DenilsonAires CDII Portfolio07

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Universidade Federal do Ceará 
Curso: Licenciatura Plena em Matemática 
Aluno: Denilson Aires dos Santos 
Disciplina: Cálculo Diferencial II 
Matrícula: 298186 
1- No exercício, encontrar os vetores tangentes às curvas 
paramétricas da imagem da função dada no ponto indicado. E faça 
uma figura mostrando as curvas que contém o ponto e os vetores 
tangentes: 
 
a) 3. H(u, v) (2cos u, 2sen u, v) e Q( 2, 2, 2); 
 O ponto (√2,√2,2) na imagem de H, corresponde ao ponto , 2
4
 
 
 
no 
domínio de H. Fazendo a demonstração: 
 
, 2 (2cos ,2sen , )
4
,2 2cos ,2 ,2
4 4 4
2 2
,2 2* ,2* ,2 2, 2,2
4 2 2
H u u v
H sen
H

  

 
 
 
   
   
   
  
        
 
Calculando Hu: 
( , ) ( 2 ,2cos ,0)uH u v senu u  
O vetor tangente à curva u-parâmetro em (√2,√2,2) é: 
2 2
( ,2) ( 2* ,2* ,0) ( 2, 2,0)
4 2 2
uH

    
 
Calculando Hv: ( , ) (0,0,1)vH u v  
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cai.ufc.br/brasao.jpg&imgrefurl=http://www.cai.ufc.br/resultadobrafitec_2009.htm&usg=__w56WL45dXUoCtxtO_Wt0c16nxfU=&h=720&w=540&sz=49&hl=pt-BR&start=3&itbs=1&tbnid=K-OsEfQZSUQ7rM:&tbnh=140&tbnw=105&prev=/images?q=universidade+federal+do+cear%C3%A1&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.simoespi.com.br/site/wp-content/uploads/2009/08/UAB.jpg&imgrefurl=http://www.simoespi.com.br/site/ufpi-divulga-resultado-da-selecao-para-uapi/&usg=__WV5s2Rypzm-gmwwzasF87mFTUqY=&h=400&w=399&sz=74&hl=pt-BR&start=1&itbs=1&tbnid=OxSRkeyZhO7D8M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=uab&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
O vetor tangente à curva v-parâmetro em (√2,√2,2) é: 
( ,2) (0,0,1)
4
vH

 
As curvas u-parâmetro e v-parâmetro são dadas por: 
( , 2) (2cos ,2 , )
( , 2) (2cos ,2 ,2)
H u u senu v
H u u senu


 
E 
( , ) (2cos ,2 , )
4 4 4
2 2
( , ) (2* ,2* , ) ( 2, 2, )
4 2 2
H v sen v
H v v v
  


 
 
Y
O
Q
Fu
Fv
X
 
Z
Q
Hv
Hu
Y
X
O
 
 
b) 5. J(u, v, w) (u cos v, u sen v, w) e Q( 2, 2, 2); 
O ponto (√2,√2,2) na imagem de J, corresponde ao ponto 2, , 2
4
 
 
 
no 
domínio de J. Fazendo a demonstração: 
J(u,v,w) (u cosv,u sen v,w)
J(2, ,2) (2cos ,2sen ,2)
4 4 4
2 2
J(2, ,2) (2* ,2* ,2) ( 2, 2,2)
4 2 2

  


 
 
Calculando Ju: 
u
J(u,v,w) (u cosv,usen v,w)
J (u,v,w) (cosv,senv,0)


 
O vetor tangente à curva u-parâmetro em (√2,√2,2) é: 
u
2 2
J 2, ,2 cos ,sen ,0 , ,0
4 4 4 2 2
      
              
Calculando Jv: 
vJ (u,v,w) ( usenv,ucosv,0)  
O vetor tangente à curva v-parâmetro em (√2,√2,2) é: 
v
2 2
J 2, ,2 2sen ,2cos ,0 2* ,2* ,0 ( 2, 2,0)
4 4 4 2 2
      
                 
 
Calculando Jw: 
wJ (u,v,w) (0,0,1) 
O vetor tangente à curva w-parâmetro em (√2,√2,2) é: 
wJ 2, ,2 (0,0,1)
4
 
 
  
As curvas u-parâmetro, v-parâmetro e w-parâmetro são dadas por: 
   
2 2
J u, ,2 u cos ,u sen ,2 u ,u ,2
4 4 4 2 2
J 2,v,2 2cosv,2sen v,2
2 2
J 2, ,w 2cos ,2sen ,w 2* ,2* ,w ( 2, 2,w)
4 4 4 2 2
      
             

      
              
Z
Q
Jw
Jv
Ju
Y
X
O
 
2- Se F : A  m nR R ( , , )m e n com m n   3 4 2 3 1 representa o fluxo 
(bidimensional se n = 2 e tridimensional se n = 3) de um fluido, 
então para cada t fixo, o campo vetorial F
t


 é chamado de campo 
velocidade do fluxo no tempo t; o fluxo é dito estacionário ou 
variável conforme tal campo seja independente ou dependente de t, 
respectivamente. No exercício, se a função dada define o fluxo de 
um fluido, ache o campo velocidade V do fluxo e verifique que o fluxo 
é estacionário: F x y t xe yet t( , , ) ( , ); 
Solução: 
Substituindo: 
t
t
u xe
v ye


 
Derivando: 
'( , ) ( , ) ( , )t t t t tF xe ye xe ye e x y 
 
Assim temos que: 
( , ) ( , )V u v u v
 
 
3- 
y y
x
ny
y ;
e xe
 
 
 
 
 
Solução: 
A matriz diferencial é dada por (
𝑎
𝑎𝑥
 (𝑥𝑙𝑛𝑦) 
𝑎
𝑎𝑦
 (𝑥𝑙𝑛𝑦)
𝑎
𝑎𝑥
(𝑥𝑒𝑦) 
𝑎
𝑎𝑦
(𝑥𝑒𝑦)
) = 
(
1.𝑙𝑛𝑦 𝑥
1
𝑦
1.𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑦
) 
Como Dy(𝑒𝑦) = 𝑒𝑦. 𝐷𝑦(𝑦) → 𝑒𝑦. 1 = 𝑒𝑦. 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐹(𝑥, 𝑦) = (
𝑙𝑛𝑦 
𝑥
𝑦
𝑒𝑦 𝑥𝑒𝑦
) 
4- Se F é uma função diferenciável tal que 
1 2
F'' ( 1,1) 1 0
0 1
 
   
  
 e 
 2 2G(x, y) F x 2y, 2y x ,   calcule G' (1, 1). 
Solução: 
Usando o teorema da regra da cadeia generalizada teremos: 
2 2
'( , ) '( ² 2 , 2 ² )*
1 4
x
G x y F x y y x
y
 
    
  
Assim para calcular o valor de F’(-1, 3), usaremos: 
² 2 1
2 ² 3
x y
y x
  

 
. 
2
4
4
4
4
4
² 2 1
2 1 ²
1 ²
2
2 ² 3
1 ²
2* 3
2
1 2 ²
2* 3
4
2 4 ² 2
3
4
2 4 ² 2 4 12 ( 2)
2 ² 2 1 6
2 ² 2 5
x y
y x
x
y
y x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x x
x x x
 
 


 
 
  
 
  
  
 
 
 
     
   
  
 
5- Se u f (x, y) e v g(x, y) são diferenciáveis, além disso x rcos  e 
y rsen ,  mostre que: 
Usando que ( , ) ( cos , )u f f x y f r rsen    e 
( , ) ( cos , )v g g x y g r rsen    temos que: 
. . .cos .
. . .cos .
. . .( ) .( cos ) . cos .
. . .( ) .( cos ) . cos .
r x r y r x y
r x r y r x y
x y x y x y
x y x y x y
u f x f y u u sen
v g x g y v v sen
u f x f y u rsen u r rsen u r u
v g x g y v rsen v r rsen v r v
  
  
 
 
   
   
   
   
       
       
 
 
 
 
 (a)    x x r r
1
u v u v cos u v sen ;
r  
      
 
Partindo do segundo membro para chegar no primeiro e concluir a 
demonstração: 
   
 
r r
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x
1
u v cos u v sen
r
1
u .cos u .sen v .cos v .sen cos [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]sen
r
u .cos ² u .sen cos v .cos ² v .sen cos sen² .u sen cos .u sen² .v sen cos .v
u (cos ² sen
    
                 
                   
  x x x² ) v (cos ² sen² ) u v      
 
Como queríamos demonstrar.
 
 (b)    y y r r
1
u v u v sen u v cos .
r  
      
Usando o mesmo processo podemos chegar à demonstração do item B.
 
   
 
r r
x y x y x y x y
x y x y x y x y
y
1
u v sen u v cos
r
1
u .cos u .sen v .cos v .sen sen [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]cos
r
u .cos sen u .sen² v .cos sen v .sen² cos sen .u cos ² .u cos sen .v cos ² .v
u (sen² cos
      
                  
                   
  y y y² ) v (sen² cos ² ) u v      