MPTC media mediana aula fev18

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Guillermo Guillermo Guillermo Guillermo PatricioPatricioPatricioPatricio Ortega Ortega Ortega Ortega JácomeJácomeJácomeJácome
�Ao se trabalhar com um conjunto de
observações, torna-se necessário encontrar
alguns parâmetros (medidas) que representem
a série.
�Estas medidas permitirão que sejam feitas
descrições da população objeto de pesquisa,
bem como estudos comparativos com
outras populações.
As principais medidas estatísticas que poderão ser
utilizadas na compreensão e análise dos dados são:
� Média
� Mediana
� Moda
� Separatriz
(quartil, decil e percentil ou centil)
Exemplo
� suponha-se que uma firma responsável pela seleção
dos candidatos, deseje avaliar o comportamento do
desempenho dos candidatos na última seleção em
relação ao realizado no ano anterior.
� Os responsáveis pela elaboração das provas acreditam
que o nível desta última turma é superior, tendo em
vista que o grau de dificuldade das duas provas foi
praticamente o mesmo.
� Na última seleção, 120 candidatos realizaram a prova e
obtiveram os resultados contidos na Tabela 2.1.
Tabela 2.1.- Distribuição de notas dos candidatos
Notas 
(pontos)
Número de
candidatos
Percentagem 
(%)
10 10 10 10 ├ 25252525 12121212 10,010,010,010,0
25 25 25 25 ├ 40404040 21212121 17,517,517,517,5
40 40 40 40 ├ 55555555 30303030 25,025,025,025,0
55 55 55 55 ├ 70707070 26262626 21,721,721,721,7
70 70 70 70 ├ 85858585 18181818 15,015,015,015,0
85 85 85 85 ├ 100100100100 13131313 10,810,810,810,8
TotalTotalTotalTotal 120120120120 100,0100,0100,0100,0
Para responder a este questionamento, torna-se 
necessário utilizar algumas medidas estatísticas.
A primeira medida de tendência central a ser 
considerada será a média aritmética.
Existem dois tipos de média aritmética: 
Simples 
Ponderada
“A média aritmética simples é definida como 
sendo o quociente entre a soma de todos os 
valores observados e o número de observações”.
A sua obtenção é feita através da seguinte expressão 
matemática. 
Onde:
Xi é o i-ésimo valor observado
N é o número de observações.
Exemplo 1:
Seja o conjunto de valores 5, 7, 8, 9, 4 e 3.
A média aritmética simples deste conjunto será:
Ocorre muitas vezes na prática, que um ou
vários valores aparecem mais de uma vez.
ExemploExemploExemploExemplo 2222::::
Seja o conjunto de valores:
5, 7, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8 e 9.
Neste caso, o cálculo da média terá de levar em conta a
frequência com que este valores aparecem e isso se faz
com amédia aritmética ponderada.
A média aritmética ponderada é obtida:
multiplicando-se os valores (Xi) pelo número de
vezes (fi) que ocorre na série
a soma deste produto é dividido pelo número total
de observações (N)
A média aritmética ponderada tem a seguinte expressão 
matemática: 
onde: 
fi é a frequência do i-ésimo valor observado (Xi)
N é o número total de observações.
Tabela Tabela Tabela Tabela 2.2.2.2.2.2.2.2.
Valores observados Frequência
5 3
6 2
7 5
8 3
9 1
Total 14
Tabela 2.3.Tabela 2.3.Tabela 2.3.Tabela 2.3.
Valores observados Frequência Produto
5 3 15
6 2 12
7 5 35
8 3 24
9 1 9
Total 14 95
Como ΣXΣXΣXΣXiiiiffffiiii = 95 e N = 14 então 95 / 14 = 6,79
logo neste exemplo, a média será aproximadamente 6,79 
Para o cálculo da média aritmética ponderada nos casos de
tabelas de frequências, o raciocínio é análogo.
Só que nestes casos Xi passa a ser o pontopontopontoponto médiomédiomédiomédio ((((PPPPmmmm)))) do
intervalo de classe, como definido no capítulo anterior, e a
expressão matemática passa a ser:
Exemplo:
determinar as médias aritméticas das notas 
dos candidatos apresentadas nas tabelas
Para obter a média aritmética nas duas tabelas de frequência,
determinam-se inicialmente os pontos médios (Pm) dos
intervalos de classe nas duas tabelas, os quais serão:
Tabela 2.1.Tabela 2.1.Tabela 2.1.Tabela 2.1.---- Distribuição de notas dos candidatosDistribuição de notas dos candidatosDistribuição de notas dos candidatosDistribuição de notas dos candidatos
Notas Notas Notas Notas 
(pontos)(pontos)(pontos)(pontos)
Número deNúmero deNúmero deNúmero de
candidatoscandidatoscandidatoscandidatos
Percentagem Percentagem Percentagem Percentagem 
(%)(%)(%)(%)
10 10 10 10 ├ 25252525 12121212 10,010,010,010,0
25252525├ 40404040 21212121 17,517,517,517,5
40 40 40 40 ├ 55555555 30303030 25,025,025,025,0
55 55 55 55 ├ 70707070 26262626 21,721,721,721,7
70 70 70 70 ├ 85858585 18181818 15,015,015,015,0
85 85 85 85 ├ 100100100100 13131313 10,810,810,810,8
TotalTotalTotalTotal 120120120120 100,0100,0100,0100,0
17,517,517,517,5
32,532,532,532,5
47,547,547,547,5
62,562,562,562,5
77,577,577,577,5
92,592,592,592,5
Tabela 2.4.a.Tabela 2.4.a.Tabela 2.4.a.Tabela 2.4.a.
Ponto MédioPonto MédioPonto MédioPonto Médio FrequênciaFrequênciaFrequênciaFrequência ProdutoProdutoProdutoProduto
17,517,517,517,5 12121212 210,0210,0210,0210,0
32,532,532,532,5 21212121 682,5682,5682,5682,5
47,547,547,547,5 30303030 1425,01425,01425,01425,0
62,562,562,562,5 26262626 1625,01625,01625,01625,0
77,577,577,577,5 18181818 1395,01395,01395,01395,0
92,592,592,592,5 13131313 1202,51202,51202,51202,5
TotalTotalTotalTotal 120120120120 6540,06540,06540,06540,0
Tabela 2.4.b.Tabela 2.4.b.Tabela 2.4.b.Tabela 2.4.b.
Ponto médioPonto médioPonto médioPonto médio FrequênciaFrequênciaFrequênciaFrequência ProdutoProdutoProdutoProduto
17,517,517,517,5 8888 140,0140,0140,0140,0
32,532,532,532,5 10101010 325,0325,0325,0325,0
47,547,547,547,5 30303030 1425,01425,01425,01425,0
62,562,562,562,5 25252525 1562,51562,51562,51562,5
77,577,577,577,5 5555 387,5387,5387,5387,5
92,592,592,592,5 2222 185,0185,0185,0185,0
TotalTotalTotalTotal 80808080 4025,04025,04025,04025,0
= 6540,0 / 120 
= 54,5 pontos 
= 4025,0 / 80 
= 50,3 pontos 
Com base nestas informações, 
pode-se concluir que a última turma de candidatos foi 
melhor que a anterior?
Em termos de média aritmética, simsimsimsim, porém nem
sempre a média aritmética é um bom indicador.
Considere-se agora as notas individuais (dados
brutos), a média aritmética será:
Como se pode observar, a média aritmética dos
valores individuais, é diferente da obtida quando se
considera a tabela de frequência.
= 6216/120 = 51,8 pontos = 6216/120 = 51,8 pontos = 6216/120 = 51,8 pontos = 6216/120 = 51,8 pontos 
ObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservações acercaacercaacercaacerca dadadada médiamédiamédiamédia aritméticaaritméticaaritméticaaritmética
� a média aritmética é amplamente utilizada, porém em
algumas situações de forma inadequada
� a média aritmética é sensível a quaisquer mudanças
que ocorram em um ou mais valores da série
� a média aritmética é rigorosamente definida e fácil de
ser calculada, porém em algumas situações, não será
possível o seu cálculo, como nos casos de
distribuições de frequência que possuem classes de
limites não definidos
� a média aritmética é mais estável que quaisquer das 
outras medidas que serão vistas posteriormente
� a média aritmética tem a desvantagem de ser 
extremadamente sensível aos valores muito 
heterogêneos da série
� as médias aritméticas de diversas amostras podem 
ser combinadas para se obter a média aritmética do 
todo
� no caso de distribuição acentuadamente assimétrica, 
a média aritmética não será representativa da série 
Normalmente torna-se necessário o conhecimento de
outras medidas estatísticas para a caracterização de
uma distribuição,pois a média por si só, não é
suficiente.
Uma outra medida de posição, frequentemente
utilizada para a análise estatística de dados, é a
mediana
“A mediana é o valor central de uma série”
� a mediana de um conjunto de valores ordenados
(crescente e decrescente) divide este conjunto em duas
partes iguais
� existirão 50% dos valores da série acima da mediana e
os 50% restantes, abaixo
Considere as notas dos candidatos do último concurso 
em ordem crescente:
Os elementos centrais do rol, neste caso, serão:
(N/2) → 120/2 → elemento 60 → 
ou seja 50 pontos
portanto a mediana será de 50 pontos
Se o número de observações for ímpar
[(N+1) / 2] → [(121121121121+1) / 2] 
→ elemento 61 
→ ou seja 50 pontos
portanto a mediana será de 50 pontos
Exemplo 1:
Seja o conjunto de valores 6, 4, 7, 10 e 9 (anos)
A mediana deste conjunto será obtida calculando-se
inicialmente o elemento mediano, ou seja,
[(N+1) / 2] → (5+1) / 2 = 3 
portanto o elemento mediano é o terceiro do rol
Para se encontrar a mediana, vai-se ao conjunto de 
dados e identifica-se o elemento de ordem terceiro 
( já ordenado o rol: 4, 6, 7, 9, 10 ),
que no caso presente é 7 anos
No caso de tabelas de frequência, o elemento
mediano (hipotético) será identificado
dividindo-se o número de observações (N) por
2, independente deste número ser par ou
ímpar.
Tem-se que o elemento mediano = N/2
Elemento mediano = 120/2 = 60
Tabela 1.3.-
Intervalos 
de Classe
Frequência 
Simples (fi) 
Frequência 
Acumulada (Fi) 
10 ├ 25 12 12
25 ├ 40 21 33
40 ├ 55 30 63
55 ├ 70 26 89
70 ├ 85 18 107
85 ├ 100 13 120
Significa que a mediana estará no intervalo da classe
40 ├ 55, visto que a frequência acumulada até essa
classe é 63
Observando-se a frequência acumulada, pode-se
constatar que até a classe anterior a que contém a
mediana, existem 33 candidatos
O objetivo e localizar o elemento 60, ou seja, tem-se
de localizar na classe da mediana o elemento de
ordem 27, pois 33 + 27 = 60
Neste ponto torna-se necessário uma hipótese; a da
que os candidatos estão distribuídos uniformemente
no intervalo de classe.
Pela distribuição, constata-se que na classe mediana
existem 30 candidatos, e que a amplitude da classe é
15 pontos, o que significa que pela hipótese formulada
existem 2 candidatos por cada unidade de medida.
O elemento de ordem 27 neste intervalo de classe
estará a 13,5 pontos do limite inferior da classe, que é
de 40 pontos, resultando então uma mediana de 53,5
pontos.
Pode-se portanto dizer que 50% dos candidatos
obtiveram nota inferior a 53,5 pontos e 50% nota
superior a 53,5 pontos
Este processo pode ser expresso matematicamente pela seguinte 
expressão:
Me = mediana
li = limite inferior da classe que contém a mediana
Em = elemento mediano
Fa = frequência acumulada até a classe anterior a classe da mediana
fi = frequência da classe mediana
h = amplitude do intervalo de classe que contém a mediana
Me = mediana 
li = limite inferior da classe que contém a mediana → 40404040
Em = elemento mediano → 60606060
Fa = frequência acumulada até a classe anterior a classe da mediana → 33333333
fi = frequência da classe que contém a mediana → 30303030
h = amplitude do intervalo de classe que contém a mediana → 15151515
Observações:
a facilidade no cálculo da mediana é uma das
vantagens e os valores extremos quase não têm
influência sobre ela
no caso de amostras, a mediana tem menos
estabilidade que a média aritmética, se o número de
observações for pequeno
a mediana pode ser calculada, mesmo que a tabela
de frequência contenha classes de intervalos
ilimitados
a mediana tem a desvantagem de exigir que os
termos sejam postos em ordem de magnitude antes
de ser calculada
às vezes, não há mediana numa série descontínua