Teoria das Probabilidades

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I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 65
3. TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
3.1. REVISÃO SOBRE TEORIA DE CONJUNTOS 
 
Considere um conjunto universo S no qual estão contidos dois conjuntos A e B , diferentes 
do vazio. 
 
 
3.1.1. Reunião de A com B 
 
O conjunto reunião contempla todos os elementos do conjunto A e B , assim tem-se: 
{ }:A B w S w A w B∪ = ∈ ∈ ∨ ∈ 
 
Propriedades Imediatas: 
 (a) A A A∪ = ; 
 (b) A B B A∪ = ∪ ; 
 (c) A A∪∅ = ; 
 (d) A S S∪ = , onde S é o conjunto universo. 
 
 
Exemplo 2.2.1: { } { } { }0,1,3 3,4,5 0,1,3,4,5∪ = . 
 
 
3.1.2. Intersecção de A com B 
 
O conjunto intersecção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B , assim 
tem-se: { }:A B w S w A w B∩ = ∈ ∈ ∧ ∈ 
 
Propriedades Imediatas: 
 (a) A A A∩ = ; 
 (b) A B B A∩ = ∩ ; 
 (c) A∩∅=∅ ; 
 (d) A S A∩ = , onde S é o conjunto universo. 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 66 
Exemplo 2.2.2: { } { } { }0,1,3 3,4,5 3∩ = . 
 
 
São Também Importantes as Seguintes Propriedades: 
 (a) Propriedade Distributiva: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ; 
 (b) Propriedade Distributiva: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ; 
 (c) Lei da Absorção: ( )A A B A∩ ∪ = ; 
 (d) Lei da Absorção: ( )A A B A∪ ∩ = . 
 
 
3.1.3. Diferença 
 
Os elementos da diferença, são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não 
pertencem ao segundo, assim tem-se: { }\ :A B A B w S w A w B= − = ∈ ∈ ∧ ∉ 
 
Propriedades Imediatas: 
 (a) \A A = ∅ ; 
 (b) \ \A B B A≠ , a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa; 
 (c) \A A∅ = ; 
 (d) \ A∅ =∅ . 
 
 
Exemplo 2.2.3: { } { } { }0,5,7 \ 0,3,7 5= ; 
{ } { } { }1,2,3,4,5 \ 1,2,3 4,5= . 
 
 
3.1.4. Complementar de um Conjunto 
 
O complementar de A em relação ao conjunto universo S , ou seja, \S A , é indicado pelo 
símbolo A . Observe-se que o conjunto A é formado por todos os elementos que não 
pertencem ao conjunto A , assim tem-se: { }:A x x A= ∉ . 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 67
Propriedades Imediatas: 
 (a) A A S∪ = ; 
 (b) A A∩ =∅ ; 
 (c) S∅ = ; 
 (d) S = ∅ . 
 
 
3.1.5. Número de Elementos da Reunião de Dois Conjuntos 
 
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A (cardinal de A ) seja 
( )n A e o número de elementos de B (cardinal de B ) seja ( )n B . Representando o número 
de elementos da intersecção A B∩ por ( )n A B∩ e o número de elementos da reunião 
A B∪ por ( )n A B∪ , assim tem-se: ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ 
 
 
Existe ainda uma importante operação entre os conjuntos, que tem interesse considerar num 
contexto de acontecimentos aleatórios. 
Definição: Sejam 1 2, , , nA A A… , n conjuntos. Denominaremos produto cartesiano de 
1 2, , , nA A A… , denotando-o por 1 2 nA A A× × ×… o conjunto ( ){ }1 2, , , , , 1, ,n i ia a a a A i n∈ =… … . 
Note que em geral o produto cartesiano não é comutativo pois os elementos do novo conjunto 
são vectores, tais que, a componente j desse vector é um elemento do conjunto j no produto 
cartesiano, e não de outro qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 68 
3.1.6. Quadro Resumo 
 
Propriedades União Intersecção 
1. Comutativa A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩ 
2. Associativa ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ 
3. Distributiva ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ 
4. Idempotência A A A∪ = A A A∩ = 
5. Lei do 
Complemento 
A A S∪ = A A∩ =∅ 
6. Leis de De 
Morgan 
A B A B∪ = ∩ A B A B∩ = ∪ 
7. Elemento 
Neutro 
A A∪∅ = A S A∩ = 
8. Elemento 
Absorvente 
A S S∪ = A∩∅ =∅ 
 
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Teoria das Probabilidades 69
3.2. DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
3.2.1. Experiência Aleatória e Espaço de Resultados ou Espaço Amostral 
 
Definição: Uma experiência aleatória é um procedimento que se pode repetir um grande 
número de vezes em condições uniformes, sobre o qual não se conhece à partida o resultado 
(fenómeno aleatório), conhecendo-se no entanto o conjunto de todos os resultados possíveis. 
 
Definição: O espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma 
experiência aleatória. 
 
 
3.2.2. Acontecimentos e Álgebra dos Acontecimentos 
 
Definição: Um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados. 
 ? Acontecimento Elementar – Um único resultado possível; 
 ? Acontecimento Composto – Mais do que um resultado possível 
 ? Acontecimento Certo – Todos os resultados possíveis; 
 ? Acontecimento Impossível – Sem resultados. 
 
Considere-se um espaço de resultados S . É possível definir sobre os acontecimentos as 
mesmas operações que vimos para os conjuntos, uma vez que definimos acontecimento como 
um conjunto de elementos do conjunto de resultados S . 
 
 
Diagrama de Venn: 
 
A
B
S
 
 
O rectângulo representa o espaço resultados, ou seja, todos os acontecimentos elementares. 
As elipses representam os acontecimentos A e B . 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 70 
Relações entre Acontecimentos: 
 ? A é subacontecimento de B , A B⊂ , se e só se a realização de A implica a realização 
de B ; 
 
 
 
 ? A e B são idênticos se e só se a ocorrência de um implica a ocorrência do outro, isto é. 
A B⊂ e B A⊂ . Escreve-se A B= ; 
 
A=B
S
 
 
 ? Acontecimento contrário a A , é o conjunto de elementos de S que não estão em A ; 
 
A A
S
 
 
 ? Acontecimento A B∪ ; 
 
A B
S
A B 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 71
 ? Acontecimento A B∩ ; 
 
 
 
 ? Diferença dos acontecimentos A e B : \A B ( )ou A B− . 
 
S
A-B
A B
 
 
 ? A e B dizem-se incompatíveis se e só se a ocorrência de um deles implica a não 
ocorrência do outro, isto é, A B∩ =∅ . 
 
 
 
Os acontecimentos 1A , 2A ,…, nA dizem-se mutuamente exclusivos se e só se i jA A∩ =∅ , 
para i ≠ j. 
 
 
 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 72 
Exemplo 3.2.1: Considere-se a experiência aleatória que consiste no lançamento de dois 
dados e registo da soma dos pontos obtidos nas duas faces que ficaram voltadas para cima. 
Espaço de resultados: 
 { }2,3,4, ,10,11,12S = … 
Definam-se os seguintes acontecimentos: 
 A - A soma das faces é um número par; 
 B - A soma das faces é menor que 5. 
 
{ }2,4,6,8,10,12A = , 
{ }2,3,4B = , 
{ }2,3,4,6,8,10,12A B∪ = , 
{ }2,4A B∩ = , 
{ }\ 6,8,10,12A B = , 
{ }3,5,7,9,11A = . 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 73
3.3. PROBABILIDADES 
 
3.3.1. Conceito de Probabilidade 
 
Definição: A probabilidade mede a possibilidade de ocorrência de determinado 
acontecimento. 
 
 
Conceito Clássico de Probabilidade: 
Se associada a uma experiência aleatória tivermos um espaço de resultados com N 
elementos, igualmente prováveis, e A for um acontecimento que contém AN elementos do 
espaço de resultados, então, [ ] ANP A
N
= , onde, N é o número de resultados possíveis e AN é 
o número de resultados favoráveis a A . 
 
 
Exemplo 3.3.1: A probabilidade de obter um 4 ou um 5 quando se lança um dado 
equilibrado é 2 16 3= . 
 
 
Conceito Frequencista de Probabilidade: 
Este conceito de probabilidade atende ao facto de na realidade nem todos os acontecimentos 
serem equiprováveis. Assim, a probabilidadede um acontecimento é avaliada através da 
informação já existente, sendo igual à razão entre o número de vezes em que se verificou uma 
realização favorável ao acontecimento A ( )AN e o número de vezes ( )N em que se efectuou 
a experiência aleatória, isto é, 
[ ] lim A
N
NP A
N→∞
= 
 
 
Exemplo 3.3.2: A probabilidade de no próximo mês de Setembro, se observar uma 
temperatura média mensal superior a 27ºC, é igual à razão entre o número de anos em que 
(nos últimos 50 anos) se observou uma temperatura média mensal em Setembro superior 
àquele valor e o número de anos considerados. 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 74 
3.3.2. Axiomas das Teorias das Probabilidades 
 
Suponha-se uma função [ ]P • que associa a qualquer acontecimento definido em S um 
número compreendido no intervalo [ ]0,1 , satisfazendo os seguintes axiomas: 
 (a) [ ] 0P A ≥ , A S∀ ⊆ ; 
 (b) [ ] 1P S = ; 
 (c) Com A e B acontecimentos mutuamente exclusivos definidos em S , ou seja, 
A B∩ =∅ , tem-se: 
[ ] [ ] [ ]P A B P A P B∪ = + . 
Pode generalizar-se para n acontecimentos mutuamente exclusivos, ficando-se com: 
[ ]
11
n n
i i
ii
P A P A
==
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑∪ . 
 
 
Consequências dos Axiomas: 
 1. Dado um acontecimento A com probabilidade [ ] 0P A ≥ , a probabilidade do seu 
complementar obtém-se por, [ ]1P A P A⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ; 
 2. A probabilidade do acontecimento impossível é zero, isto é, [ ] 0P ∅ = ; 
 3. Dados dois acontecimentos quaisquer A e B , a probabilidade do acontecimento 
diferença A B− obtém-se pela diferença entre a probabilidade de A e a probabilidade da 
intersecção de A com B , ou seja, 
[ ] [ ] [ ]P A B P A P A B− = − ∩ ; 
 4. A probabilidade da união de dois acontecimentos quaisquer A e B , obtém-se somando 
as suas probabilidades e deduzindo a probabilidade da sua intersecção, isto é, 
[ ] [ ] [ ] [ ]P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ ; 
 Sendo A e B quaisquer dois acontecimentos, 
[ ] [ ] [ ]P A B P A P B∪ ≤ + ; 
 
 
Generalização para mais de dois Acontecimentos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ . 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 75
Exercício 3.3.1: Lança-se um dado duas vezes ao ar e observam-se as faces que ficam 
viradas para cima. Calcular a probabilidade da soma dos pontos obtidos ser oito. 
 
 
Exercício 3.3.2: Numa caixa há quinze peças, onde dez das quais são pintadas. Um operário 
extrai ao acaso três peças. Calcular a probabilidade de: 
 (a) haver uma peça pintada; 
 (b) não haver peças pintadas; 
 (c) haver pelo menos duas peças pintadas. 
 
 
Exercício 3.3.3: Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população 
de uma dada cidade pelas três marcas existentes (A , B e )C de um produto de grande 
consumo, é dada pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da população): 
Consumidores de A : 51; Consumidores de B : 62; Consumidores de C : 40; 
Consumidores de A e B : 28; Consumidores de A e C : 21; 
Consumidores de B e C : 24; Consumidores de A , B e C : 10. 
Qual a probabilidade de que uma pessoa tomada ao acaso nessa cidade, seja consumidora: 
 (a) das marcas A ou B ; 
 (b) somente de A e C ; 
 (c) somente de C ; 
 (d) de pelo menos uma das marcas; 
 (e) de nenhuma delas. 
 
 
Exercício 3.3.4: Uma caixa contém quatro bolas brancas, seis pretas, três vermelhas e oito 
verdes. Retiram-se ao acaso três bolas. Calcular a probabilidade de: 
 (a) serem todas da mesma cor; 
 (b) serem de cores diferentes; 
 (c) serem duas brancas e uma de outra cor; 
 (d) serem pelo menos duas brancas; 
 (e) ser só uma azul. 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 76 
Exercício 3.3.5: Sabendo que A e B são acontecimentos tais que, [ ]P A x= , [ ]P B y= e 
[ ]P A B z∩ = , exprima cada uma das probabilidades em termos de x , y e z : 
 (a) P A B⎡ ⎤∪⎣ ⎦ ; (b) P A B⎡ ⎤∩⎣ ⎦ ; (c) P A B⎡ ⎤∪⎣ ⎦ ; (d) P A B⎡ ⎤∩⎣ ⎦ . 
 
 
Exercício 3.3.6: Uma máquina produz diariamente um total de 10000 peças que acusam em 
média 5% defeituosas. Determine a probabilidade de, entre 600 escolhidas por um operador 
ao acaso, dez serem defeituosas. 
 
 
Exercício 3.3.7: Suponha-se que há três revistas, A , B e C , com as seguintes percentagens 
de leitores, A - 9,8%, B - 22,9%, C - 12,1%, A e B - 5,1%, A e C - 3,7%, B e C - 6% e 
A , B e C - 2,4%. Determine a probabilidade de uma determinada pessoa escolhida ao 
acaso ser leitor pelo menos de uma das revistas. 
 
 
Exercício 3.3.8: Uma caixa contém dez fichas numeradas de 0 a 9. Extraem-se três fichas 
sucessivamente e sem reposição. Determinar a probabilidade de: 
 (a) se poderem formar números de três algarismos cujo último algarismo é 0; 
 (b) todos os números formados de três algarismos serem impares; 
 (c) os algarismos das fichas serem alternadamente impar–par–impar ou par–impar–par. 
 
 
3.3.3. Espaços de Probabilidade Finitos 
 
Espaços de Probabilidade Finitos: 
Suponhamos que o espaço de resultados S é finito, { }1 2, , , nS w w w= " . Se fizermos 
corresponder a cada acontecimento elementar w , com w S∈ , um número real p e se 
satisfizer as seguintes condições: 
 (i) 0ip ≥ ; 
 (ii) 1 2 1np p p+ + + =" ; 
Então temos um espaço de probabilidade finito. 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 77
Espaços de Probabilidade Finitos Equiprováveis: 
Se o espaço de resultados S for constítuido por um número finito, n , de acontecimentos 
elementares e se todos os acontecimentos elementares estiverem nas mesmas condições de 
ocorrência, então todos os ip serão iguais e terão o valor 1n . 
Por exemplo, se tiver um acontecimento A constítuido pelos acontecimentos elementares 
1 3 1, , ,x xw w w w− temos que: 
[ ] 1 1 1 1 4P A
n n n n n
= + + + = . 
 
 
3.3.4. Probabilidades Condicionadas 
 
Desde que se conheça a probabilidade do acontecimento B , é possível calcular a 
probabilidade de qualquer outro acontecimento A se realizar, dado que o acontecimento B já 
se realizou: [ ] [ ][ ]/
P A B
P A B
P B
∩= , se [ ] 0P B > . 
 
 
Axiomática e Teoremas das Probabilidades Condicionadas: 
 ? [ ]/ 0P A B ≥ ; 
 ? [ ]/ 1P S B = ; 
 ? Se 1A e 2A são mutuamente exclusivos (isto é, 1 2A A∩ =∅ ), então: 
( ) [ ] [ ]1 2 1 2/ / /P A A B P A B P A B∪ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ . 
 
 
Exercício 3.3.9: Considerem-se os seguintes acontecimentos e as respectivas probabilidades: 
C : Chover; [ ] 0,3P C = ; 
V : Fazer vento; [ ] 0,6P V = ; 
C V∩ : Chover e fazer vento; [ ] 0,25P C V∩ = ; 
 (a) calcular a probabilidade de chover se estiver vento; 
 (b) calcular a probabilidade de se verificar um dia de vento se estiver a chover. 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 78 
Exercício 3.3.10: Lançaram-se dois dados e verificou-se que os números são diferentes. 
Determinar a probabilidade da soma do dois números ser cinco. 
 
 
Exercício 3.3.11: Lançaram-se dois dados e verificou-se que no primeiro dado saiu a face 
com o número 1. Determinar a probabilidade da soma dos números saídos nos dois dados ser 
sete. 
 
 
Exercício 3.3.12: Lançaram-se dois dados e verificou-se que a soma das duas faces era oito. 
Determinar a probabilidade do produto das duas faces ser doze. 
 
 
Probabilidade da Intersecção de Acontecimentos: 
Da fórmula da probabilidade condicionada podemos escrever as seguintes igualdades: 
[ ] [ ] [ ]/P A B P B P A B∩ = × ; 
[ ] [ ] [ ]/P AB P A P B A∩ = × . 
 
 
Generalização para Três Acontecimentos: 
[ ] ( ) ( ) [ ]/P A B C P A B C P C A B P A B∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ × ∩ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 ( ) [ ] [ ]/ /P C A B P B A P A= ∩ × ×⎡ ⎤⎣ ⎦ . 
 
 
Exercício 3.3.13: Numa escola 60% dos alunos do 12º ano estudam matemática e 50% dos 
que estudam matemática estudam economia. Encontra-se, ao acaso um aluno do 12º ano da 
escola. Qual a probabilidade de este estudar matemática e economia? 
 
 
 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 79
3.3.5. Acontecimentos Independentes 
 
Suponhamos dois acontecimentos A e B contidos no espaço Ω . Quando a ocorrência ou não 
de um deles não afecta a probabilidade do outro ocorrer, os acontecimentos dizem-se 
independentes e nesse caso tem-se: 
[ ] [ ]/P A B P A= ; 
[ ] [ ]/P B A P B= . 
O que é equivalente a escrever-se: 
[ ] [ ] [ ]P A B P A P B∩ = × . 
 
 
Propriedades dos Acontecimentos Independentes: 
Se A e B são acontecimentos independentes então, 
 ? A e B também o são; 
 ? A e B também o são; 
 ? A e B também o são. 
 
 
Acontecimentos Incompatíveis ou Mutuamente Exclusivos: 
Considerem-se os acontecimentos A e B aos quais estão associadas probabilidades positivas: 
 ? Se A e B são mutuamente exclusivos ou incompatíveis tem-se A B∩ =∅ e 
consequentemente [ ] 0P A B∩ = , pelo que neste caso nunca poderão ser independentes pois 
para isso teríamos que ter [ ] [ ] [ ] 0P A B P A P B∩ = × > , pois ambos os acontecimentos têm 
probabilidades não nulas; 
 ? Caso os acontecimentos sejam independentes não podem ser mutuamente exclusivos, 
pois têm ambos probabilidades positivas. 
 
 
Exercício 3.3.14: Considerem-se quatro cartas numeradas de 1 a 4. Tira-se ao acaso uma 
carta e admita-se a hipótese de equiprobabilidade. Sejam: 
1E : “A carta retirada é 1 ou 4”; 2E : “A carta retirada é 1 ou 3”; 
3E : “A carta retirada é 1 ou 2”; 
Verificar se 1E , 2E e 3E são acontecimentos mutuamente independentes. 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 80 
Partição: 
Considere-se que os acontecimentos 1 2, , , nA A A… definem uma partição em Ω , quando se 
verificam simultaneamente as seguintes condições, 
 ? A união de todos os acontecimentos é o próprio espaço de resultados; 
 ? Os acontecimentos são mutuamente exclusivos, dois a dois; 
 ? Todos os acontecimentos têm probabilidade não nula. 
 
 
 
3.3.6. Teorema da Probabilidade Total 
 
Caso os acontecimentos 1 2, , , nA A A… definam uma partição sobre S , então para qualquer 
acontecimento B definido em S , tem-se: 
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 nP B P A B P A B P A B= ∩ + ∩ + + ∩ =" 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2/ / /n nP A P B A P A P B A P A P B A= × + × + + × =" 
 [ ] [ ]
1
/
n
i i
i
P A P B A
=
= ×∑ . 
 
 
Exercício 3.3.15: Consideremos três caixas contendo a primeira cinco bolas brancas e cinco 
pretas, a segunda três brancas e sete preta e a terceira seis brancas e quatro pretas. 
Escolhemos uma caixa ao acaso e dela tiramos uma bola. Calcular a probabilidade da bola 
ser preta. 
 
 
Exercício 3.3.16: Uma empresa de reparações faz um teste aos candidatos ao emprego para 
detectar as suas aptidões para a profissão. Passam no teste 60% dos candidatos. Dos que 
passam no teste, 80% concluem o treino com sucesso. Como experiência empregaram-se 
também candidatos que não passaram no teste. Deste grupo concluíram o treino com sucesso 
50%. Qual a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso concluir o treino com 
sucesso? 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 81
3.3.7. Teorema de Bayes 
 
Sejam 1 2, , , nA A A… acontecimentos mutuamente exclusivos ( ), parai jA A i j∩ =∅ ≠ e 
exaustivos 
1
n
i
i
A S
=
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠∪ . Se [ ] 0iP A > para 1, ,i n= … , e B é um acontecimento tal que 
[ ] 0P B > , então: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2
/
/
/ / /
j j j
j
n n
P A B P A P B A
P A B
P B P A P B A P A P B A P A P B A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∩ ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ × + × + + ×" 
 
[ ] [ ]
1
/
/
j j
n
i i
i
P A P B A
P A P B A
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤×⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
×∑
, 1, ,i n= … . 
 
 
 
 
Exercício 3.3.17: Uma empresa de reparações faz um teste aos candidatos ao emprego para 
detectar as suas aptidões para a profissão. Passam no teste 60% dos candidatos. Dos que 
passam no teste, 80% concluem o treino com sucesso. Como experiência empregaram-se 
também candidatos que não passaram no teste. Deste grupo concluíram o treino com sucesso 
50%. Verificou-se que um candidato escolhido ao acaso conclui o treino com sucesso. Qual a 
probabilidade de ele ser oriundo do grupo que não passou no teste? 
 
 
Exercício 3.3.18: Duas caixas, A e B , contêm bolas vermelhas e pretas. Na caixa A há 
quatro vermelhas e três pretas e na caixa B há cinco vermelhas e quatro pretas. Escolhe-se 
uma caixa ao acaso e tira-se uma bola. 
 (a) determine a probabilidade de sair preta; 
 (b) verificou-se que saiu preta. Determine a probabilidade de ter saído da caixa A . 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 82 
Exercício 3.3.19: Três máquinas de produção de botões, A , B e C , produzem 
respectivamente, 15%, 25% e 60% da produção total. A percentagem de botões defeituosos 
fabricados pelas máquinas A , B e C é, respectivamente, 5%, 7% e 4%. 
 (a) Qual a percentagem de botões defeituosos produzidos pelas três máquinas? 
 (b) Se ao acaso for encontrado um botão defeituoso, qual a probabilidade de ele ter sido 
feito na máquina B ? 
 
 
3.3.8. Exercícios Propostos 
 
Exercício 3.3.20: 80% das peças produzidas por determinada empresa passaram o controlo 
A , 60% o controlo B , 50% o controlo C , 53% passaram os controlos A e B , 32% os 
controlos A e C , 25% os controlos B e C e 18% passaram os controlos A , B e C . 
 (a) Diga, justificando, se há ou não independência entre as peças que passam por cada 
controlo; 
 (b) Calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso passar: 
 ( )1b por pelo menos um controlo; 
 ( )2b só por um controlo; 
 ( )3b por A e C , mas não por B . 
 
 
Exercício 3.3.21: Dados os acontecimentos A , B e C e sabendo que, [ ] 0,51P A = , 
[ ] 0,62P B = ; [ ] 0,85P A B∪ = ; 0,18P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ ; 
0,2P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ ; 0,12P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ ; 0,1P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ . 
Determine: 
 (a) P A B C⎡ ⎤∩ ∩⎣ ⎦ ; (b) P A B C⎡ ⎤∩ ∩⎣ ⎦ ; (c) [ ]P A B C∩ ∩ ; 
 (d) [ ]P C ; (e) P A B C⎡ ⎤∩ ∩⎣ ⎦ . 
 
 
Exercício 3.3.22: Sendo A e B , dois acontecimentos tais que [ ] 1
3
P A = e [ ] 1
2
P A B∪ = , 
calcule P A B⎡ ⎤∩⎣ ⎦ . 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 83
Exercício 3.3.23: Num saco há dezasseis peças de fruta, 4 laranjas, 4 peras, 4 maçãs e 4 
kiwis. Tiram-se duas peças ao acaso. Qual a probabilidade de que sejam: 
 (a) da mesma espécie; 
 (b) uma laranja e um kiwi. 
 
 
Exercício 3.3.24: Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se números de quatro algarismos 
todos diferentes. Qual a probabilidade de esses números serem pares? 
 
 
Exercício 3.3.25: Considere o lançamento de uma moeda por duas vezes. Qual a 
probabilidade de saída de pelo menos uma cara? 
 
 
Exercício 3.3.26: Os acontecimentos A e B são independentes e cada um tem probabilidade 
p . Um terceiro acontecimento C tem probabilidade 0,5p . Sabendo que C é disjunto de A 
e B , escreva uma expressão para [ ]P A B C∪ ∪ em função de p e determineo conjunto de 
valores admissíveis para p . 
 
 
Exercício 3.3.27: Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência 
aleatória, tais que, [ ] 0,4P A = , [ ] 0,7P A B∪ = e [ ]P B p= . 
 (a) Para que valor de p poderão A e B ser acontecimentos mutuamente exclusivos; 
 (b) Para que valor de p serão A e B acontecimentos independentes. 
 
 
Exercício 3.3.28: A probabilidade de um atirador acertar no alvo é 0,6. Calcule a 
probabilidade de: 
 (a) em cinco tiros acertar três; 
 (b) acertar pela terceira vez ao quinto tiro; 
 (c) serem necessários exactamente dez tiros para acertar um; 
 (d) necessitar de pelo menos quatro tiros para acertar dois. 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 84 
Exercício 3.3.29: Sabendo que três pessoas sofrem da mesma doença e que têm 
probabilidades de se curarem, respectivamente iguais a, 0,25, 0,15 e 0,10, determine a 
probabilidade de: 
 (a) nenhuma se curar; 
 (b) pelo menos duas se curarem. 
 
 
Exercício 3.3.30: Um certo programa de computador opera usando uma de duas subrotinas 
A e B , consoante o problema. A experiência indica que a subrotina A é usada 40% das 
vezes e a subrotina B 60% das vezes. Quando se usa A há 75% de probabilidade de passar 
o programa antes do tempo limite, se se usar B há 40% de probabilidade de exceder o tempo 
limite. 
 (a) Determine a probabilidade de ao passar um programa escolhido ao acaso, exceder o 
tempo limite; 
 (b) Se, ao passar um programa qualquer não exceder o tempo limite, qual a subrotina que 
mais provavelmente foi usada? 
 
 
Exercício 3.3.31: Numa área de serviço de uma auto-estrada o número de camiões 
relativamente ao número de automóveis está na proporção de 3:2. A probabilidade de um 
camião se abastecer é de 0,1 e a de um automóvel é de 0,2. Chega uma viatura à área de 
serviço para se abastecer. Qual a probabilidade de ser um camião? 
 
 
Exercício 3.3.32: Suponha que existe uma probabilidade de 0,95 de um júri, seleccionado 
para julgar um caso criminal, proferir um veredicto certo. Isto é, se o réu e de facto culpado, 
a probabilidade de o júri o considerar culpado é de 0,95 e se o réu é inocente, o júri conclui 
que ele é inocente com probabilidade 0,95. Suponha que as forças policiais desempenham 
muito bem as suas tarefas, pelo que um indivíduo levado a julgamento por um caso criminal é 
de facto culpado em 99% das vezes. Determine a probabilidade de um indivíduo ser inocente, 
sabendo que o júri o considerou inocente. 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 85
Exercício 3.3.33: Os trabalhadores de uma fábrica foram, no acto de admissão, submetidos a 
um teste de aptidão. A experiência mostra que, dos 60% de indivíduos que no teste tiveram 
pontuação igual ou superior a x , 70% são considerados bem adaptados às tarefas que 
desempenham. Dos 40% que tiveram pontuação inferior a x , 50% são considerados bem 
adaptados. 
 (a) Qual a probabilidade de que, designado um trabalhador ao acaso, este seja bem 
adaptado? 
 (b) Qual a probabilidade de que um trabalhador bem adaptado tenha tido pontuação, 
inferior a x no seu teste de aptidão? 
 
 
Exercício 3.3.34: Considere os acontecimentos A , B e C sendo [ ] 0,4P A = , [ ] 0,3P B = . 
Determine [ ]P C sabendo que [ ] 0,9P A B C∪ ∪ = , se: 
 (a) A , B e C forem mutuamente exclusivos; 
 (b) A e B forem independentes e C mutuamente exclusivo com A e com B ; 
 (c) Forem todos mutuamente independentes. 
 
 
Exercício 3.3.35: Três mísseis, de tipos diferentes ( )1 2 3, ,M M M foram direccionados para 
um mesmo alvo, com probabilidades de o atingirem, respectivamente 0,7, 0,85 e0,9. Foram 
lançados os três mísseis. Calcule a probabilidade de: 
 (a) Só dois deles atingirem o alvo; 
 (b) O alvo ser atingido por 1M se no máximo um míssil o atingiu. 
 
 
Exercício 3.3.36: Três pessoas entram no primeiro piso, num elevador, num edifício de 7 
pisos. Cada uma das pessoas sai, independentemente das outras em qualquer dos 6 pisos 
seguintes, com igual probabilidade em cada piso. Encontre a probabilidade dos seguintes 
acontecimentos: 
 A - Todas as pessoas saem no 4º piso; 
 B - Todas as pessoas saem ao mesmo tempo; 
 C - Todas as pessoas saem em diferentes pisos. 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 86 
Exercício 3.3.37: Numa faculdade os anfiteatros A e B têm como saída comum o átrio C. 
Sabe-se que o anfiteatro B comporta 3 vezes mais alunos do que o anfiteatro A e que as 
percentagens de alunos do sexo feminino nos anfiteatros A e B são, respectivamente, 70% e 
60%. Após a saída dos alunos dos dois anfiteatros para o átrio C, escolheu-se 
aleatóriamente um estudante. 
 (a) Calcule a probabilidade de ter sido escolhida uma aluna; 
 (b) Tendo-se constatado que o estudante escolhido era do sexo masculino, qual a 
probabilidade de ter saído do anfiteatro A? 
 
 
Exercício 3.3.38: Consideremos os acontecimentos A , B e C onde: 
[ ] 0,45P A = ; [ ] 0,5P C = ; [ ] 0,8P A C∪ = ; 0,25P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ ; 
[ ] 0,05P A B C∩ ∩ = ; [ ] 0,2P A B∩ = ; 0,02P A B C⎡ ⎤∩ ∩ =⎣ ⎦ . 
Calcular a probabilidade de: 
 (a) Ocorrer B e C e não ocorrer A; 
 (b) Ocorrer C e B; 
 (c) Só ocorrer A; 
 (d) Ocorrer A e B e não ocorrer C; 
 (e) Só ocorrer B. 
 
 
Exercício 3.3.39: Do conjunto dos números inteiros de 1 a 50 extraiu-se, ao acaso, um 
número. Determine a probabilidade do número: 
 (a) ser divísivel por 5; 
 (b) ser primo; 
 (c) ser divísivel por 3; 
 (d) ser divísivel por 7 ou por 8. 
 
 
Exercício 3.3.40: Um dado é lançado e seguidamente lançamos um tetraedro. Considere os 
acontecimentos: A - “a soma dos pontos obtidos é maior do que seis”, B - “o produto dos 
pontos obtidos está no intervalo [ ]6,15 ” e C - “a soma dos pontos obtidos é menor do que 
oito”. Estude a independencia dos três acontecimentos. 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 87
Exercício 3.3.41: No bairro Céu Azul, dividido em zona norte e zona sul, pretende-se formar 
uma associação de moradores. Para tal, procedeu-se à recolha de uma amostra de 35 
moradores, dos quais 12 habitam na zona norte. 
 (a) Pretende-se formar uma associação com 6 pessoas. Quantas associações diferentes 
podem ser constituidas; 
 (b) Responda à questão anterior supondo agora que a referida associação tem que ter 
tantas pessoas da zona norte como da zona sul; 
 (c) Considere os seguintes acontecimentos: A - “a associação tem 3 pessoas da zona norte 
e 3 da zona sul”, B - “a associação tem 3 ou mais pessoas da zona sul”. Calcule [ ]P A , 
[ ]P B , [ ]P A B∪ e [ ]/P A B . 
 
 
Exercício 3.3.42: Numa secretaria trabalham três datilografas: Ana, Luísa e Teresa. Como 
método de ordenação para uma futura promoção resolveu tomar-se a probabilidade que cada 
uma tem de inutilizar uma folha. Da experiência passada sabe-se que: 30% das folhas 
inutilizadas foram batidas pela Ana, 50% pela Luisa e 20% pela Teresa. Sabe-se que 10% 
das folhas são inutizadas. A Ana datilografa a uma velocidade duas vezes superior à da Luisa 
e da Teresa. Diga, justificando com os calculos que achar convenientes, como as ordenaria 
para promoção. 
 
 
Exercício 3.3.43: Se A , B e C são acontecimentos independentes e se [ ] 0,2P A = , 
[ ] 0,3P B = e [ ] 0,8P B C∪ = determine: 
 (a) [ ]P A B∪ ; 
 (b) [ ]P C ; 
 (c) [ ]P A B C∪ ∪ ; 
 (d) a probabilidade de ocorrer somente B . 
 
 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 88 
Exercício 3.3.44:Com base num estudo sobre o ambiente, apurou-se que 15% dos 
automóveis testados emitem hidrocarbonetos em excesso, 12% emitem demasiado 2CO e 8% 
emitem demasiada quantidade de ambos. Um automóvel é selecionado aleatóriamente. 
Considere os seguintes acontecimentos: E - “o automóvel emite hidrocarbonetos em 
excesso” e F - “o automóvel emite 2CO em excesso”. Expresse os acontecimentos que se 
seguem em termos de E e de F e determine as suas probabilidades: 
 (a) a emissão de hidrocarbonetos e 2CO são ambas excessivas; 
 (b) pelo menos um dos compostos tem níveis altos de emissão; 
 (c) nenhuma das emissões é excessiva; 
 (d) a emissão de hidrocarbonetos não é excessiva; 
 (e) a emissão de hidrocarbonetos é excessiva mas a emissão de 2CO não é excessiva. 
 
 
Exercício 3.3.45: Os trabalhadores da Companhia MLO, Lda. foram classificados em três 
níveis de acordo com o grau de instrução: formação mínima, formação média e formação 
superior. Sabe-se que: 
 → desses trabalhadores 55% tem salário superior a 500 €; 
 → 40% dos trabalhadores com formação média têm salário superior a 500 €; 
 → 70% dos trabalhadores com formação superior têm salário superior a 500 €; 
 → nenhum dos trabalhadores com formação mínima tem salário superior a 500 €; 
 → a percentagem de trabalhadores com formação mínima é de 10%. 
 (a) Calcule a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso nessa companhia ter 
formação média; 
 (b) Calcule a probabilidade de ter formação superior, sabendo que ganha mais de 500 €. 
 
 
Exercício 3.3.46: De um grupo de 30 alunos do ISEL (5 por semestre) é escolhida ao acaso 
uma comissão de 4 alunos. Qual a probabilidade de: 
 (a) Serem todos do mesmo semestre; 
 (b) Ser escolhido 1 e só 1 do 1º semestre; 
 (c) Serem escolhidos, no máximo, 2 do 1º semestre; 
 (d) Ser escolhido 1 e só 1 do 1º semestre e 1 e só 1 do 5º semestre. 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 89
Exercício 3.3.47: Considere o conjunto de todos os números de três algarismos diferentes 
que se podem escrever com os elementos do conjunto {1, 2, 4, 5, 6}. Escolhido um desses 
números, ao acaso, qual será a probabilidade de ser: 
 (a) Um número par; 
 (b) Um número impar menor do que 500; 
 (c) Um número divisível por 5 e maior do que 300. 
 
 
Exercício 3.3.48: Um teste tem 6 questões a que se responde só um certo ou errado. Mostre 
que uma pessoa que responda ao acaso tem mais probabilidade de acertar em 3 do que numa 
só questão. 
 
 
Exercício 3.3.49: A probabilidade de que num determinado sistema haja perigo é de 0,2 . Há 
um sistema de alarme que funciona com a probabilidade 0,98 se houver perigo e com a 
probabilidade 0,05 funcionará se não houver perigo. Determine a probabilidade de que: 
 (a) O sistema de alarme funcione; 
 (b) Não tenha havido perigo se o alarme funcionou; 
 (c) Se não funcionou o alarme tenha havido perigo. 
 
 
Exercício 3.3.50: De dois acontecimentos A e B conhecem-se as probabilidades ( ) 1P A p= , 
( ) 2P B p= , ( ) 3P A B p∩ = . Calcule em função de 1p , 2p e 3p as probabilidades seguintes: 
 (a) ( )P A B∪ ; (b) ( )P A B∩ ; (c) ( )P A B∩ ; (d) ( )/P B A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 90 
Exercício 3.3.51: Lançamos um dado e consideramos a face que fica virada para cima. 
Sejam A e B os acontecimentos: 
 A : Observação da face 2 ou 3; B : Observação da face 1, 3 ou 5. 
 (a) Admita que o dado é honesto. Calcule as probabilidades: 
 ( )1a ( )P A ; ( )2a ( )P B ; ( )3a ( )P A B∩ ; ( )4a ( )/P A B . 
 (b) Admitindo que o dado é viciado verificando-se ( ) ( ) ( ) ( ) 191 3 4 5P P P P= = = = , 
( ) 292P = , ( ) 396P = . Calcule: 
 ( )1b ( )P A ; ( )2b ( )P B ; ( )3b ( )P A B∩ ; ( )4b ( )/P A B . 
 (c) Admitindo ainda o dado viciado com as probabilidades 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 191 2 3 4 5P P P P P= = = = = e ( ) 496P = . 
 ( )1c ( )P A ; ( )2c ( )P B ; ( )3c ( )P A B∩ ; ( )4c ( )/P A B . 
 (d) O que conclui relativamente à dependência ou independência dos acontecimentos A e 
B nas três situações apresentadas. 
 
 
Exercício 3.3.52: O levantamento de 500 estudantes que frequentam um ou mais cursos de 
Álgebra, Física e Estatística, durante um semestre, revelou os seguintes números de 
estudantes em cada matéria indicada: 
Álgebra 329 
Física 186 
Estatística 295 
Álgebra e Física 83 
Álgebra e Estatística 217 
Física e Estatística 63 
 
 Deste grupo foi escolhido um aluno ao acaso. Calcule a probabilidade de ele 
frequentar: 
 (a) As três matérias; 
 (b) Álgebra, mas não estatística; 
 (c) Física, mas não Álgebra; 
 (d) Álgebra e Física ou Estatística. 
 
 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 91
Exercício 3.3.53: Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 2 bolas brancas e 7 azuis. Extraem-
se, ao acaso, 3 bolas. Determine a probabilidade de: 
 (a) todas serem vermelhas; 
 (b) nenhuma ser branca; 
 (c) serem 2 vermelhas e uma azul; 
 (d) ser 1 de cada cor. 
 
 
Exercício 3.3.54: Considerem-se 3 urnas iguais. A urna I contém 4 esferas brancas e duas 
pretas; a urna II contém 3 esferas brancas e 7 pretas; a urna III contém 5 esferas brancas e 3 
pretas. Escolhe-se uma ao acaso e dela retira-se 1 esfera branca. Determinar a 
probabilidade de ter sido escolhida a segunda urna. 
 
 
Exercício 3.3.55: Duas máquinas automáticas produzem peças idênticas que são lançadas 
num transportador. O rendimento da primeira máquina é duas vezes maior que o da segunda. 
A primeira máquina produz, em média, 60% das peças sem defeito e a segunda 84%. 
Verificou-se que uma peça tomada ao acaso do transportador não tinha defeito. Determinar 
a probabilidade de tal peça ter sido produzida pela primeira máquina. 
 
 
Exercício 3.3.56: De 60 candidatos a uma dada Universidade, 40 são do sul. Escolhidos 20 
candidatos ao acaso, determine a probabilidade de: 
 (a) Dez serem do sul; 
 (b) No máximo 2 serem do sul. 
 
 
Exercício 3.3.57: Considere um baralho com 52 cartas do qual se extrai uma carta. Sabendo 
que a carta é uma copa, qual a probabilidade de ser um rei? 
 
 
Exercício 3.3.58: Num jogo de cartas, extraem-se 5 cartas de um baralho de 52. Determine a 
probabilidade de aparecer: 
 (a) um ás; (b) 3 ases; (c) 4 ases; 
 (d) 4 reis e um ás; (e) 3 valetes e um rei; (f) ao menos um ás. 
 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 92 
Exercício 3.3.59: Por engano misturaram-se 4 pilhas novas com 3 pilhas usadas. É 
necessário colocar 3 no rádio. Qual a probabilidade de escolher: 
 a) 3 pilhas novas; 
 b) 2 pilhas novas e uma usada. 
 
 
3.3.9. Soluções 
 
Nota: Apenas são apresentadas as soluções dos Exercícios Propostos. 
 
(a) Não existe independência; Exercício 3.3.20: 
( )1b 0,98; ( )2b 0,24; ( )3b 0,14. 
(a) 0,11; (b) 0,14; (c) 0,10; Exercício 3.3.21: 
(d) 0,40; (e) 0,05. 
Exercício 3.3.22: 16 . 
Exercício 3.3.23: (a) 15 ; (b) 215 . 
Exercício 3.3.24: 25 . 
Exercício 3.3.25: 34 . 
Exercício 3.3.26: [ ]0;0,5p∈ 
Exercício 3.3.27: (a) 0,3; (b) 0,5. 
Exercício 3.3.28: (a) 0,3456; (b) 0,2074; (c) 0,00016; (d) 0,208. 
Exercício 3.3.29: (a) 0,5738; (b) 0,07. 
Exercício 3.3.30: (a) 0,38; (b) B . 
Exercício 3.3.31: 0,428. 
Exercício 3.3.32: 0,161. 
Exercício 3.3.33: (a) 0,62; (b) 0,3225.Exercício 3.3.34: (a) 0,2; (b) 0,32; (c) 0,744. 
Exercício 3.3.35: (a) 0,3835; (b) 0,1296. 
Exercício 3.3.36: [ ] 1216P A = ; [ ] 136P B = ; [ ] 59P C = . 
Exercício 3.3.37: (a) 0,625; (b) 0,2. 
(a) 0,1; (b) 0,15; (c) 0,15; Exercício 3.3.38: 
(d) 0,15; (e) 0,18. 
I. S. E. L. E. P. / I. E. P. 
 
Teoria das Probabilidades 93
Exercício 3.3.39: (a) 15 ; (b) 310 ; (c) 825 ; (d) 1350 . 
Exercício 3.3.40: Não são mutuamente independentes. 
(a) 1623160; (b) 389620; Exercício 3.3.41: 
(c) [ ] 0,24P A = ; [ ] 0,91P B = ; [ ] 0,91P A B∪ = ; [ ]/ 0, 264P A B = . 
Exercício 3.3.42: 1º Ana; 2º Teresa; 3º Luisa. 
Exercício 3.3.43: (a) 0,44; (b) 0,7143; (c) 0,84; (d) 0,0686. 
(a) 0,08; (b) 0,19; (c) 0,81; Exercício 3.3.44: 
(d) 0,88; (e) 0,07. 
Exercício 3.3.45: (a) 0,27; (b) 0,802. 
Exercício 3.3.46: (a) 0,001; (b) 0,42; (c) 0,99; (d) 0,17. 
Exercício 3.3.47: (a) 0,6; (b) 0,25; (c) 0,1. 
Exercício 3.3.48: ---------- 
Exercício 3.3.49: (a) 0,236; (b) 0,169; (c) 0,0052. 
Exercício 3.3.50: (a) 1 2 3p p p+ − ; (b) 2 3p p− ; (c) 1 2 31 p p p− − + ; (d) 3
1
p
p . 
( )1a 13 ; ( )2a 12 ; ( )3a 16 ; ( )4a 13 ; 
( )1b 13 ; ( )2b 13 ; ( )3b 19 ; ( )4b 13 ; 
( )1c 29 ; ( )2c 13 ; ( )3c 19 ; ( )4c 13 ; 
Exercício 3.3.51: 
(d) No 1º e 2º casos: A e B são independentes; 
 No 3º caso: A e B são dependentes. 
Exercício 3.3.52: (a) 0,106; (b) 0,224; (c) 0,206; (d) 0,494. 
Exercício 3.3.53: (a) 0,04; (b) 0,63; (c) 0,23; (d) 0,18. 
Exercício 3.3.54: 0,17. 
Exercício 3.3.55: 0,59. 
Exercício 3.3.56: (a) 0,037; (b) 110,355 10−× . 
Exercício 3.3.57: 113 . 
(a) 0,3; (b) 0,0017; (c) 0,000018; Exercício 3.3.58: 
(d) 0,0000015; (e) 0,00027; (f) 0,34. 
Exercício 3.3.59: (a) 0,11; (b) 0,51.