
𝑠
 
Através dela obtem a equação do sistema: 
𝑃𝑑(𝑠) = 𝑠
3 + 𝑠2(𝐾𝑑 + 5) + 𝑠(𝐾𝑝 + 4) + 𝐾𝑖 
Comparando com a equação da tabela 5.6 tem-se: 
 
𝑃(𝑠) = 𝑠3 + 1.75𝑤𝑛𝑠2 + 2.15𝑤𝑛²𝑠 + 𝑤𝑛³ 
Adotando 𝜀 = 0.8 calculando com o tempo de acomodação 
igual a 1 temos: 
𝑤𝑛 =
4
0.8 ∗ 1
= 5 
Assim, conseguimos obter o valores de 𝐾𝑑 , 𝐾𝑝 e 𝐾𝑖 
%a) 
ts=1; 
% ess=1; 
wn=4/0.8 
%P(s)=s^2+1.4*wn*s+wn^2 
KI=wn^3 
KP=(3.25*wn^2)-4 
KD=1.75*wn-5 
KI = 
 
 125 
 
 
KP = 
 
 77.2500 
 
 
KD = 
 
 3.7500 
 
Obtendo a seguinte função transferência do sistema: 
3.75𝑠2 + 77.25𝑠 + 125
𝑠3 + 8.75𝑠2 + 81.25𝑠 + 125
 
 
 
 
 Com o filtro inserido no sistema tem a seguinte resposta: 
 
Filtro: 
125
𝑠3 + 8.75𝑠2 + 81.25𝑠 + 125
 
%b 
%filtro 
numf=[125] 
denf=[1 8.75 81.25 125] 
sysf=tf(numf,denf) 
syso=sysf/sys 
step(syso) 
 
IV. CONCLUSÃO 
A eficiência de um controlador pode ser determinada através 
do desempenho que espera no resultado do projeto, ou seja, a 
eficiência é comprovada quando o controlador consegue 
regularizar a resposta de saída dentro dos indices de 
desempenho esperado. 
Pode-se perceber que alguns controladores desenvolvidos 
neste trabalho não atingiram as especificações pretendidas com 
tanta precisão. Isto não significa que são metodologias de 
controle ineficazes, mas somente que não atenderam aos 
 8 
requisitos propostos para o sistema de controle. Ou seja, cada 
controle vai depender da demanda necessária. 
REFERENCES 
[1] DORF, R. C.; BISHOP, R. H.Sistemas de Controle Modernos, 12ed. Rio 
de Janeiro:LTC - Livros Técnicos e Científicos