Cálculo II 03 Integral por Partes

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA CÁLCULO II 
 
Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca 1 
 
1 - Integral Indefinida – Integração por Partes 
Sejam e funções diferenciáveis em um mesmo intervalo I. 
Temos que: 
 
 
Logo, 
 
Admitindo que, possua primitiva em I e observando que 
 é uma primitiva de , então temos que 
também é uma primitiva em I e que: 
∫ ∫{ } 
∫ ∫ ∫ 
∫ ∫ 
Sendo esta a regra de integração por partes. 
Tomando: e , temos que e 
 . Assim temos a forma usual de integração por partes: 
 
∫ ∫ 
Exemplo prático da Integração por Partes: 
 Sejam e funções difenciáveis em I. 
Temos que: 
Assim: 
 
∫ ∫ ∫ 
∫ 
 
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Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca 2 
 
Exemplos: 
(i) ∫ 
 => 
 => 
 
∫ ∫ 
 
(ii) ∫ 
 => 
 
 
 
 => 
 
∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
(iii) ∫ 
 => 
 => 
 
∫ ∫ (1) 
 
Integrando apenas ∫ temos: 
 
 => 
 => 
∫ ∫ 
 ∫ 
 
Substituindo (2) em (1): 
∫ ∫ 
∫ ∫ 
 ∫ 
∫ 
 
 
 
 
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Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca 3 
 
Exercícios – Lista 03 – Integral por Partes 
Calcule as seguintes integrais indefinidas 
1) ∫ 
2) ∫ 
3) ∫ 
4) ∫ 
5) ∫ 
6) ∫ 
7) ∫ 
8) ∫ 
9) ∫ 
10) ∫ 
11) ∫ 
12) ∫