Apostila de Vetores e Geometria Analítica - PARTE 03

Prévia do material em texto

PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 1 
 
 
 
 
 
Exemplo - Calcular o ângulo entre os vetores ⃗⃗ = (1, 1, 4) e ⃗⃗ = (-1, 
2, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Sabendo que o vetor ⃗⃗ = (2, 1, -1), forma um ângulo de 60º 
com o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m). 
Calcular m. 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗� | . |�⃗⃗� | . COS  COS  = 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� | .|�⃗⃗� | 
 
COS  = 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� | .|�⃗⃗� | 
 
COS  = 
9 
 18 . 3 
 
COS  = 
9 
3 2 . 3 
 
COS  = 
1 
 2 
 . 
 2 
 2 
 
COS  = 
 2 
2 
 
COS  = 45º 
|�⃗⃗� | = 12 + 12 + 42 
|�⃗⃗� | = 1 + 1 + 16 
|�⃗⃗� | = 18 
|�⃗� | = (−1)2 + 22 + 22 
|�⃗� | = 1 + 4 + 4 
|�⃗� | = 9 
|�⃗� | = 3 
�⃗⃗� . �⃗� = (1, 1, 4) . (-1, 2, 2) 
�⃗⃗� . �⃗� = 1(-1) + 1(2) + 4(2) 
�⃗⃗� . �⃗� = -1 + 2 + 8 
�⃗⃗� . �⃗� = 9 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B – A 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (4, 0, m) – (3, 1, -2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, -1, m+2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . �⃗� = (1, -1, m+2) . (2, 1, -1) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . �⃗� = [1(2) + (-1)1 + (-1).(m+2)] 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . �⃗� = (2 - 1 – m – 2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . �⃗� = -1 - m 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Sabendo que | ⃗⃗ | = , | ⃗⃗ | = 3 e que ⃗⃗ e ⃗⃗ formam um 
ângulo de 
 
 
 rad, determinar: 
a) |(2 ⃗⃗ - ⃗⃗ ) . ( ⃗⃗ - 2 )|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 12 + (−1)2 + (𝑚 + 2)2 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 1 + 1 + 𝑚2 + 2𝑚 . 2 + 22 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 2 + 𝑚2 + 4𝑚 + 4 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 𝑚2 + 4𝑚 + 6 
 
|�⃗� | = 22 + 12 + (−1)2 
|�⃗� | = 4 + 1 + 1 
|�⃗� | = 6 
 
 
COS  = 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . �⃗⃗� 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| .|�⃗⃗� | 
 
COS 60º = 
;1;m 
 𝑚2+4𝑚+ 6 . 6 
 
1
2
 = 
;1;m 
 6𝑚2 + 24𝑚+ 36 
 
(
1
2
)2 = −1−m 
 6𝑚2 + 24𝑚+ 36 
 2 
(
1
2
)2 = −1−m 
 6𝑚2 + 24𝑚+ 36 
 2 
1
4
 = 
(−1)
2
+ 2 −1 (−m) +(−m)
2
 
6𝑚2 + 24m + 36 
1
4
 = 
1:2𝑚: 𝑚2
6𝑚2:24𝑚:36
 
6m2 + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m2 
6m2 - 4m2 + 24m – 8m + 36 -4 = 0 
2m2 + 16m + 32 = 0 
m2 + 8m + 16 = 0 
−8 ± 82 − 4 . 1 . 16
2 . 1
 
−8 ± 0
2 
 
x ‘ = -4 
x ‘’ = -4 
 Portanto, m = - 4 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 3 
 
 
 
 
 
 
 
b) | ⃗⃗ - 2 ⃗⃗ | = 
 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = (�⃗⃗� - 2�⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑉)⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = �⃗⃗� , �⃗⃗� - 2�⃗� . �⃗⃗� - 2�⃗� . �⃗⃗� + 4�⃗� . �⃗� 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = |�⃗⃗� |2 - 4�⃗� . �⃗⃗� + 4 |�⃗� |2 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = ( 2)2 – 4(-3) + 4(3)2 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = 2 + 12 + 36 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = 50 
|�⃗⃗� - 2�⃗⃗� |2 = 50 
 
Exemplo – Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo 
lado mede 20 cm. Calcular ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| . |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| . Cos  
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 20 . 20 . Cos 60º 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 400 . 
1
2
 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 200 
(2�⃗⃗� - �⃗⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑽)⃗⃗⃗⃗ = 2�⃗⃗� . �⃗⃗� - 4�⃗⃗� . �⃗� - �⃗� . �⃗⃗� + 2�⃗� . �⃗� 
(2�⃗⃗� - �⃗⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑽)⃗⃗⃗⃗ = 2|�⃗⃗� |2 - 5�⃗⃗� . �⃗� + 2|�⃗� |2 
(2�⃗⃗� - �⃗⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑽)⃗⃗⃗⃗ = 2 . ( 2)2 – 5(-3) + 2 . 32 
(2�⃗⃗� - �⃗⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑽)⃗⃗⃗⃗ = 4 + 15 + 18 
(2�⃗⃗� - �⃗⃗� ) . (�⃗⃗� - 2𝑽)⃗⃗⃗⃗ = 37 
 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗� | . |�⃗� | . Cos 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝟐 . 3 . Cos135º 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 3 𝟐 . - 
 𝟐 
𝟐
 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 3. 
–2 
2
 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = -3 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| . |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| . Cos  
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 20 . (-20) . Cos 60º 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = - 400 . 
1
2
 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = -200 
 
60º 
60º 60º 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 4 
 
Cossenos diretores de ⃗⃗ são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, 
Cos , Cos β e Cos ϒ. Para o cálculo desses valores, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o versor é um vetor unitário, decorre imediatamente que : 
 
 
Exemplo – Calcular os ângulos diretores de ⃗⃗ = (1, -1, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
Cos  = 
𝐗
|�⃗⃗� |
 Cos β = 
𝐘
|�⃗⃗� |
 Cos ϒ = 
𝐙
|�⃗⃗� |
 
OBS.: Notemos que os cossenos diretores de �⃗⃗� são 
precisamente os componentes do versor de �⃗⃗� : 
�⃗⃗⃗� 
|𝑽|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
 = 
(𝑿,𝒀,𝒁)
|𝑽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 = 
𝑿
|𝑽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
,
𝒀
|𝑽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
,
𝒁
|𝑽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 = (Cos , Cos β, Cos ϒ) 
Cos2  + Cos2 β + Cos2 ϒ = 1 
Cos  = 
X 
|V⃗⃗⃗ | 
 
Cos  = 
1 
 2 
 . 
 2 
 2 
 
Cos  = 
 2 
2 
 
 = 45 º 
Cos β = 
Y 
|V⃗⃗⃗ | 
 
Cos β = - 
1 
 2 
 . 
 2 
 2 
 
Cos β = - 
 2 
2 
 
β = 135 º 
Cos ϒ = 
Z 
|V⃗⃗⃗ | 
 
Cos ϒ = - 
0 
 2 
 
ϒ = 90 º 
|�⃗⃗� | = 𝟏𝟐 + (−𝟏)𝟐 + 𝟎𝟐 
|�⃗⃗� | = 𝟏 + 𝟏 
|�⃗⃗� | = 𝟐 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 5 
 
Exemplo – Um vetor ⃗⃗ do espaço forma com os vetores e ângulos de 60º 
e 120º, respetivamente. Determinar o vetor ⃗⃗ , sabendo que | ⃗⃗ | = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar ⃗⃗ . ⃗⃗ que é 
um escalar, onde para simplificar o cálculo do produto vetorial, faz-se o 
uso de determinantes. 
 
 
 
 
 = 
 
 
 . a - 
 
 
 . b + 
 
 
 . c 
 
O produto vetorial pode ser representado por ⃗⃗ x ⃗⃗ . 
 
 ⃗⃗ x ⃗⃗ = 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
V⃗⃗ = (x, y, z) 
V⃗⃗ = (1, -1, 2) 
Cos  = 
X 
|V⃗⃗⃗ | 
 
Cos 60º = 
X 
2 
 
1 
2 
 = 
X 
2 
 
2x = 2 
x = 1 
Cos β = 
Y 
|V⃗⃗⃗ | 
 
Cos 120º = 
Y 
2 
 
- 
1 
2 
 = 
Y 
2 
 
2y = -2 
y = -1 
|V⃗⃗ | = 2 
 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 = 2 
 12 + (−1)2 + 𝑍2 = 2 
( 2 + 𝑍2)2 = (2)2 
2 + Z2 = 4 
Z2 = 4 – 2 
Z = ± 2 
 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
E-MAIL – luishenriquesouza31@gmail.com Página 6 
 
Exemplo: Calcular ⃗⃗ x ⃗⃗ para ⃗⃗ = 5 + 4 + 3 ⃗⃗ e ⃗⃗ = + . 
 
U⃗⃗ x V⃗⃗ = 
𝑖 𝑗 �⃗� 
5 4 3
1 0 1
 = 4 3
0 1
 . 𝐢 - 5 3
1 1
 . 𝐣 + 5 4
1 0
 . 𝐤 
 = 4(1) – (0)3 i - 5(1) – 1(3) j + 5(0) – 1(4) 
= 4 i - 2 j - 4 k⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES 
 �⃗⃗� x �⃗⃗� = -(�⃗⃗� x �⃗⃗� ), os vetores são opostos, pois a troca 
da ordem dos vetores implica a troca de sinais dos 
determinantes de ordem 2x2. 
 
 �⃗⃗� x �⃗⃗� = 0, se os determinantes de ordem 2x2 tiverem 
suas linhas proporcionais ou suas linhas iguais a 0. 
CARACTERÍSTICAS 
 Direção de �⃗⃗� x �⃗⃗� – o vetor �⃗⃗� x �⃗⃗� é simultaneamente 
ortogonal a �⃗⃗� e �⃗⃗� . 
 
 Comprimento de �⃗⃗� x �⃗⃗� = se  é o ângulo entre os 
vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� não nulos, então: 
 
|�⃗⃗� x �⃗⃗� | = |�⃗⃗� | x |�⃗⃗� | . Sen  
Gostou do Material? CURTE, SALVA e 
COMENTA !