Cálculo 1 - Gabarito de Prova

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2a Prova de MAT001 - Ca´lculo I
1a Questa˜o(40 Pontos)
Considere a func¸a˜o f : R− {0} → R dada por f(x) = e
x
x
.
(a) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento de f assim como seus
pontos cr´ıticos, caso existam.
(b) Obtenha, se existirem, os pontos de ma´ximo ou mı´nimo locais de f .
(c) Fac¸a um estudo sobre a concavidade do gra´fico de f .
(d) Determine, se existirem, ass´ıntotas horizontais e verticais do gra´fico de f .
(e) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que
f ′ =
ex(x− 1)
x2
;∀x 6= 0.
Se f ′(x) = 0, temos enta˜o que:
ex(x− 1)
x2
= 0 ⇒ ex(x− 1) = 0⇒ x− 1 = 0⇒ x = 1.
Portanto x = 1 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
Teste da Derivada Primeira
0 1
f ′ | − | − | +
f | ↘ | ↘ | ↗
Portanto, temos que f e´ crescente em [1,+∞) e decrescente em (−∞, 0) e
(0, 1].
(b) Pelo Teste da Derivada Primeira feito no item (a) temos que o ponto x = 1
e´ um ponto de mı´nimo local.
1
(c) Temos que
f ′′ =
ex
(
x2 − 2x+ 2)
x3
.
Se f ′′(x) = 0, temos enta˜o que:
ex
(
x2 − 2x+ 2)
x3
= 0 ⇒ ex (x2 − 2x+ 2) = 0⇒ x2 − 2x+ 2 = 0
Neste caso temos ∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 2 = −4 < 0. Portanto, temos que
x2 − 2x+ 2 = 0 > 0 ∀x ∈ R , ou seja, f ′′(x) = neq0 ∀x ∈ R− {0}.
Estudo do Sinal de f ′′
0 1
ex | + | + | +
x2 − 2x+ 2 | + | + | +
x3 | − | + | +
f ′′ | − | + | +
f | ∩ | ∪ | ∪
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima em (0,∞) e
para baixo em (−∞, 0). Ale´m disso, como x = 0 na˜o pertence ao domı´nio
da func¸a˜o temos que na˜o existem pontos de inflexa˜o.
(d) Ass´ıntotas Horizontais:
lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞
ex
x
RL
= lim
x→+∞
ex
1
= +∞.
lim
x→−∞ f(x) = 0
Portanto, a reta y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Ass´ıntotas Verticais:
Um destes limites deve ser calculado:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
ex
x
=
1
0+
= +∞. lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
ex
x
=
1
0−
= −∞.
2
Portanto, a reta x = 0 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
(e)
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
10
Figura 1: Gra´fico de f : R− {0} → R dada por f(x) = e
x
x
3
2a Questa˜o(30 Pontos)
Um fazendeiro dispo˜e de 1 km de cerca. Uma parte da cerca sera´ utilizada
para cercar uma a´rea circular e o restante para cercar uma a´rea quadrada. Ele
tambe´m pode utilizar toda a cerca para cercar uma u´nica a´rea (circular ou
quadrada). Como ele deve proceder para que:
(a) A a´rea total cercada seja a menor poss´ıvel?
(b) A a´rea total cercada seja a maior poss´ıvel?
Soluc¸a˜o:
Modelagem
Temos que a a´rea total A e´ dada por
A = pir2 + l2,
onde pir2 e l2 sa˜o as a´reas do c´ırculo e do quadrado cercados, respectivamente.
Por outro lado, como o fazendeiro dispo˜e de 1 k/m de cerca, temos que
(∗) 2pir + 4l = 1 .
Portanto, temos que r =
1− 4l
2pi
e, enta˜o,
A(l) = pi ·
(
1− 4l
2pi
)2
+ l2 =
(16 + 4pi)l2 − 8l + 1
4pi
∀l ∈
[
0,
1
4
]
Queremos maximizar/minimizar a a´rea total cercada.
Sendo assim temos que
A′(l) =
2(4 + pi)l − 2
pi
.
Se A′(l) = 0, temos que
2(4 + pi)l − 2
pi
= 0 ⇒ 2(4 + pi)l − 2 = 0 ⇒ l = 1
4 + pi
.
Portanto, temos que l =
1
4 + pi
∈
(
0,
1
4
)
e´ o u´nico ponto cr´ıtico de A.
4
Como A e´ cont´ınua no intervalo
[
0, 14
]
temos que esta assume seu valor
ma´ximo e mı´nimo neste intervalo.
Sabemos tambe´m que estes pontos de ma´ximo e mı´nimo absolutos ou sa˜o
pontos cr´ıticos no interior do intervalo
[
0, 14
]
ou esta˜o nos extremos deste inter-
valo.
Sendo assim, temos:
A(0) =
1
4pi
, A
(
1
4 + pi
)
=
1
16 + 4pi
e A
(
1
4
)
=
1
16
.
(a) A a´rea total sera´ mı´nima quando cercar um quadrado de lado l =
1
4 + pi
e
um c´ırculo de raio r =
1
8 + 2pi
.
(b) A a´rea total sera´ ma´xima quando o fazendeiro cercar apenas um c´ırculo de
raio r =
1
2pi
5
3a Questa˜o(30 Pontos)
Uma escada de 4 m esta´ apoiada numa parede vertical. Se a base da escada
(apoiada no cha˜o) e´ empurrada na direc¸a˜o da parede a` raza˜o (constante) de
2 m/s:
(a) com que velocidade esta´ variando a medida do aˆngulo (agudo) entre a escada
e a parede vertical quando a base da escada esta´ a 2 m da parede ?
(b) A velocidade de variac¸a˜o deste aˆngulo e´ constante ? (Justifique)
Soluc¸a˜o:
Figura 2:
(a) Temos que h, d e θ sa˜o func¸o˜es do tempo. Ale´m disso, temos tambe´m que
sen(θ) =
d
4
. (∗)
Sendo assim, derivando dos dois lados a equac¸a˜o (∗) temos :
cos(θ) · θ′ = d
′
4
⇒ θ′ = d
′
4 cos(θ)
6
Quando d = 2, temos (pela equac¸a˜o (∗)) que θ = arcsen
(
1
2
)
=
pi
6
= 30o e
d′ = −2.
Logo, neste caso, temos que :
θ′ =
−2
4 ·
√
3
2
= −
√
3
3
rad/s.
(b) Temos que θ′ =
d′
4 cos(θ)
, ou seja, θ′ varia a medida que aproximamos a
escada da parede e, portanto, na˜o e´ constante.
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