TENSÃO OCTÉDRICA DE CISALHAMENTO POR VON MISES E HENCKY

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
 CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TANGARÁ DA SERRA 
 CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
ALAHN WELLINGTON DE MORAIS 
RODRIGO NURI 
 
 
 
 
 
 
TENSÃO OCTÉDRICA DE CISALHAMENTO POR VON MISES E HENCKY 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TANGARÁ DA SERRA – MT 
2016 
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ALAHN WELLINGTON DE MORAIS 
RODRIGO NURI 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÃO OCTAÉDRICA DE CISALHAMENTO POR VON MISES E HENCKY 
 
 
 
 
Trabalho submetido ao Departamento de 
Engenharia de Civil, da Universidade do 
Estado de Mato Grosso, da disciplina de 
Teoria das Estruturas. 
 
Orientador: Prof. Eng. Sergio Lourenço 
 
 
 
Tangará da Serra – MT 
2016 
 
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SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 04 
2.TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO...................................................... 05 
 2.1 TENSÕES DE CISALHAMENTO OCTAÉDRICAS................................. 09 
3. EXEMPLO DO USO DA TEORIA................................................................. 11 
4. CONCLUSÃO............................................................................................... 12 
5. REFERÊNCIAS............................................................................................ 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Os critérios de resistência se baseiam na busca de critérios gerais para relacionar 
valores identificados por ensaios padrão, que identificam esses valores de 
tensões que levam o material a situações limites (ruptura, falha) que acontecem 
em complexas estruturas. Procura-se então usar critérios de dimensionamento a 
partir de dados simples, como dados de resistência à tração, compressão e 
cisalhamento obtidos em ensaios normalizados. 
Porém só os estudos dos critérios de resistência seriam insuficientes para 
interpretar tudo sobre os esforços que acontecem sobre uma peça de um 
determinado material. 
A questão, portanto, é como estabelecer um critério de ruptura para um 
determinado material? Não existe uma resposta única para esta questão. Por isso, 
diversos critérios estão descritos na literatura e, para cada tipo de material, um 
critério pode ser considerado mais adequado que os outros. 
Os principais critérios de resistência são: critério da máxima tensão de 
cisalhamento; critério da máxima energia de distorção (tensão octaédrica de 
cisalhamento); critério da máxima tensão normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Teoria da Energia de Distorção 
 
Esta é conhecida também por teoria da tensão de cisalhamento octaédrica, teoria 
da energia de cisalhamento, teoria de von Mises ou de von Mises-Hencky. É a 
melhor teoria para materiais dúcteis e é empregada para definir o inicio do 
escoamento. 
Um material é considerado dúctil quando suporta grandes deformações antes de 
romper. A falha se dá por escoamento, após a ocorrência de deformações 
plásticas(irreversíveis). Exemplos: aço, cobre, ouro, etc. Os critérios de 
escoamento foram elaborados a fim de definir o estado limite de tensão que 
define o escoamento plástico dos materiais metálicos. 
Gráfico tensão x deformação típico de material dúctil (presença de patamar de 
escoamento) 
 
 
A observação de que os materiais dúcteis, tensionados hidrostaticamente, 
possuíam limites de escoamento muito acima dos valores dados pelos testes de 
tração originou essa teoria. Observou-se que o escoamento não era um simples 
fenômeno de tração ou compressão, mas, ao contrario, era relacionado de algum 
modo à distorção angular do elemento tensionado. 
Nessa teoria, são considerados conceitos de energia de distorção de um dado 
elemento, isto é, a energia associada a mudanças na forma do elemento e não do 
volume do mesmo. 
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 Elemento com tensões triaxiais passando por uma mudança de volume e 
distorção angular. 
 Elemento sobre tensão passando somente por mudança de volume. 
 Elemento tendo somente distorção angular sem mudança de volume. 
 
(a) 
 
Assim, o elemento da figura (b) passa por uma mudança pura de volume sem 
distorção angular. Se considerarmos σ(av) como componente σ1, σ2, σ3 , então 
poderá delas ser subtraída, resultando no estado de tensão exibido na figura (c). 
Este elemento está sujeito a distorção angular pura sem mudança de volume. 
Encontramos a energia de deformação por unidade de um volume sujeito as 
tensões principais valendo: 
 
 
 
Combinando esta equação com a Lei de Hooke: 
 
(b) 
 
A energia de deformação necessária a produção apenas de mudança de volume, 
Uv, pode ser obtida pela substituição de σ(av) por σ1, σ2, σ3 na equação (b): 
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(c) 
 
Substituindo o quadrado da Equação (a) na Equação (c) e simplificarmos a 
expressão, obteremos: 
 
(2.1) 
Então a energia de distorção é obtida subtraindo-se a Equação (2.1) da Equação 
(b). 
 
(2.2) 
 
Observe que a energia de distorção é zero, se σ1= σ2 = σ3. 
Para o ensaio simples de tração, quando do escoamento, σ1=Sy e σ2=σ3=0, de 
modo que, a partir Equação (2.2), a energia de distorção resulta em: 
 
(2.3) 
 
Portanto, para o estado geral de tensões fornecidos pela Equação (2.2), é 
previsto escoamento se a Equação (2.2) igualar-se ou exceder à Equação (2.3). 
Isso produz : 
 
(2.4) 
 
Em um caso simples de tração σ, então ocorreria escoamento quando σ ≥ Sy. 
Assim, a parte esquerda da Equação (2.4) pode ser pensada como uma tensão 
única, equivalente ou efetiva para o estado geral de tensão completo fornecido 
por meio de σ1, σ2 e σ3. Essa tensão efetiva é chamada de tensão de von Mises, 
σ’. Logo a Equação (2.4), para escoamento, pode ser escrita como: 
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(2.5) 
 
Em que a tensão de von Mises é: 
 
(2.6) 
 
 
Para tensão plana, σA e σB as duas tensões principais não-nulas 
 
(2.7) 
 
A Equação (2.7) representa um elipse rotacionada no plano σA σB, como σ’=Sy. 
 
 
Teoria da energia de distorção(DE) para estados planos de tensão. Teoria da 
tensão de cisalhamento máxima(MSS). σ’ = Sy. 
 
 
 
 
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2.1 Tensões de Cisalhamento octaédricas 
 
Das tensões de cisalhamento octaédricas, considere um elemento isolado em que 
as tensões normais em cada uma das faces são idênticas a tensão σ(av). Há oito 
superfícies simétricas em relação às direções principais que contêm essa tensão. 
Isso forma um octaédrico. 
 
 
As tensões de cisalhamento nessas superfícies são iguais e denominadas tensões 
de cisalhamento octaédricas. Por meio de transformações de coordenadas, a 
tensão de cisalhamento octaédrica é fornecida por: 
 
(2.8) 
 
Supõe-se que ocorre falha sempre que a tensão de cisalhamento octaédrica para 
qualquer estado de tensão iguala-se ou excede à tensão de cisalhamento 
octaédrica para um espécime de ensaio de tração simples em falha. 
Ocorre escoamento quando σ1=Sy e σ2=σ3=0, a tensão de cisalhamento 
octaédrica, sob essa condição, é 
 
(2.9) 
 
Quando a Equação (2.8) é igual ou maior que a Equação (2.9), é previsto 
escoamento: 
 
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(2.10) 
 
A Equação (2.10) é idêntica à Equação (2.6), portanto conclui-se que a teoria de 
máxima tensão de cisalhamento octaédrica é equivalente à teoria da energia de 
distorção.Considere um caso de cisalhamento puro, no qual, para tensões plana, σx=σy=0. 
 
(2.11) 
 
Logo, a resistência ao escoamento sob cisalhamento prevista pela teoria de 
distorção é: 
 
 (2.12) 
 
Que é 15% maior que previsto pela teoria MSS( teoria da tensão de 
cisalhamento máximo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Exemplo do uso da Teoria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. CONCLUSÃO 
Teoria usada para prever a tensão de falha de um material dúctil submetido a 
qualquer tipo de carregamento com ruptura por cisalhamento. O escoamento do 
material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge o 
valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele 
está submetido apenas à tensão axial. 
Correlaciona melhor com os dados experimentais. O escoamento ocorre quando 
a energia de distorção por unidade de volume é igual ou excede esta mesma 
energia quando encontrada num ensaio de tração. 
Se o estado de tensão para qualquer ponto no corpo corresponde a um ponto de 
tensão que se situe fora da região da elipse de Von Mises ou em suas fronteiras, 
diz-se que ocorreu a falha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. REFERÊNCIAS 
 
LIMA, L.R.O. Capítulo 2 - Critérios de Resistência 
(Escoamento/Plasticidade e Ruptura). Universidade Estadual do Rio de 
Janeiro – UERJ. Disponível em: < 
www.labciv.eng.uerj.br/rm4/Cap_2_criterios.pdf >. Acesso em: 7 de 
maio de 2016. 
BUFFONI, S. Critérios de Falha. Escola de Engenharia Industrial 
Metalúrgica de Volta Redonda – UFF. Disponível em: < 
www.professores.uff.br/salete/res1/aula141.pdf > Acesso em: 7 de 
maio de 2016.