Mecânica geral sem2 avaliação Q2

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Exercício 2 
Utilizando coordenadas cilíndricas, escrevemos: 
( )
2 2
2 2
2
2 0 0
L R
zz
L
MI x y d d dz
R L
π
−
= ρ + ρ ϕ
π ∫ ∫ ∫
Efetuando as integrais temos: 
4 2
3
2 2
0
2 2
4 2
R
zz
L M R MRI dp M
R L R
π
= ρ = =
π ∫
 As demais componentes do tensor são: 
( )
( )
2 2
2 2
2
2 0 0
2 2
2 2
2
2 0 0
L R
yy
L
L R
xx
L
MI z x dpd dz
R L
MI z y dpd dz
R L
π
−
π
−
= + ρ ϕ
π
= + ρ ϕ
π
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Em coordenadas esféricas escrevemos: 
( )
( )
2 2
2 2 2
2
2 0 0
2 2
2 2 2
2
2 0 0
cos
L R
yy
L
L R
xx
L
MI z d d dz
R L
MI z sen d d dz
R L
π
−
π
−
= +ρ ϕ ρ ρ ϕ
π
= +ρ ϕ ρ ρ ϕ
π
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Lembrando que,
 
( )2 22
0 0
1 cos 2
cos
2
d
d
π π + ϕ ϕ
ϕ ϕ = = π∫ ∫ 
( )2 22
0 0
1 cos 2
2
sen d
π π − ϕ
ϕ ϕ = = π∫ ∫ 
( )
3 32 22 2 2 3
2 2 2
2 0 0 2
2
2 3 2 2 12
L LR
L L
R R L L Ld d dzz z dz R
π
− −
 π    ρ ρ ϕ = π = − − = π         
∫ ∫ ∫ ∫
 
Obtemos: 
 
 
3 4 2
2 2
2
3 4 2
2 2
2
12 4 4 3
12 4 4 3
xx
yy
M L R L M LI R R
R L
M L R L M LI R R
R L
   π
= π + = +   π    
   π
= π + = +   π    
 
Uma vez que, 
2 2
0 0
cos 0d sen d
π π
ϕ ϕ = = ϕ ϕ∫ ∫
 
Os produtos de inércia são todos nulos: 
0xy xz yzI I I= = =