Prova P1 Equações iferenciais

Prévia do material em texto

Primeira Prova
Introdução as Equações Diferenciais
Prof. Alexandre Paiva Barreto
ATENÇÃO
Todos os cálculos necessários para a resolução das questões devem ser apresentados. Soluções
com desenvolvimento parcial serão desconsideradas ou terão pontuação reduzida segundo
critério do professor.
Lembre-se que o objetivo dos exercícios não é simplesmente achar as respostas, mas sim
apresentar uma sequência de passos, logicamente encadeados, que conduzam às mesmas.
SEJAM ORGANIZADOS!!
1. (SFAJ43) Encontre a(s) expressão(ões) geral(is) das equações diferenciais:
(a) etx
2(t):
�
x2 (t) + 2:t:x (t) :x0 (t)
�
= 3:x2 (t) :x0 (t)� 4t3
(b) y (x) :
�
3x2 � x�+ x3: �2y2 + y4� = 0
2. Considere a equação diferencial linear de 1a ordem
x0 (t) = p (t) :x (t) + q (t) (1)
onde p e q são funções reais contínuas de…nidas em um intervalo (a; b) � R.
(a) Encontre a expressão geral das soluções da equação diferencial (1) no caso em que q é identicamente
nula.
(b) Suponha que ' : (a; b) ! R é uma solução da equação diferencial (1). Determine a expressão
geral das soluções da equação diferencial (1) em função de ' e da expressão obtida no item (a).
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA!!!
(c) Veri…que que
' : t 2 (0;+1) �! 3 cos (2t)
4t
+
3sen (2t)
2
2 R
é solução da equação diferencial
x0 (t) +
x (t)
t
� 3 cos (2t) = 0 (t > 0) (2)
(d) Determine a expressão geral das soluções da equação diferencial (2).
3. Dada uma função z : R2 ! R de classe C1, considere a equação diferencial
x0 (t) = z (t; x (t)) . (3)
Suponha que ' : (!�; !+)! R é uma solução maximal para a equação diferencial (3). Se ' é limitada,
prove que
!� = �1 e !+ = +1.
LEMBRE-SE QUE: ' é limitada se existe uma constante M > 0 tal que
j' (t)j < M ; t 2 �!�; !+� .
1
4. Sejam U um aberto de R2, z : U � R2 ! R uma função contínua e (xo; to) um ponto de U . Demonstre
que uma função ' : I ! R (I é um intervalo contendo to) é solução do Problema de Cauchy�
x0 (t) = z (t; x (t))
x (to) = xo 2 R
se e somente se
(t; ' (t)) 2 U e ' (t) = xo +
Z t
to
z (s; ' (s)) ds
para todo t 2 I.
5. Faça um esboço das soluções da equação diferencial
x0 (t) = sen (x (t)) ,
classi…que seus pontos críticos, determine os intervalos maximais (!�; !+) de de…nição das soluções
maximais e discuta os limites das soluções quando a variável independente tende aos extremos !� e
!+.
6. Dados um aberto U � R2 e uma função contínua z : U � R2 ! R, considere a equação diferencial
x0 (t) = z (t; x (t)) . (4)
Sejam ' : I ! R e : J ! R duas soluções DISTINTAS para a equação (4).
(a) Os grá…cos de ' e podem ser tangentes em algum ponto?
(b) Os grá…cos de ' e podem ser transversos em algum ponto, ie, eles podem se cruzar em algum
ponto sem serem tangentes?
7. Dados dois intervalos abertos I e J , considere duas funções contínuas
g : I ! R e h : J ! R,
e a equação diferencial
x0 (t) = g (t) :h (x (t)) . (5)
(a) Caracterize as soluções constantes de (5).
(b) Considere primitivas 
 : J � fx 2 J ; h (x) = 0g ! R e G : I ! R, respectivamente, para as
funções 1h e g. Mostre que uma função derivável ' : I
0 � I ! J � fx 2 J ; h (x) = 0g é solução
de (5) se e somente se existe uma constante K 2 R tal que
 � ' = G+K.
2
QUESTÕES EXTRAS
8. Dadas funções diferenciáveis M;N : U � R2 ! R (U aberto), considere a equação diferencial
M (x; y) +N (x; y) :y0 (x) = 0 (6)
Dizemos que uma equação diferencial homogênea de grau n 2 N�quandoM eN são funções homogêneas
de grau n.
DEFINIÇÃO: Uma função f : R2 ! R é dita homogênea de grau n se
f (�x; �y) = �n:f (x; y) ,
para todo (x; y) 2 R2 e para todo � 2 R.
(a) Suponha que
x:M (x; y) + y:N (x; y) 6= 0
para todo (x; y) 2 U . Mostre que
� (x; y) =
1
x:M (x; y) + y:N (x; y)
é um fator integrante para a equação (6).
SUGESTÃO: Utilize a caracterização de Euler para funções homogêneas. Mais precisamente:
Teorema (Euler): Uma função diferenciável f : R2 ! R é homogênea de grau n se e somente se
x:
@M
@x
(x; y) + y:
@M
@y
(x; y) = n:M (x; y) ; (x; y) 2 U .
(b) Encontre as soluções gerais da equação diferencial
x4 + y4 (x) = x:y3 (x) :y0 (x) (x > 0).
9. Um casal recém-casado fez um empréstimo de R$ 100:000; 00 a uma taxa de juros de 9% ao ano
para comprar um apartamento. Contando com futuros aumentos de salário, o casal espera pagar uma
prestação mensal de
800
�
1 +
t
120
�
Reais,
onde t representa o número de meses desde o início do empréstimo. Supondo que eles conseguiraõ
pagar tais prestações, depois de quanto tempo o empréstimo estará quitado?
3