Capítulo 1 Fundamentos de Transferência de Massa Eduardo Baston

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1. Fundamentos de Transferência de Massa 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI 
CAMPUS ALTO PARAOPEBA 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
Prof. Eduardo Prado Baston 
baston@ufsj.edu.br 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
1.1. Introdução 
Alguns problemas mais típicos da engenharia química pertencem ao campo do 
transporte de matéria. O Engenheiro Químico deve possuir a habilidade de projetar 
e operar equipamentos onde ocorrem reações químicas e separação dos reagentes 
baseando-se no conhecimento da ciência do transporte de massa. 
 
As aplicações são variadas no campo da engenharia: processos metalúrgicos, aviação, 
tratamento de resíduos e controle de poluição, secagem, evaporação, reações 
químicas homogêneas ou heterogêneas, extração, entre outros. 
 
Muitos problemas que surgem na consideração desses processos podem ser resolvidos 
visualizando estes processos ppelo lado externo do seu envoltório físico, ou seja, a variação 
no interior desse envoltório são medidas pelas propriedades das taxas que entram e saem do 
processo entre o envoltório e suas vizinhanças. Entretanto, em muitas situações é 
interessante considerar os detalhes do que se passa no interior do envoltório, sendo 
necessário escrever balanços de massa para um volume de controle pequeno ou diferencial. 
Por esse método obtemos, então, um panorama do que acontece no interior do envoltório e, 
integrando-se podemos obter informações globais do processo. 
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Macroscópico 
(informação global) 
Microscópico 
(conhece cada ponto lá dentro) 
Molecular (forças 
intermoleculares 
Figura 1.1 – Descrição das dimensões Macro, Micro e molecular. 
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1.2 – O Fenômeno 
A fenomenologia da transferência de massa é dada pela termodinâmica. Pelo fato de um sistema 
estar em equilíbrio termodinâmico nos leva a admitir que a variação da entropia do sistema 
(de acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica) é igual ou maior que zero (para qualquer 
processo), ou seja 
 DS ≥ 0 (1.1) 
Onde, DS é a variação da entropia total. 
A equação (1.1) indica que diferentes valores do potencial químico (mi) de uma espécie i 
provocam a tendência de a matéria migrar de uma região de alto valor para uma região de 
menor valor desse potencial. Portanto, 
 Dmi ≠ 0 (onde i é a espécie química, i = 1,2,3,…, n) (1.2) 
Tais diferenças mostram que diferentes valores do potencial químico da espécie i provocam a 
situação de não equilíbrio. Em resumo, se existe modificação há fenômeno, que é decorrência 
da diferença de potencial químico da espécie i. Essa diferença é a característica básica do 
fenômeno de Transferência de Massa (T.M.). 
 
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1.3 – Transferência de Massa 
Como já discutido, de acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica, haverá fluxo de matéria 
(mássico ou molar) de uma região de maior concentração para menor concentração 
de uma determinada espécie química. Esta espécie química transferida é 
denominada soluto e as regiões que contem o soluto podem abrigar população de 
uma ou mais espécies químicas distintas são denominadas solvente. O conjunto 
soluto-solvente é conhecido como mistura (gases) ou solução (líquidos). 
 Diferença de 
concentração 
 Transferência de Massa 
 da espécie química A 
 
 Mecanismo 
 
 Difusão 
 
 Convecção 
“Transferência de Massa é um fenômeno ocasionado pela diferença de 
concentração, maior para menor, de um determinado soluto em um certo meio.” 
 
Observa-se, pelo enunciado, que para cada causa há um efeito, 
 
 
 
 
Portanto, a causa gera o fenômeno, provoca a sua transformação, ocasionando 
o movimento. 
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 Causa = Diferença de Concentração 
Efeito = Transferência de Massa 
 
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A diferença de concentração do soluto (causa) é considerrada como uma força 
motriz necessária ao movimento da espécie A, de uma região a outra, onde 
 
 
 
A resistência ao transporte está relacionada com a: 
(i) interação Soluto-Meio; 
(ii) interação Soluto-Meio + Ação Externa. 
 
  Motriz) Força.(
Transporte ao aResistênci
1
 Matéria da Movimento 






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O transporte de matéria ocorre em nível molecular e/ou microscópio. 
No caso do Mecanismo Molecular, Parrot (1815), foi o primeiro observador a 
constatar que uma mistura gasosa contendo uma ou mais espécies químicas com 
concentrações variando de um ponto a outro tendiam naturalmente à 
homogeneização em termos de concentração. 
 - Quando há movimento aleatório das moléculas, cujo fluxo líquido obedece a 
Segunda Lei da Termodinâmica, onde a força motriz está associada ao gradiente 
de concentração do soluto, o fenômeno que ocorre é denominado 
 Difusão (interação-meio-soluto). 
 
- Quando a T.M. ocorre em nível macroscópico, onde a força motriz está 
associada à diferença de concentração do Soluto e a Resistência ao Transporte 
à interação Soluto-Meio + Ação Externa, o fenômeno é denominado 
Convecção. 
Portanto, os mecanismos de T.M. podem ser distinguidos como: 
a) Difusão: deslocamento de átomos ou moléculas devido à uma diferença de 
concentração (interações moleculares); 
b) Convecção: deslocamento de um fluido (ou matéria), macroscópico, que 
contribui para o transporte. 
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Podemos identificar os fenômenos como: 
 
 
 
Contribuição Difusiva 
 
 
 
 
Contribuição Convectiva 
Soluto = 
 
Meio = 
 
Movimento = 
Soluto = 
 
Meio = 
 
Movimento = 
Surfista 
 
Mar 
 
 Mãos 
Surfista 
 
Mar 
 
 Onda 
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Podemos identificar os fenômenos como: 
 
 
Contribuição Difusiva 
 + 
 Convectiva 
 
 
 
Soluto = 
 
Meio = 
 
Movimento = 
Surfista 
 
Mar 
 
 Mãos + Onda 
Para analisarmos a T.M. é necessário ter como base a hipótese do contínuo, 
onde são definidas propriedades importantes dos fluidos e da forma pelas quais 
eles podem ser descritos e caracterizados: 
- Cada ponto no espaço corresponde a um ponto do fluido (um átomo ou 
molécula); 
- Não existem vazios no interior do fluido; 
As grandezas r, V, P, Velocidade, variam continuamente dentro do fluido ou 
são constantes; 
- As propriedades físicas de um fluido , de acordo com este modelo, têm um 
valor definido (mensurável) em cada ponto no espaço. 
 
A partir dessas considerações, vamos a algumas definições importantes: 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a rd o P . B a s t o n 
1.4. Concentracões e Frações 
(1.3) 
(1.4) 
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(1.5) 
(1.6) 
(1.3) 
(1.3) 
(1.3) 
(1.3) 
(1.7) 
(1.8) 
(1.3) 
(1.3) 
(1.9) 
(1.10) 
(1.3) 
1.5. Velocidades 
a) CA0 > CA ( significa dizer que pela difusão 
mássica, a espécies química “A” tenderá se 
deslocar com uma velocidade média vA do 
início do reator para o final. 
b) CB0 < CB (significa dizer que pela difusão 
mássica, a espécie química “B” tenderá a se 
deslocar com a velocidade média vB do final 
do reator para o início); 
 
Como existe difusão de massa no sentido inverso ao do gradiente de 
concentração vA > v e vB < v) as velocidades de difusão de A e B serão, 
respectivamente, 
 
c) vA – v > 0 , ou seja, difusão para frente; 
 
d) vB – v < 0 , ou seja, contradifusão. 
a) (15 v.w
ρ
v.ρ
ρ
v.ρ
v
ou
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii







 



(1.3) 
(1.11) 
a) (16 v.x
C
v.C
C
v.C
v
ou
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
* 






 



(1.12) 
(1.11) 
(1.11) 
(1.11) 
1.6. Fluxos 







Área.Tempo
mol) (ou Massa
 tração)e).(concen(velocidad(Fluxo)
Define-se Fluxo da espécie “i” da solução ou mistura em relação a um eixo de 
coordenadas fixo como o produto entre a concentração mássica (ou molar) e a 
velocidade absoluta da espécie “i”. 
 
 (1.13) 
 
Vamos considerar a seguinte situação: 
Diversos cardumes passam por debaixo de uma ponte, a qual está situada 
perpendicularmente ao escoamento do rio. No rio há diversas espécies de 
peixes. 
Existe uma velocidade média absoluta inerente a cada espécie, que está 
associada ao seu cardume. Se considerarmos o cardume do peixe “i”, a sua 
velocidade média será vi. 
Quando referenciarmos a velocidade do cardume “i” à do rio, teremos a 
velocidade de difusão da espécie “i”. 
 
Considerando a metáfora dos peixes acima existem, portanto, três velocidades: 
I. (Velocidade do Rio); 
II. (Velocidade de Difusão) = (Velocidade do Cardume – Velocidade do Rio); 
 que é a velocidade do cardume A referenciada à do rio (Solução Diluída) 
III. (Velocidade Absoluta do Cardume) = (Velocidade do Cardume – 
Velocidade da Ponte) = (Velocidade do Cardume – 0). 
que é a velocidade do cardume A referenciada a um eixo estacionário 
 
Então, 
Caso I – Rio arrasta o cardume; 
Caso II – Cardume A difunde no rio; 
Caso III – Fluxo total do cardume A, referenciado a um eixo estacionário, que é 
dado por: 
 
 
 
Ou, 
 (Caso III) = (Caso II) + (Caso I) (1.14) 
 


















rio do escoamento do 
resultante Ade Movimento
rio nonadar de ato do 
decorrente Ade Movimento
Ponte da Observado
 Ade Movimento 
O Caso II implica na interação Cardume A ↔ Rio (Fenômeno Difusivo). 
Portanto, o fluxo associado será devido à Contribuição Difusiva: 
 
 (1.15) 
 
Suponha agora que o cardume se deixa levar pelo rio. O movimento do 
cardume será devido à velocidade do meio. Portanto, o fluxo associado será 
devido à Contribuição Convectiva: 
 
 (1.16) 
 
 
z) direção na Ademolar (Fluxo )v - (vCJ
*
zzA,A
 *
zA, 
 .vCJ
*
zA
C *
zA, 
Logo, a equação 1.14 pode ser descrita como: 
 
 (1.17) 
A equação (1.17) representa o Fluxo Total decorrente do Cardume A nadar, 
enquanto o rio estiver escoando (válida para fluxo unidirecional de qualquer 
espécie química A, referenciada à coordenada estacionária z. Pode ser escrita, 
também, como: 
 
 (1.18) 
 
Assim, o fluxo molar total de A referente a eixos estacionários será: 
 
 (1.19) 
 
 .vC )v - (vCN
*
zA
*
zzA,AzA, 























Convectiva 
 ãoContribuiç
Difusiva 
 ãoContribuiç
ioestacionár eixo 
um a dareferencia A
Espécie da Total Fluxo
 v.C )v - v(CN
*
A
*
AAzA,


Ou, 
 (1.20) 
(Fluxo absoluto molar da espécie A) 
ou 
 (1.21) 
(Fluxo absoluto mássico da espécie A) 
 
A Tabela 1.1 apresenta um resumo das definições dos fluxos de massa ou 
molar. 
 
 v.CN AAzA,


 v.n AAzA,
 r
Grandeza 
Com relação à eixo 
estacionários 
Com relação à 
velocidade média 
mássica (v) 
Com relação à 
velocidade média 
molar (v*) 
Velocidade da 
espécie i (cm/s) 
vi vi - v vi – v* 
Fluxo mássico 
da espécie i 
(g/cm2.s) 
ni = rivi ji = ri(vi – v) 
Fluxo molar da 
espécie i 
(mol/cm2.s) 
Ni = Ci.vi Ji* = Ci(vi – v*) 
Soma dos fluxos 
mássicos 
Soma dos fluxos 
molares 
Relações entre 
os fluxos 
mássico e molar 
ni = Mi.Ni 



n
1i
i ρ.vn 


n
1i
i 0j



n
1i
i *C.vN 


n
1i
*
i 0J
(A) (B) (C) 
(D) (E) 
(F) (G) 
(H) (I) 
(J) (K) 
(L) 
1.7. A Primeira Lei de Fick 
 
 
Consideremos o fenômeno da difusão de gases onde duas moléculas gasosas de baixa 
densidade e monoatômicas (esféricas e da mesma espécie) colidem entre si. Supondo 
um choque elástico1, ambas as moléculas seguirão rumos aleatórios, desencadeando 
sucessivos choques. 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
1Colisão elástica ou choque elástico - colisão entre dois ou mais corpos na qual estes não sofrem deformações permanentes durante o 
impacto, conservando-se tanto o momento linear como a energia cinética do sistema, e não há intercâmbio de massa entre os corpos, que 
se separam depois da colisão. 
As moléculas tenderão a ocupar espaços vazios onde sua população seja menor, 
conforme apresentado nos planos A, O e B da Figura 1.1. Observe que os planos 
contêm concentrações distintas do soluto em análise. 
 
Figura 1.1 – Colisões entre diversas moléculas 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
A diferença entre as concentrações possibilita o fluxo de matéria, conforme apresentado 
na Figura 1.2. 
 
As moléculas do plano A colidirão com outras somente quando atingirem o plano B, do 
qual irão se deslocar através de uma distância l para colidirem com aquelas do plano B. 
 
Figura 1.2 – Fluxo líquido da população molecular representado na direção z 
 
Onde, 
 
CA* = CAA - CAO (1.22) 
 
e 
 
CA* = CAO - CAB (1.23) 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Para obter o fluxo de matéria, podemos associar o fluxo de A que passa pelo plano O, na 
direção z, à concentração CAO=CA│z, enquanto que, no plano A teremos CAA=CA│z-Dz/2, 
no plano B teremos CAB=CA│z+Dz/2. Portando, para obter CA*, podemos fazer: 
 
 
 
 
 
(1.24) 
dz
dC
λC
Portanto,
λ
C
dz
dC
ou
dz
dC
Δz
CC
A*
A
*
AA
AΔz/2zAΔz/2zA
0Δz
lim



 

Subst.A eq. (1.24) em (1.22) e (1.23), obtemos: 
 
 
 
 
 
 
(1.26) 
dz
dC
λC
(1.25) 
dz
dC
λC
A
A
A
A
B
A


O
O
A
A
C
C
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O fluxo líquido da espécie A (J*Ai,z) que passa por um plano i, no sentido z+, é obtido 
pelo produto da velocidade média molecular (u) com o valor da concentração de A (CAi) 
contido no plano i. No espaço tridimensional, as moléculas fluem em qualquer sentido e 
direção, portanto o fluxo líquido da espécie A no plano A e na direção z é: 
 
 
 
 
 
 
 
(1.30) JJJ
seja,ou 
sai) que (fluxo-entra) que (fluxolíquido) (Fluxo
:é B eA planos os entre situado planoqualquer em líquido fluxo O
(1.29) 
dz
dC
λCu
6
1
J
:B plano ocruzar aoA espécie da fluxo o temosanálogo, modo De
 (1.28) 
dz
dC
λCu
6
1
J
:(1.27) eq. na (1.25) eq. da C Subst.
(1.27) uC
6
1
J
***
A
Az,A
A
Az,A
A
AA
z,BAz,AAzA,
OB
OA
A
AzA,

















T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
(1.33) 
dz
dC
DJ 
:Obtemos
(1.32) uλ
3
1
D
 Definindo,
(1.31) 
dz
dC
uλ
3
1
J
dz
dC
λCu
6
1
dz
dC
λCu
6
1
J
:(1.30) eq. na (1.29) e (1.28) eq. as Subst.
 
A
AA
*
zA,
AA
A*
zA,
A
A
A
A
*
zA, OO
















 Essa equação é denominada como a primeira lei de Fick. 
 
Onde, o sinal negativo indica o decréscimo da concentração da espécie A com o sentido do 
fluxo; l – caminho livre médio; JA,z – fluxo difusivo da espécie A na direção z; DAA – coeficiente 
de difusão (neste caso, autodifusão, pois A difunde-se num meio constituído dela própria. 
 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Analisando a equação (1.33) e comparando com a expressão (I), verificamos: 
Motriz) (Força
dz
dC
)Transporte ao ia(Resistênc
1
D
Matéria) de (Movimento J
(I) Motriz) .(Força
)Transporte ao ia(Resistênc
1
 Matéria) de (Movimento
(1.33) 
dz
dC
DJ 
A
AA
*
A
AA
*
zA,
zA,





OBSERVAÇÃO: A primeira lei de Fick aplica-se, empiricamente, ao fenômeno de 
difusão em qualquer estado da matéria, e o coeficiente de difusão nasce da 
interação soluto-meio para qualquer meio físico, distinto ou não do soluto. 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Para um sistema binário com a velocidade média constante na direção z, o fluxo molar 
na direção z relativo à velocidade média molar é dado pela equação (1.15), 
 
*
zA
A
ABzA,A
A
AB
*
zzA,A
*
A
A
A
AB
*
*
zzA,A
*
vC
dz
dy
CDvC 
dz
dy
CD)v-(vCJ 
obtemos (1.34), e (1.15) eqs. as se-Igualando
constante)(C 
C
C
y
Onde,
(1.34) 
dz
dy
CDJ 
:como reescrita ser pode (1.33) equação a gases, Para
(1.15) )v-(vCJ 
A,z
A,z
A,z





T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
(1.37) )NN(yyCDN 
 
 :como vetorial formana escrita e dageneraliza ser pode relação Esta
(1.36) )N(Ny
dz
dy
CDN 
Obtemos,
vCN e vCN 
 que, se-Sabendo
(1.35) )vCv(Cy
dz
dy
CDvC 
:em transforma se acima expressão a Logo,
)vCv(CyvC 
ou
C
)vCv(C
 v 
(1.12) eq. a conforme escrita ser pode vbinário, sistema este Para
BAAAABA
zB,zA,A
A
ABzA,
BBBAAA
zB,BzA,AA
A
ABzA,A
zB,BzA,AA
*
zA
zB,BzA,A*
z
*
z








T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
É importante notar que o fluxo molar, NA, é resultante de dois vetores: 
 
 mistura) da movimento do ção(contribui 
fluido do mistura da movimento do resultanteA demolar Fluxo - vC)NN(y
e
ão)concentraç de gradiente do ção(contribui J molar, Fluxo - yCD
*
ABAA
*
AAAB



 
mistura. naA de difusão de ecoeficient - D Onde,
(1.38) Ny yCD N 
 
 :como reescritaser pode (1.37) equaçãoA 
AM
n
1
AAAMA 





Contribuição difusiva Contribuição convectiva 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Tabela 1.2 - Formas equivalentes da primeira lei de Fick para difusão binária. 
Fluxo Gradiente Forma da Lei de Fick Restrições 
r – Constante 
C – Constante 
r – Constante 
C – Constante 
(A) )nn(wwρDn BAAAABA


Aw
Ar
AC
AA xou y 
Aw
Ar
AC
AA xou y 
(B) )nn(wDn BAAAABA

 r
(C) )NN(yyCDN BAAAABA


(D) )NN(yCDN BAAAABA


(E) wρDj AABA 

(F) Dj AABA r
(G) yCDJ AAB
*
A 

(H) CDJ AAB
*
A 

Aj 

*
AJ

AN 

An 

Exemplo 1. 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
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T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
BAAB
BABA
B
BA
A
AB
BA
zB,zA,BA
B
AB
A
ABzB,zA,
zB,zA,B
B
ABzB,
zB,zA,A
A
ABzA,
DD
,Finalmente
dz
dy
dz
dy
 0
dz
dy
dz
dy
 
0
dz
dy
C.D
dz
dy
C.D
Logo,
1yy
como,
)N).(Ny(y
dz
dy
C.D
dz
dy
C.DNN
Somando,
)N(Ny
dz
dy
C.DN
)N(Ny
dz
dy
C.DN







Exemplo 2. Pela equação da lei de Fick (fluxo combinado)prove que o DAB = 
DBA, em uma mistura binária. A equação de Hirschfelder (para mistura binária) 
apresenta a mesma igualdade? 
)n(n
dz
d
Dn
w
)N(Ny
dz
d
DN
)n(nw
dz
d
Dn a)
zB,zA,
A
ABzA,
A
zB,zA,A
A
ABzA,
zB,zA,A
A
ABzA,







A
ABAA
AA
ABAA
AA
AAA
w
MxMx
My
MxMx
My
M
C
MM
r
r
..
.
..
.
...
Exemplo 3. Utilizando a equação da lei de Fick (fluxo combinado) para a difusão 
de A através de uma mistura binária, de componentes A e B, derive as relações 
abaixo: 
 
dz
d
DJ
dz
dC
Dvv.C
.vC
dz
dC
D.vC
C
.vC.vC
C
dz
dC
DN
CDJ b)
A
ABA
A
ABAA
A
A
ABAA
BBAA
A
A
ABzA,
AABA
C








 


)N(Ny
dz
d
DN zB,zA,A
A
ABzA, 
C
0jj 
 Logo,
)vρv(ρ.vρ.vρjj
.ρv.vρ.vρjj
)ρ(ρv.vρ.vρjj
.vρ.vρ).vρ.vρjj
)v(vρ)v(vρjj
equações duas as somando
)v(vρj
)v(vρj
0jj a)
zB,zA,
zB,zB,zA,zA,zB,zB,zA,zA,zB,zA,
zzB,zB,zA,zA,zB,zA,
zB,zA,zzB,zB,zA,zA,zB,zA,
zzB,zB,zB,zzA,zA,zA,zB,zA,
zzB,zB,zzA,zA,zB,zA,
zzB,zB,zB,
zzA,zA,zA,
zB,zA,









..
Exemplo 4. Para um sistema binário, mostre que: 
 
Exemplo 4. Para um sistema binário, mostre que: 
 
 
 A 
ρ
vv..Cρ
 J
ρ
.v.Cρ.v.Cρ
 J
ρ
.v.Cρ.v.Cρ.v)Cρ(ρ
 J
.vρ.vρ
C.vCv.(vC J
J
M
 J b)
zB,zA,zA,zB,
A
zB,zA,zB,zA,zA,zB,
A
zB,zA,zB,zA,zA,zA,zA,zA,zB,zA,
A
zB,zB,zA,zA,
zA,zA,zA,zzA,zA,A
*
A
B
A











 


r
)
.
M
 
 B 
C
vv..CC
 J
C
.v.CC.v.CC
 J
C
.v.CC.v.CC.v)CC(C
 J
.vC.vC
C.vCv.(vC J
zB,zA,zA,zB,*
A
zB,zA,zB,zA,zA,zB,*
A
zB,zA,zB,zA,zA,zA,zA,zA,zB,zA,*
A
zB,zB,zA,zA,
zA,zA,zA,
*
zA,zA,
*
A z











 

C
) 
 
  *A
zA,zB,
BA
*
A
zA,zB,
BzA,zB,
A
BBB
B
B
B
BA
BzB,zA,
A
.J
.CC
C
vv Onde,
.J
.CC
C
.
ρ
.M.CC
 J
(A) em (B) equação a doSubstituin
MCρ ou 
M
ρ
C Onde,
vv.
ρ
.M.CC
 J
 é, A equação a que Temos




.
*
A
B
A .J
M
M
 J
,Finalmente

Exemplo 4. Para um sistema binário, mostre que: 
 
   
   B vv.
C
.CC
CC
.v.CC.v.CC
 J
CC
.v.CC.v.CC.v)CC(C
 J
CC
.vC.vC
.vv.(v J
A vv
ρ
.ρρ
ρρ
.v.ρρ.v.ρρ
 j
ρρ
.v.ρρ.v.ρρ.v)ρρ(ρ
 j
ρρ
.vρ.vρ
.vv.(v j
x..DMM
ρ
C
- j c)
zB,zA,
zA,zB,
zB,zA,
zB,zA,zB,zA,zA,zB,*
A
zB,zA,
zB,zA,zB,zA,zA,zA,zA,zA,zB,zA,*
A
zB,zA,
zB,zB,zA,zA,
zA,zA,zA,
*
zzA,zA,
*
A
zB,zA,
zA,zB,
zB,zA,
zB,zA,zB,zA,zA,zB,
A
zB,zA,
zB,zA,zB,zA,zA,zA,zA,zA,zB,zA,
A
zB,zA,
zB,zB,zA,zA,
zA,zA,zA,zzA,zA,A
AABzA,zB,
2
A





































CCC )
.
)
..
rrr
 
AABzA,zB,
2
A
AABzA,zB,A
AAB
*
A
*
AzA,zB,A
*
A
zA,
zA,
zB,
zB,
zA,zB,A
i
i
i
*
A
zA,zB,
zA,zB,
A
*
A
zA,zB,
zA,zB,
A
x..DMM
ρ
C
- j
x.C.D-.MM
ρ
C
 j
x.C.D- J
.JMM
ρ
C
 j
.J
M
.
M
.ρρ
ρ
C
 j
M
ρ
C se, .J
.CC
.ρρ
ρ
C
 j
.J
.CCρ
.ρρ
 j
(A), em (B) doSubstituin







..
..
,
,
..
.
,
.
.
Finalmente
como
Então
C
rr
Exemplo 4. Para um sistema binário, mostre que: 
 
AAB
*
A
*
AzA,zB,A
*
A
zA,
zA,
zB,
zB,
zA,zB,A
i
i
i
*
A
zA,zB,
zA,zB,
A
*
A
zA,zB,
zA,zB,
A
x.C.D- J
Como,
.J.M.M
ρ
C
 j
.J
ρ
M
.
ρ
M
.ρ.ρ
ρ
C
 j
Então,
M
ρ
C se, .J
.CC
.ρρ
.
ρ
C
 j
.J
.CC
C
.
ρ
.ρρ
 j
(A), em (B) doSubstituin





 
AABzA,zB,
2
A
AABzA,zB,A
x..D.M.M
ρ
C
- j
x.C.D-..M.M
ρ
C
 j
,Finalmente


1.8. O Coeficiente de Difusão. 
Prof. Eduardo Prado Baston 
baston@ufsj.edu.br 
 
 
A primeira lei de Fick, associa o coeficiente de difusão ao inverso da resistência a ser 
vencida pelo soluto e que é governada pela interação soluto-meio. Portanto, o 
coeficiente de difusão (ou difusividade) é definido como a capacidade com que 
determinada espécie (soluto) se difunde em um determinado meio. 
 
 “Um aventureiro, ao atravessar uma floresta, se depara com algumas 
situações de interação com as árvores. A mobilidade do aventureiro é dificultada pelo 
tamanho e proximidade das árvores. É mais fácil atravessar uma floresta com árvores 
idênticas com diâmetro de 50 cm do que atravessar essa mesma floresta com o mesmo 
número de árvores com diâmetro de 200 cm.” 
 
Portanto, quanto mais apertado o espaço para se locomover, mais difícil será a 
locomoção de qualquer indivíduo. Assim, podemos fazer a analogia com gases, líquidos 
e sólidos. Onde, 
 
 Gases 5.10-6 – 1.10-5 m2.s-1 
 Líquidos 1.10-10 – 1.10-9 m2.s-1 
 Sólidos 1.10-14 – 1.10-10 m2.s-1 
 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
 
A partir da definição da primeira lei de Fick (eq. 1.33) pode-se determinar a dimensão do 
coeficiente de difusão para um sistema binário, 
 
 
 
 
Sabe-se que o coeficiente de difusão depende da seguintes propriedades: 
DAB = DAB (T,P,composição) 
 
É necessário salientar que os coeficientes de difusão podem ser encontrados na 
literaturas (tabelados) ou podem ser obtidos através dados experimentais ou por meio de 
correlações matemáticas. 
 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
t
L
 
1.
L
M
1
L
M
dz
dC
J
D 
2
3
2
A
*
zA,
AB 



















L
t
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
1.8.1. Difusão em gases 
A obtenção do coeficiente para gases via teoria cinética é imediata. Basta substituir as equações da 
velocidade média molecular (Ω) e o caminho livre médio (l) na equação de definição (1.32) do 
coeficiente de auto-difusão: 
 
ra. temperatu- T
);ergs.K (1,38.10Boltzmann de constante -k 
pressão; - P
molecular; massa - M
esfericas; moléculas de diâmetro - 
);molmoléculas. (6,023.10 Avogrado de número - N
Onde,
 
Pπ2
kT
λ
e
πM
8kNT
u
(1.32) uλ
3
1
D
16-
1-23
2
A
AA
-





Unidade CGS (centimetro-grama-segundo) 
1 erg = 1 g.cm2.s-1= 1.10-7 J 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
A equação (1.39) apresenta informações sobre a difusão, onde o efeito da energia 
cinética (kT), ou seja, quanto mais agitado, melhor é a mobilidade do soluto (metáfora da 
floresta). 
 
Utilizando uma aproximaçãosimilar da teoria cinética dos gases para uma mistura 
binária A e B, composta por esferas rígidas de diâmetros diferentes, o coeficiente de 
difusão gás-fase é obtido por, 
 
 
 
 
 
)9(1.3 
M
Nk
3
2T
D
21
A
3
2
A
23
23
AA 






P
0)4(1. 
2
2
1
2M
1
kT
3
2N
D
2
21
A
2321
AB





 














BA
B
P
M

T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Versões modernas da teoria da cinética têm levado em conta à respeito das forças de 
atração e repulsão entre as moléculas. Hirschfelder et al. (1949), utilizando do potencial 
de Leonnard-Jones para avaliar a influência das forças moleculares, admitiram uma 
molécula parada e outra vindo ao seu encontro, esta ultima chegará a uma distância 
limite (σAB) na qual é repelida pela primeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Colisão entre duas moléculas considerando-se a atração e repulsão entre elas. 
 
 
As energias de atração e de repulsão é função da distância entre as moléculas, 
caracterizando uma energia “potencial” de atração/repulsão. Na distância entre as 
moléculas A e B, onde essa energia é nula, tem-se o diâmetro de colisão. 
 
 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
 
moléculas duas entre atração de energiaε
química espécie da diâmetroσ
colisão de diâmetroσ
pulsãoatração/re de potencial energia (r)
Onde,
1.43 ε εε
1.42 
2
σσ
σ
:sendo
(1.41) 
r
σ
r
σ
4ε(r)
AB
i
AB
AB
BAAB
BA
AB
6
AB
12
AB
ABAB










 
























.
A energia potencial de atração/repulsão, é conhecida como o potencial de 
Leonnard-Jones, 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Encontram-se tabelados os valores para 
 
 
 
 
 
Por outro lado, existem correlações que estimam esses parâmetros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vb,ij (volume de Le Bas) = (i)Vb(i) + (j)Vb(j) 
VbC2H6 = (2)VbC + (6) VbH 
 
Onde, 
 
Vb – Volume molar a T normal de ebulição (cm
3.mol-1) 
Tb – Temperatura normal de ebulição (K) 
Vc – Volume crítico (cm
3.mol-1) 
Tc – Temperatura crítica (K) 
Pc – Pressão crítica (atm) 
 
 
moléculas duas entre atração de energiaε
química espécie da diâmetroσ
AB
i


Grupos i = (Å) i/k = 
Condições a Tb 1,18 Vb
1/3 1,15 Tb 
Condições a Tc 0,841 Vc
1/3 0,77 Tc 
Fator acêntrico (2,3551-0,087w)(Tc/Pc)
1/3 (0,7915+0,1693w)Tc 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
A equação de Chapman-Enskog. 
 
No início do século XX, Chapman e Enskog, desenvolveram uma teoria cinética dos gases rigorosa, 
da qual obtiveram o coeficiente de transporte por intermédio da energia potencial, dado por: 
 
 
 
 
 
 
AB
B*D
1/2
BA
21
BAD
2
AB
23
3
AB
kT
reduzida) ra(Temperatu*T
(1.46) 
exp(HT*)
G
exp(FT*)
E
exp(DT*)
C
T
A
colisão) de integral(Ω
(1.45) 
M
1
M
1
2
1
2,17b
 Onde,
(1.44) 
M
1
M
1
ΩPσ
T
b.10D
















 
e
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
O valor de b é conhecido, e igual a 1,858. Substituindo na equação (1.44), obtemos a clássica 
equação de Hirschfelder, Bird e Spotz (1949): 
 
 
 
 
 
Se os parâmetros de Lennard-Jones não forem conhecidos para uma determinada substância, ele 
podem ser estimados a partir das propriedades críticas do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 K
K
ε
T
1.49 
P
T
 2,44σ
(1.48) 0,77.T
K
ε
31
C
C
C









  (1.47) cm 
M
1
M
1
ΩPσ
T
.101D
2
21
BAD
2
AB
23
3
AB
s/858, 







 
 
k
ε
 .
k
ε
k
ε
 
2
σσ
σ
BAAB
BA
AB






 

[atm] P
 colisão de integral 
moléculas duas entre atração de energiaε
 colisão de diâmetro
 química espécie da diâmetro σ
AB
AB
i













D



T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Fuller, Schetter e Giddings 
 
 
As correlação empírica porposta por Fuller, Schetter e Griddings (1966) é oriunda da eq. (1.44), 
corringindo-a em termos da temperatura de acordo com, 
 
 
   
  molécula. da difusão à associado volumeo é v onde,
(1.51) vvd
:como definido é d diâmetro o Com
(1.50) 
M
1
M
1
Pd
T
1.10D
31
31
B
31
AAB
AB
21
BA
2
AB
1.75
3
AB

 






 
 
[atm]P
KT


T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Slattery e Bird 
 
(1.52) 
Correlação de Wilke e Lee (1955) 
 
 
Outra boa correlação, geral e confiável está apresentada abaixo: 
1
BA
AB
D
2
AB
1/2
AB
3/23
1/2
AB
AB
M
1
M
1
2.M
onde,
.Ω.σP.M
).T(10
M
0,98
3,03
D























(1.53) 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 







o
Ασ
[atm]P
KT
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Estimativa do DAB a partir de um DAB conhecido em outra temperatura e pressão 
 
 
A eq. (1.44) varia com a temperatura e pressão segundo (T3/2/ΩDP). Podemos estimar o coeficiente de 
difusão em gases em uma condição (2) desconhecida (T2,P2), a partir de um DAB conhecido na 
condição (1) (T1,P1). Dividindo a eq. (1.44) avaliada na condição 2 por essa mesma equação, porém, 
avaliada na condição 1, obtemos 
 
 
 
 
 
 
Pode-se utilizar a correlação de Fuller, Schetter e Giddings (1966), dividindo a eq (1.50) avaliada na 
condição 2 por essa mesma equação avaliada na condição 1: 
 
 
(1.54) 
Ω
Ω
T
T
P
P
D
D
2
1
11
22
TD
TD
23
1
2
2
1
P,TAB
P,TAB




















(1.55) 
T
T
P
P
D
D
1,75
1
2
2
1
P,TAB
P,TAB
11
22













Coeficiente de difusão de um soluto em uma mistura gasosa estagnada de 
multicomponentes 
 
 
Nesse caso a espécie a pode difundir em um meio composto de n espécies químicas, caracterizando a 
difusão de A numa mistura gasosa. Neste caso utilizamos a relação proposta por Wilke (1950) para um 
meio estagnado: 
 
 
 (1.56a)
 
 
 ou 
 
 (1.56b) 
mistura da total ãoconcentraç
i espécie damolar ãoconcentraç
 y
i; espécie da através Aespécie da difusão de ecoeficientD
mistura; na Aespécie da difusão de ecoeficientD
 onde,
(1.56) 
D
y
)y(1
D
i
iA,
MA,
n
1i
2i iA,
i
1
MA,








T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
1.8.2. Difusão em Líquidos 
 
Diferentemente do caso para os gases, qualquer que seja o soluto a interpretação do mecanismo de 
difusão em um meio líquido é complexo. O grande empecilho do estudo da difusão em líquidos e a 
estimativa do coeficiente de difusão é a definição das estruturas moleculares do soluto e do solvente, 
que estão intimamente relacionadas com as forças intermoleculares do fenômeno difusivo. 
 
Correlação de Wilke e Chang (1955) 
Esta correlação é indicada para situações em que os solutos são gases dissolvidos ou quando se 
trabalha com soluções aquosas. 
 
(K). atemperatur - T
e);(centipois B meio do eviscosidadμ
);.mol(cm soluto do molar volumeV
solventes; dos restante o para 1, e (etanol) 1,5 (metanol), 1,9
(água), 2,6 solvente; do associação de parâmetro o é
 Onde,
(1.57) 
V
)M(7,4.10
T
μD
B
-13
0,6
b
21
B
8
BAB
A






b
B



T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Hayduk e Minhas (1982) 
 
(1.61) 
Difusividade de A em solução aquosa diluída 
Temperatura 
Viscosidade da água, cP 
Volume molar do soluto em seu ponto normal de ebulição 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
 
AbBb
7
AbBb
7
B
0
AB
V 1,5 V para 0,85.10K
V 1,5 V para 1,0.10K
 Onde,
(1.62) 
T
μD





3/1
2/1
BbAb
B
VV
KMCorrelação de Reddy e Doraiswamy (1967) 
 
Lusis e Ratcliff (1968) 
 
 
 
 (1.63) 
 
 
 
Indicada para solventes orgânicos; inadequada para água como soluto. 
 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Indicada para solventes orgânicos 
 
 
 
 
 
 
Indicada para soluções aquosas 
Correlação de Siddiqi e Lucas (1986) 
 
(1.64) μ
T
μD
B
B
0
AB








 
45,0
265,0
093,0810.89,9
Ab
Bb
V
V
Correlação de Siddiqi e Lucas (1986) 
 
(1.65) 
μT
μD
B
B
0
AB
026,05473,0
710.98,2
Ab
V


T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Sridhar e Potter (1977) que utiliza o volume crítico 
 
Indicada para gases dissolvidos em solventes orgânicos de alta viscosidade 
 
 
 
 
(1.66) 
T
μD
1/3
B
0
AB










Ac
Bc
Ac
V
V
V
3/1
710.31,3
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
1.8.3. Difusão em Sólidos 
 
Notamos que a difusividade diminui consideravelmente quando passamos de um meio gasoso para 
líquido. No caso de difusão de um sólido cristalino não poroso, os átomos que o compõem estão 
ainda mais próximos, onde estão rearranjados em redes cristalinas. A penetração de um outro átomo 
nessa estrutura é mais lenta e difícil quando comparada em meios gasosos ou líquidos. 
 
Difusão em Sólidos Cristalinos Não Porosos 
 
A difusão em sólidos cristalinos é baseada na teoria do salto energético ou de Eyring, onde um átomo 
ao se difundir mantêm-se vibrando na sua posição inicial de equilíbrio, devido a energia cinética a ele 
associada. Quando essa vibração for suficientemente elevada, dependendo da temperatura, o soluto 
salta para uma posição de equilíbrio (ou vacância). 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
A difusão em sólidos porosos 
A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer uma “barreira energética” (Q) que 
é denominada energia de ativação. Portando, o coeficiente de difusão em sólidos aumenta conforme 
se aumenta a temperatura de acordo com a equação de Arrhenius 
 
 
 
Onde, Q – energia de ativação difusional; R – constante universal dos gases; T – temperatura absoluta, 
D0 – coeficiente de difusão sem que houvesse a necessidade do salto energético (Tabelado) 
(1.67) 
RT
Q
expDD 0AB 






Existem diversos processos industriais que envolvem reações catalíticas, cuja cinética é controlada 
pela difusão intra-particular. Outros processos (por ex.: purificação de gases) exigem a utilização de 
adsorventes que apresentam poros seletivos a um determinado gás (peneiras moleculares). 
Podemos notar, então, que qualquer que seja o processo, o soluto (gasoso ou líquido) difunde por uma 
matriz onde a configuração geométrica é determinante para o fenômeno de difusão. 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
A difusão em um sólido poroso apresenta distribuição de poros e geometrias externa peculiares que 
determinam a mobilidade do difundente, sendo classificada como: 
a) Difusão de Fick; 
b) Difusão de Knudsen; 
c) Difusão configuracional. 
 
Difusão de Fick 
Difusão de um soluto em um sólido com poros relativamente grandes, maiores do que o caminho livre 
média das moléculas difundentes, sendo descrita de acordo com a primeira lei de Fick em termos de 
coeficiente efetivo de difusão: 
 
 
 
O coeficiente efetivo (Def) aparece em razão da tortuosidade do sólido poroso. Ele depende das variáveis 
que influenciam a difusão como, T, P e das propriedades da matriz porosa: porosidade p, esfericidade 
 e a tortuosidade (t) 
 
(1.68) 
dz
dC
DJ Aef
*
zA, 
(1.69) D 
p
ef t

ABD
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Difusão de Knudsen 
Quando se trata de gases leves, pressão baixa ou poros estreitos, o soluto irá colidir com as paredes 
dos poros ao invés de colidir com outras moléculas, de modo a ser desprezível o efeito decorrente das 
colisões entre as moléculas no fenômeno difusivo.Neste caso, cada molécula se difunde independente 
das demais. Neste caso, o coeficiente é análogo ao obtido pela teoria cinética dos gases: 
 
 
 
 
 
 
Quando a tortuosidade é considerada na difusão de Knudsen, o coeficiente fenomenológico é corrigido 
para: 
 
poros. dos médio diâmetro d
molecular; média velocidade 
onde,
(1.70) dD 
p
pk



3
1
(1.71) 
τ
ε
DD 
p
Kkef 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Tipos de difusão no poros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
 = [(o volume de poros ocupados do sólido poroso / volume total do sólido poroso (sólido + poros)] 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Letra Nome Letra Nome 
Α α Alfa Ξ ξ Xi 
Β β Beta Ο ο Ômicron 
Γ γ Gama Π π Pi 
Δ δ Delta (Ϻ) San 
Ε ε Épsilon (Ϙ) Qoppa 
(Ϝ) Digama Ρ ρ Rô 
Ζ ζ Zeta Σ σ,ς Sigma 
Η η Eta Τ τ Tau 
Θ θ Teta Υ υ Úpsilon 
Ι ι Iota Φ φ Fi 
Κ κ Capa Χ χ Chi 
Λ λ Lambda Ψ ψ Psi 
Μ μ Mi Ω ω Ômega 
Ν ν Ni (t) Sampi 
 T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Difusão configuracional 
A difusão configuracional ocorre em matrizes porosas, macro- e mesoporosas devido aos saltos 
energéticos do soluto pelos microporos. A difusão é dada por: 
 
 
 
 
Difusão em Membranas 
A difusão do soluto em um polímero ocorre por um processo de estado ativado, vai saltos energéticos, 
ocupando vazios na estrutura polimérica. A difusão é dada por: 
(1.72) 
RT
Q
expDD 0solido-A 






(1.73) 
RT
Q
expDD 0membrana-A 






T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Exemplo 1 - 
Tabela 1 - 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Hirschfelder, Bird e Spotz 
Exemplo 2 - 
Tabela 2 - 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
pela correlação de Slattery e Bird 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Correlação de Hirschfelder, Bird e Spotz 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Exemplo 3 - 
μ = 0,705 cP 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n 
Exemplo 4 – Estime o valor da difusão do carbono em Fe(ccc) e em Fe(cfc) a 
1000 °C. Analise os resultados obtidos. 
Difundente Sólido D0 (cm
2/s) Q (cal/mol) 
Carbono – A Fe(ccc) – B 0,0079 18.100 
Carbono Fe(cfc) – C 0,21 33.800 
Tabela 2.4 - Parâmetros 
Da equação (1.62): 
6 218.1000,0079exp 6,17 10 /
1,987(1273,15)
ABD cm s
     
 
6 233.8000,21exp 0,331 10 /
1,987(1273,15)
ACD cm s
     
 
A mobilidade do soluto é dificultada pelo arranjo atômico. Os átomos de face centrada (cfc), 
sem dúvidas, oferecem resistência extra à difusão de átomos de carbono. 
T r a n s f e r ê n c i a d e M a s s a P r o f . E d u a r d o P . B a s t o n