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* Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Acadêmico: Jean Paulo Mendes Alves * Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra. Veja: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA a a F F A B A’ * Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais. Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais. Considere a viga seguinte: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA a a F1 A B A’ F2 F3 F5 F4 * Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante. Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy). DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA * As reações N, V e M são explicadas a seguir: N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou compressão do elemento; V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte” da viga; M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga. Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA * Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (i) Força cisalhante (V>0) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A A’ V B A’ V a a A B A’ Corte a-a: Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo * Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (ii) Momento fletor (M>0) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A A’ M B A’ M a a A B A’ Corte a-a: Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo * Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo. No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA * Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA a a A E B 10N b b D C 5N 5N 1,0m 1,0m 1,0m 1,0m * Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Análise de Equilíbrio do corte a-a: Fx=0 N=0 Fy=0 V=5N MB=0 M=5N.m * Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Análise de Equilíbrio do corte b-b: Fx=0 N=0 Fy=0 V=-5N MD=0 M=-5N.m * Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga. Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário). É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga). DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA * Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A C 10N B 5N 5N 2,0m 2,0m Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e duas para M(x). * Exemplo 2) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A 5N Primeiro corte: (a-a) x x * Exemplo 2) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA x Análise de Equilíbrio do corte a-a: * Válido para (0<x<2) Fx=0 N=0 Fy=0 V=5N MA’=0 M=5x * Exemplo 2) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A 5N Segundo corte: (b-b) x x * Exemplo 2) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA x Análise de Equilíbrio do corte a-a: * Válido para (2<x<4) Fx=0 N=0 Fy=0 V(x)=-5N MA’=0 M(x)=-5x+20 * Exemplo 2) Diagramas de V e M: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA 5.0 -5.0 2.0 4.0 x [m] V [N] 10.0 2.0 4.0 x [m] M [N.m] * Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrá-la agora. Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento distribuído w(x): DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA a a A B A’ b b B’ w(x) N(A) V(A) M(A) x * Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemos considerar a variação do carregamento desprezível. DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA a a A B A’ b b B’ w(x) N(A) V(A) M(A) x * Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que x é tão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A’ B’ w(x) N(x) V(x) M(x) x Análise de Equilíbrio: Fx=0 N(x+x)=N(x) Fy=0 V(x +x)-V(x)=-w(x) x MB’=0 M(x +x)-M(x)=V(x) x Fazendo x 0, temos que * Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A B 20N/m Ay By 10m Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas uma função para V(x) e uma para M(x). * Exemplo 3) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A B 20N/m Ay By 10m Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento. Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m. * Exemplo 3) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A B 20N/m 10m Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N. * Exemplo 3) DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A B 20N/m 100N 100N 10m Como w(x)=20, temos que: V(x) = V(A) - w(x) dx V(x) = 100 - 20x M(x) = M(A) + V(x) dx M(x) = 100x - 10x2 x A x A 0 * Exemplo 3) Diagramas de V e M: DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA 100 -100 5.0 10.0 x [m] V [N] 250 5.0 10.0 x [m] M [N.m] M(x) = 100x - 10x2 V(x) = 100 - 20x * BIBLIOGRAFIA Publicacão do Prof. Ricardo Fratelli - DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA. Acesso em 06/02/2014; http://www.escelsa.com.br/energia/clientes/grandes_clientes/informacoes/alteracao_demanda/demanda/images/demanda1.gif. Acesso em 06/02/2014; http://www.mdsmp.gob.pe/images_actividades/dsc_3984.jpg. Acesso em 06/02/2014; http://www.caldas.com.br/fotos/barcorum.jpg. Acesso em 06/02/2014; *
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