Vetores: definição, operações, exercícios

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são aquelas que ficam bem representadas com a utilização de um 
número e de uma unidade. Por exemplo: uma pessoa que vá ao 
supermercado e peça ao vendedor 5 kg de arroz, estará dando todas as 
informações necessárias. O vendedor não terá dúvidas sobre o que a 
pessoa deseja.
Algumas grandezas físicas escalares: comprimento, massa, tempo etc.
são aquelas que necessitam, para ficarem bem representadas, além do número e 
da unidade, de uma direção e um sentido. Por exemplo: uma pessoa pede à outra 
que aplique uma força de 5N sobre a lateral de uma mesa. Se ela não disser 
também qual a direção e o sentido que a força deve ser aplicada, haverá dúvidas na 
realização do pedido.
Algumas grandezas físicas vetoriais: velocidade, aceleração, força etc.
EXERCÍCIOS 1. (UFJF-MG) – Assinale a alternativa em que há somente grandezas vetoriais:
a) velocidade, aceleração, momento linear, campo elétrico.
b) massa, tempo, carga elétrica, temperatura.
c) força, índice de refração, resistência elétrica, momento linear.
d) energia, campo elétrico, densidade, empuxo.
e) trabalho, pressão, período, calor.
Resolução
a) todas vetoriais 
b) E; E; E; E
c) V; E; E; V 
d) E; V; E; V
e) E; E; E; E
É um segmento de reta orientado que pode representar
uma Grandeza Física.
A
Exemplos:
B
Lemos: Vetor A e Vetor B
A
Módulo: 3 cm
3 cm Direção: Vertical
Sentido: Para cima
Vetor A
Módulo: 5,5 cm
Direção: Horizontal
Sentido: Para esquerda
Vetor B
B
É necessário que estes
possuam as mesmas características para que
sejam ditos IGUAIS.
Exemplo:
A C
Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C
Vetores Diferentes: São aqueles que possuem uma
ou mais diferenças em suas características.
A
B
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem módulos
diferentes.
BA
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem direções
e sentidos diferentes.
A B
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem sentidos
diferentes.
São ditos opostos quando a única
diferença entre eles é a oposição de sentido.
Exemplo:
A - A
Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “
EXERCÍCIOS 2. Considere duas forças, e intensidades F1 = 10,0N e F2 = 
15,0N, aplicadas a um ponto material. Um possível valor da intensidade da força 
resultante entre F1 e F2 é
a) zero b) 2,0N c) 4,0N d) 12,0N e) 30,0N
՜
F
1
՜
F
2
F2 - F1 ≤ FR ≤ F2 + F1
15 - 10 ≤ FR ≤ 15 + 10
5,0 ≤ FR ≤ 25
՜
F
1
՜
F
2
՜
F
1
՜
F
2
՜
F
1
՜
F
2
Sejam os vetores abaixo:
A
BC
D
Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com 
qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono:
C
D
A
B
Soma
Após terminarmos 
ocorre a formação de 
um polígono.
13
:
B
Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:
A
A
B
Vamos fazer traços paralelos 
aos lados opostos.
Soma = A + B
14
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores 
perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante 
e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA 
DE PITÁGORAS:
A
A
B
B
S
S
S2 = A2 + B2
=1) +3 m 4 m
2) + =+a

b

c

3 m
4 m
R = 5 m
R² = 3² + 4²
a

b

c

R

R
R² = 9 + 16
R² = 25
R = √25
16
A
Tomemos como exemplo um vetor A:
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:
3 A
A A A
Comprove:
vu .2= tw −=
vs .3= vm .2−=
wva −= tvg .2−=
a
t.2−
g
3. EXERCÍCIOS (FUND. CARLOS CHAGAS) – Os quatro vetores, cada 
um de modulo V, representados na figura, tem soma vetorial de modulo:
a) zero b) V c) 2 . V
d) 4V e) 7V
Componentes de um Vetor
• Se juntarmos as componentes, 
chegamos ao vetor 
• Se separarmos o vetor em 2 partes, 
encontramos uma parte no eixo x e 
uma parte no eixo y
F
F
yF
xF
F
yF
xF

Como encontrar os valores das componentes?
yF
xF
F
Fy = F∙Senα Fx = F∙cosα
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
Fy
F
Cos 𝛼 =
Fx
F
Dados:
F = 100 N
sen  = 0,5
F
yF
xF
senFFy .=

5,0.100=yF
Fy = 50 N
Dados:
F = 80 N
cos  = 0,4
FyF
xF
cos.FFx =

4,0.80=xF
Fx = 32 N
F1
F2
FR
⊡
FR
2 = F1
2 + F2
2 
E quando o 
ângulo não 
for 90°?
No triângulo Qualquer
a
b
c
C
B
A
Lei dos Senos:
Lei dos Cossenos:
a² = b² + c² - 2∙b∙c∙Cos(A)
a = b = c 
sen(A) sen(B) sen(C)
F1
F2
R
F2
F1
𝜶= 50°
180° - 50° = 130°
130°
𝜶= 50°
𝜶= 50°
SOMA = 130 + 130 + 50 + 50 = 360°
F2
RF1
R2 = F1
2 + F2
2 - 2F1F2 COS (180° - α)
R2 = F1
2 + F2
2 + 2F1F2 COS (α)
COS(180° - α) = - COS α
a

=+
b

a

a

b

b
R

cos...2222 babaR ++=
a

b



E quando o ângulo
for:
θ = 140°
sen𝛉 e cos𝛉
Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante
sen
cos
180º - x
GRAU RADIANO
sen (180º - x) = sen x 
cos (180º - x) = - cos x 
sen (π - x) = sen x 
cos (π - x) = - cos x 
Note que falta x para 180º ou π.
Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm:
senos iguais
cossenos simétricos
sen
cos
π - xx x
sen (180º - 40º) = sen 40º 
sen 140º 
sen (180º - x) = sen x 
Sen (40º) = sen140º 
cos (180º - x) = - cos x 
cos (180º - 40º) = - cos 40º 
cos (140º ) = - cos 40º 
Cos 140º 
180° - X = 140° X = 180° - 140 = 40°
Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante
sen
cos
180º + x
GRAU RADIANO
sen (180º + x) = -sen x 
cos (180º + x) = - cos x 
sen (π + x) = -sen x 
cos (π + x) = - -cos x 
Os arcos x e 180º + x têm:
senos simétricos
cossenos simétricos
π + x
x
sen
cos
x
sen (180º + x) = -sen x 
cos (180º + x) = - cos x 
Sen 210º 
sen (180º + 30º) = - sen 30º 
Cos 210º 
cos (180º + 30) = - cos 30 
Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante
sen
cos
360º - x
GRAU RADIANO
sen (360º - x) = - sen x 
cos (360º - x) = cos x 
sen (2π - x) = - sen x 
cos (2π - x) = cos x 
Os arcos x e 360º - x têm:
senos simétricos
cossenos iguais
2π - x
x
sen
cos
x
sen (360º - x) = - sen x 
cos (360º - 60°) = cos 60°
sen 300°
cos 300°
sen (360º - 60°) = - sen 60°
cos (360º - x) = cos x 
EXERCÍCIOS 1. Duas forças de módulos = 8 N e = 9 N formam 
entre si um ângulo de 60º. Sendo cos 60º = 0,5 e sen 60º 0,87, o módulo 
da força resultante, em newtons, é, aproximadamente,
a) 8,2 d) 14,7
b) 9,4 e) 15,6
c) 11,4
՜
F1
՜
F2
FR = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 + 2𝐹1 ∙ 𝐹2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
FR = 8
2 + 92 + 2 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 0,5
FR = 64 + 81 + 72
FR = 217
FR = 14,7 N
Determine o módulo da resultante dos vetores:
N5 120
N5
NFR 5=
o
RF 120cos.5.5.255 222 ++=
)
2
1
.(5025252 −++=RF
Exercício 2. 
cos (180º - x) = - cos x 
cos (180º - 60°) = - cos 60°
FR
2 = F1
2 + F2
2 + 2F1F2 COS (α)
cos (120º ) 
EXERCÍCIOS 3.
FR = 0
EXERCÍCIOS 4.(CATÓLICA-BRASÍLIA-MODELO ENEM) – Uma vitima de um acidente auto mobilíssimo 
sofreu uma lesão no maxilar inferior. Apos atendimento de primeiros socorros, foi submetida a uma tração, conforme a 
figura abaixo. Os trechos de fio BC e AC estão no mesmo plano horizontal.
Com base nessas condições, qual o modulo da força que o queixo do paciente aplica no suporte?
a) 10N b) 20N c) 30N
d) 40N e) 50N cos.F.F.2FF 2121
222 ++=RF
NFR 20=