01sem ex matematica exerc aula3e4 semana1 engenharia univesp

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Curso de Engenharia 
Disciplina Matemática
 
Exercícios da semana 1 
 
 
RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO)
 
 
Caro aluno, 
Nesta semana, a sua avaliação para as 
entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir:
A) Os exercícios da aula 3 foram formulados para que pratique aquilo
que aprendeu na vídeo aula. 
menos UM (1) exercício
Portfólio da disciplina. 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
3. 
B) Os exercícios da aula 4, foram formulados para que pratique aquil
que aprendeu na vídeo aula. 
menos UM (1) exercício
Portfólio da disciplina. 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
4. 
Lembre-se - você também deverá entregar alguns exercícios referentes às 
video aulas 1 e 2 que podem ser acessados na Organização Didática 
semana 1 disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso
 
 
 
Exercícios da vídeo aula 3 
 
1) Generalize as fórmulas das médias aritmética, geométrica e harmônica 
aplicadas à 
Resposta: 
 
a) Média Aritmética ou 
 
b) Média Geométrica ou 
 
c) Média Harmônica ou 
Curso de Engenharia - UNIVESP
Disciplina Matemática - Bimestre 1 
Exercícios da semana 1 - vídeo aulas 3 e 4
RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO)
semana, a sua avaliação para as Aulas 3 e 4 será composta por duas 
entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir:
A) Os exercícios da aula 3 foram formulados para que pratique aquilo
que aprendeu na vídeo aula. Para avaliação da aula 3, escolha pelo 
UM (1) exercício para resolver. A resposta deve ser 
Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
B) Os exercícios da aula 4, foram formulados para que pratique aquil
que aprendeu na vídeo aula. Para avaliação da aula 4, escolha pelo 
UM (1) exercício para resolver. A resposta deve ser 
Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
você também deverá entregar alguns exercícios referentes às 
video aulas 1 e 2 que podem ser acessados na Organização Didática 
semana 1 disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso
 ***** 
Exercícios da vídeo aula 3 – Matemática 
1) Generalize as fórmulas das médias aritmética, geométrica e harmônica 
. 
Média Aritmética ou �� = 
�����������
	
 
Média Geométrica ou �
 = √�1 ∗ �2 ∗ �3 ∗ �� 
Média Harmônica ou �� = 
�∗��∗��∗��∗��
�����������
 
UNIVESP 
vídeo aulas 3 e 4 
RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) 
e 4 será composta por duas 
entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir: 
A) Os exercícios da aula 3 foram formulados para que pratique aquilo 
Para avaliação da aula 3, escolha pelo 
resolver. A resposta deve ser enviada pelo 
Para melhorar a sua aprendizagem resolva, 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
B) Os exercícios da aula 4, foram formulados para que pratique aquilo 
Para avaliação da aula 4, escolha pelo 
para resolver. A resposta deve ser enviada pelo 
Para melhorar a sua aprendizagem resolva, 
explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 
você também deverá entregar alguns exercícios referentes às 
video aulas 1 e 2 que podem ser acessados na Organização Didática da 
semana 1 disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso. 
 
1) Generalize as fórmulas das médias aritmética, geométrica e harmônica 
 
2) Em seis provas, onde as notas atribuídas variam de 0 a 100, um estudante 
obteve média 83. Se a menor nota for desprezada a sua média sobe para 88. 
Qual foi a menor nota obtida nas 6 provas? 
Resposta: 58 
 
a) Se x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 83*6, então, x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 498. 
 
b) Pois bem, se, ao eliminarmos a menor nota deste aluno e, 
consequentemente, a média subir para o numeral 88, temos então: 
Algum número dividido por 5, equivale a 88. Logo, 88 * 5 = 440 ou 
reescrevendo a equação x1+x2+x3+x4+x5 = 440. 
 
c) Concluímos então que, se com 6 provas, o valor total das somas das 
notas equivale ao numeral 498 e se, com somente 5 provas, pois 
eliminamos a prova com menor valor, o numeral obtido é 440, logo, o 
valor da menor nota é a diferença entre 498 e 440, ou seja, 58. 
 
3) Considere que a taxa de rendimento de um fundo de renda fixa tenha sido 
de 10% no primeiro quadrimestre, 20% no segundo e 15% no terceiro. 
Determine a taxa média de rendimentos anuais admitindo regime de 
capitalização composta entre os quadrimestres. 
Resposta: 
 
Pois bem, para facilitar a compreensão, estabeleçamos um valor hipotético 
para o investimento, como exemplo: R$ 100,00. 
 
a) Se no 1º quadrimestre, o rendimento fora de 10%, logo, teríamos como 
resultado, o valor de R$ 110,00. 
b) Para o 2º quadrimestre, então, teríamos agora o valor dos juros – 20% - 
incidindo dobre o montante de R$ 110,00. Logo, teríamos como 
resultado, R$ 132,00. 
c) Já no 3º quadrimestre, temos 15% de rendimento sobre o montante que 
agora é de R$ 132,00. Logo, teríamos o valor de R$ 151,80. 
 
Em relação ao montante inicial (R$ 100,00), temos um “lucro” de R$ 51,80 ou 
51,8%. Entretanto, em se tratando SOMENTE dos juros, temos os 10% que, 
depois da aplicação dos 20% (2º quadr.) sobre a taxa anterior, passamos à 
taxa de 12% e, nesta lógica, após a aplicação dos 15% (3º quadr.), 
passaríamos a ter 13,8%. Se fizéssemos uma “média aritmética” SOMENTE 
entre as taxas, teríamos o valor de 15%. 
 
4) Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h, 
respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo 
elas levarão para encher o tanque? 
Resposta: 1h. 20min. 
 
Imaginando um valor hipotético (100lt ) para a capacidade do tanque, teríamos: 
 
a) 1ª torneira – enchimento no prazo de 3h. Ou seja, a cada hora, cerca de 
33,33 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 99,99lt em 3h. 
b) 2ª torneira – enchimento no prazo de 4h. Ou seja, a cada hora, cerca de 
25,00 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 100,00lt em 4h.
c) 3 torneira – enchimento no prazo de 6h. Ou seja, a ca
16,66 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 99,96lt em 6h.
 
Isto posto, teríamos na 1ª hora a seguinte situação
disposto logo abaixo: 
 
1ª torn. 
(lt.) 
2ª torn. 
(lt.) 
33,33 25,00 
11,11 8,33 
44,44 33,33 
 
Concluindo, verificamos que de acordo com a capacidade 
fornecida pelo enunciado do exercício de cada torneira e com o valor 
do recipiente estipulado, na 1ª hora, somando
75% (75 litros) do total, preenchidos.
Estabelecendo uma relação de litros por minuto, obteríamos o valor 
litros/minuto (com as 3 torneiras abertas)
somente 25% (25 litros) para atingirmos a capacidade total
recipiente e efetuando esta operação (25 litros / 1,25 litros por minuto), 
teríamos como resultado o valor, em minutos, de 
 
Exercícios da vídeo
 
1) Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a 
ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?
Resposta: �� = �
 = �
 
2) Utilizando a relação de ordem entre as médias aritmética e quadrática, prove 
que o maior valor possível de 
Resposta: 
 
3) Raquel tirou 3 na primeira prova de matemática e 9 na segunda prova. Atílio 
tirou 5 na primeira prova e 7 na segunda. Pede
 
a) Qual a média aritmética das notas de Raquel e de Atílio? E a 
geométrica? 
Resposta: 
 
1) Raquel – 1ª Prova 
 
 �� = 
�����
�
 => 
 
 �
=�� ∗ � => 
 
 
enchimento no prazo de 4h. Ou seja, a cada hora, cerca de 
25,00 lt seriam despejados no recipiente,totalizando 100,00lt em 4h.
enchimento no prazo de 6h. Ou seja, a cada hora, cerca de 
16,66 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 99,96lt em 6h.
Isto posto, teríamos na 1ª hora a seguinte situação e depois, no prazo restante, 
3ª torn. 
(lt.) 
Tempo 
(min.) Lt./Min.
16,66 60 
1,25 5,55 20 
22,21 1h.20min. 
Concluindo, verificamos que de acordo com a capacidade de enchimento 
fornecida pelo enunciado do exercício de cada torneira e com o valor 
estipulado, na 1ª hora, somando-se as três torneiras, teríamos 
75% (75 litros) do total, preenchidos. 
Estabelecendo uma relação de litros por minuto, obteríamos o valor 
(com as 3 torneiras abertas). Verificando também que restariam 
somente 25% (25 litros) para atingirmos a capacidade total (estipulada)
recipiente e efetuando esta operação (25 litros / 1,25 litros por minuto), 
teríamos como resultado o valor, em minutos, de 20. 
Exercícios da vídeo aula 4 – Matemática 
Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a 
ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?
�� = �� 
Utilizando a relação de ordem entre as médias aritmética e quadrática, prove 
que o maior valor possível de , com x real, é . 
Raquel tirou 3 na primeira prova de matemática e 9 na segunda prova. Atílio 
na primeira prova e 7 na segunda. Pede-se: 
Qual a média aritmética das notas de Raquel e de Atílio? E a 
1ª Prova – 3,0 e 2ª Prova – 9,0. 
=> 
���
�
 => 
��
�
 => 6,0. 
=> √3 ∗ 9 => √27 => 3 √� ou 5,196.
enchimento no prazo de 4h. Ou seja, a cada hora, cerca de 
25,00 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 100,00lt em 4h. 
da hora, cerca de 
16,66 lt seriam despejados no recipiente, totalizando 99,96lt em 6h. 
e depois, no prazo restante, 
./Min. Total (lt.) T1+T2+T3 
 
75 
25 
100 
de enchimento 
fornecida pelo enunciado do exercício de cada torneira e com o valor hipotético 
se as três torneiras, teríamos 
Estabelecendo uma relação de litros por minuto, obteríamos o valor de 1,25 
o também que restariam 
(estipulada) do 
recipiente e efetuando esta operação (25 litros / 1,25 litros por minuto), 
 
Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a 
ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática? 
Utilizando a relação de ordem entre as médias aritmética e quadrática, prove 
Raquel tirou 3 na primeira prova de matemática e 9 na segunda prova. Atílio 
Qual a média aritmética das notas de Raquel e de Atílio? E a 
5,196. 
2) Atílio – 1ª Prova – 5,0 e 2ª Prova – 7,0. 
 
 �� = 
�����
�
 => 
���
�
 => 
��
�
 => 6,0. 
 
 �
=�� ∗ � => √5 ∗ 7 => √35 => √�� ou 5,916. 
 
b) Calcule o desvio padrão das notas de Raquel, e o desvio padrão das 
notas de Atílio. Em seguida, utilize os resultados para decidir qual 
dos dois alunos teve desempenho mais homogêneo nas provas de 
matemática. 
Resposta: Atílio teve um desempenho mais homogênio. 
 
Desvios em relação à média 
 
Raquel: �� = 6,0 e �
= 5,196. 
 
RAQUEL 
X X- �� X- � 
1ª Prova – 3,0 -2,196 -3 
2ª Prova – 9,0 3,804 3 
 
RAQUEL 
X (X- ��)² (X- � )² 
1ª Prova – 3,0 4,822 9 
2ª Prova – 9,0 14,470 9 
Total (T) 19,292 18 
Média (M) = T/2 9,646 9 
Desvio Padrão 3,106 3 
 
Atílio: ��= 6,0 e �
= 5,916. 
 
ATÍLIO 
X X- �� X- � 
1ª Prova – 5,0 -0,916 -1 
2ª Prova – 7,0 1,084 1 
 
ATÍLIO 
X (X- ��)² (X- � )² 
1ª Prova – 5,0 0,839 1 
2ª Prova – 7,0 1,175 1 
Total (T) 2,014 2 
Média (M) = T/2 1,007 1 
Desvio Padrão 1,003 1 
 
Fórmula do Desvio Padrão: