Geometria Analitica 3 semana 3 bimestre

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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - Semana 3
1. Determine as posic¸o˜es relativas das seguintes retas
a) r : X = (1, 3, 2) + α(3, 1, 2) e s : X = (2, 2, 1) + β(2, 1, 0)
Vamos verificar se os vetores diretores das retas r e s sa˜o LD.
~u = (3, 1, 2) e ~v = (2, 1, 0)
Veja que na˜o sa˜o LD, pois
~u 6= k~v
Portanto essas retas sa˜o concorrentes ou reversas. Agora encontrando outro vetor a
partir de dois ponto das retas podemos constatar se as retas esta˜o sob o mesmo plano,
da´ı sa˜o concorrentes, caso contra´rio sa˜o reversas. Sendo A(1, 3, 2) e B = (3, 1, 2).
~AB = B − A = (2, 2, 1)− (1, 3, 2) = (1,−1,−1)
Calculando o determinante entre os vetores ~u, ~v e ~AB.
det
∣∣∣∣∣∣
3 1 2
2 1 0
1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −3 + 0− 4− 2 + 0 + 2 = −7 6= 0
Portanto, os vetores sa˜o LI e as retas enta˜o pertencem a planos distintos e sa˜o
classificadas como reversas.
b) r : X = (1, 2, 0) + α(2, 1, 1) e s : X = (5, 4, 2) + β(2, 2, 1)
Vamos verificar se os vetores diretores das retas r e s sa˜o LD.
~u = (2, 1, 1) e ~v = (2, 2, 1)
Veja que na˜o sa˜o LD, pois
~u 6= k~v
Portanto essas retas sa˜o concorrentes ou reversas. Agora encontrando outro vetor a
partir de dois ponto das retas podemos constatar se as retas esta˜o sob o mesmo plano,
da´ı sa˜o concorrentes, caso contra´rio sa˜o reversas. Sendo A(1, 2, 0) e B = (5, 4, 2).
~AB = B − A = (5, 4, 2)− (1, 2, 0) = (4, 2, 2)
Calculando o determinante entre os vetores ~u, ~v e ~AB.
det
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
2 2 1
4 2 2
∣∣∣∣∣∣ = 8 + 4 + 4− 8− 4− 4 = 0
Portanto, os vetores sa˜o LD e as retas enta˜o pertencem ao mesmo plano e sa˜o
classificadas como concorrentes.
2. Verifique se as seguintes retas sa˜o ortogonais. Em caso afirmativo, verifique se sa˜o per-
pendiculares e, neste caso, encontre o ponto de intersec¸a˜o das retas.
a) r : X = (1, 3,−1) + γ(3,−1, 2), γ ∈ R e s : X = (1, 0, 1) + α(2, 1,−1), α ∈ R;
Para que sejam ortogonais o produto escalar dos vetores diretores das retas tem que
ser nulo, sendo ~u = (3,−1, 2) e ~v = (2, 1,−1).
< ~u,~v >= 0
(3,−1, 2)(2, 1,−1) = 6− 1− 2 = 3 6= 0
Portanto, as retas na˜o sa˜o ortogonais.
1
b) r : X = (2, 2, 1) + γ(1, 1,−2), γ ∈ R e s : X = (1, 3,−2) + α(4,−2, 1), α ∈ R
Para que sejam ortogonais o produto escalar dos vetores diretores das retas tem que
ser nulo, sendo ~u = (1, 1,−2) e ~v = (4,−2, 1).
< ~u,~v >= 0
(1, 1,−2)(4,−2, 1) = 4− 2− 2 = 0
Portanto, as retas sa˜o ortogonais, mas para serem perpendiculares os vetores dire-
tores juntamente com o vetor ~AB tem que ser LD. Sendo A(2, 2, 1) e B(1, 3,−2)
~AB = B − A = (1, 3,−2)− (2, 2, 1) = (−1, 1,−3)
Calculando o determinante dos vetores ~u, ~v e ~B.
det
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
4 −2 1
−1 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = 6− 1− 8 + 4− 1 + 12 = 12
Logo, os vetores sa˜o LI e as retas na˜o sa˜o perpendiculares.
3. Determine as posic¸o˜es relativas entre os planos, caso sejam concorrentes determine a reta
intersec¸a˜o dos planos.
a) pi : x+ 2y − 2z + 1 = 0 e θ : 3x+ y − z − 2 = 0
Se os planos forem paralelos os vetores normais a eles sera˜o LD. Do plano pi temos
~npi = (1, 2,−2) e do plano θ tem-se ~nθ = (3, 1,−1). Dessa, forma podemos notar
que
~npi 6= k ~nθ
Portanto os planos sa˜o concorrentes. E para encontrar a reta que e´ a intersecc¸a˜o dos
plano basta resolver o sistema que conte´m as equac¸o˜es gerais do planos{
x+ 2y − 2z = −1
3x+ y − z = 2
Multiplicando a segunda linha por −2 e somando as equac¸o˜es do sistema temos{
x+ 2y − 2z = −1
−6x− 2y + 2z = −4
−5x = −5→ x = 1
Escolhendo alguma das equac¸o˜es e substituindo x
3 · 1 + y − z = 2
y = z − 1
Assim, temos os seguintes paraˆmetros como soluc¸a˜o
S : (1, z − 1, z)∀z ∈ R
E, dessa soluc¸a˜o podemos extrair a seguinte reta na sua forma vetorial que e´ a
intersecc¸a˜o dos planos.
X = (1,−1, 0) + z(0, 1, 1) ∀z ∈ R
2
b) pi : 2x− y + 4z + 2 = 0 e θ : −4x+ 2y − 8z − 6 = 0
Se os planos forem paralelos, os vetores normais a eles sera˜o LD. Do plano pi temos
~npi = (2,−1, 4) e do plano θ tem-se ~nθ = (−4, 2,−8). Dessa, forma podemos notar
que
~npi = −1
2
~nθ
Portanto os planos sa˜o paralelos, mas precisamos verificar se na˜o sa˜o coincidentes.
Para que dois planos sejam coincidentes o termo independente tambe´m precisa ser
proporcional, veja que o valor de k = −1
2
e veja que
2 6= −1
2
(−6)
Portanto os planos sa˜o paralelos e distintos.
4. Determine as posic¸o˜es relativas entre a reta r : X = (2, 2, 1) + α(3,−1, 2) e o plano
pi : 3x − 2y − z + 4 = 0. No caso da reta ser transversa ao plano, determine o ponto
P = r ∩ pi.
Se o vetor diretor da reta ~u = (3,−1, 2) for ortogonal ao vetor normal do plano ~n =
(3,−2,−1), a reta e´ paralela ao plano, caso contra´rio sera´ transversa. Dessa forma,
vamos calcular o produto escalar dos vetores mencionados
< ~u,~n >= 0
(3,−1, 2)(3,−2,−1) = 9 + 2− 1 = 9 6= 0
Portanto, a reta intercepta o plano. E, para determinar o ponto de intersecc¸a˜o basta
reescrever a equac¸a˜o vetorial da reta do seguinte modo
r : X = (2, 2, 1) + α(3,−1, 2) = (2 + 3α, 2− α, 1 + 2α)
E, substituir na equac¸a˜o geral do plano
3(2 + 3α)− 2(2− α)− (1 + 2α) + 4 = 0
6 + 9α− 4 + 2α− 1− 2α + 4 = 0
9α + 5 = 0
α = −5
9
Substituindo no o α no ponto
P = r ∩ pi = (2 + 3α, 2− α, 1 + 2α)
P = r ∩ pi =
(
2 + 3
(
−5
9
)
, 2−
(
−5
9
)
, 1 + 2
(
−5
9
))
P =
(
1
3
,
23
9
,−1
9
)
3
5. Determine uma equac¸a˜o para a reta r, paralela a pi : 2x+ y− z+4 = 0, concorrente com
a reta s : (1, 1, 0) + α(2, 1, 1) e que conte´m o ponto P = (2, 1, 3).
Se conte´m o ponto P podemos verificar que reta r tem a forma
r : X = (2, 1, 3) + β~v
Como essa reta e´ paralela ao plano pi o produto escalar de ~v com o vetor normal ~n tem
que ser nulo. Sendo, ~v = (a, b, c) e ~n = (2, 1,−1).
< ~v, ~n >= 0
(a, b, c)(2, 1,−1) = 2a+ b− c = 0
Da´ı temos a relac¸a˜o
c = 2a+ b
Agora, para a reta r ser perpendicular a s os vetores diretores ~u = (2, 1, 1), ~v = (a, b, c) e
~AP precisam ser LD. Onde A = (1, 1, 0) e P = (2, 1, 3). Assim, temos
~AP = P − A = (2, 1, 3)− (1, 1, 0) = (1, 0, 3)
Calculando o determinante
det
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
a b c
1 0 3
∣∣∣∣∣∣ = 6b+ c− b− 3a = 0
Temos outra relac¸a˜o
c = 3a− 5b
Igualando as duas relac¸o˜es encontradas
c = 2a+ b e c = 3a− 5b
2a+ b = 3a− 5b
a = 6b
Substituindo em alguma das relac¸o˜es, temos
c = 3a− 5b
c = 3 · 6b− 5b = 13b
c = 13b
Assim, podemos montar a soluc¸a˜o dependendo de b
~v = (6b, b, 13b) ∀b ∈ R
Escolhendo b = 1 temos o seguinte vetor diretor
~v = (6, 1, 13)
Portanto, a equac¸a˜o da reta r e´
r : X = (2, 1, 3) + β(6, 1, 13) β ∈ R
4
6. Encontre uma equac¸a˜o para a reta r, que e´ perpendicular a` reta s : X = (1, 2, 1) +
α(2, 1,−2), α ∈ R, e que conte´m o ponto P = (1, 0, 3).
Se conte´m o ponto P podemos verificar que reta r tem a forma
r : X = (1, 0, 3) + β~v
Como essa reta e´ ortogonal (pois toda reta que e´ perpendicular e´ tambe´m ortogonal) a
reta s o produto escalar de ~v com o vetor normal ~u tem que ser nulo. Sendo, ~v = (a, b, c)
e ~u = (2, 1,−2).
< ~v, ~u >= 0
(a, b, c)(2, 1,−2) = 2a+ b− 2c = 0
Da´ı temos a relac¸a˜o
b = −2a+ 2c
Agora, para a reta r ser perpendicular a s os vetores diretores ~u = (2, 1,−2), ~v = (a, b, c)
e ~AP precisam ser LD. Onde A = (1, 2, 1) e P = (1, 0, 3). Assim, temos
~AP = P − A = (1, 0, 3)− (1, 2, 1) = (0,−2, 2)
Calculando o determinante
det
∣∣∣∣∣∣
2 1 −2
a b c
0 −2 2
∣∣∣∣∣∣ = 4b+ 4a+ 4c− 2a = 0
Temos outra relac¸a˜o
2a+ 4b+ 4c = 0
b = −1
2
a− c
Substituindo as relac¸o˜es nas duas relac¸o˜es encontradas
b = −2a+ 2c e b = −1
2
a− c
−2a+ 2c = −a
2
− c
3c = 2a− a
2
c =
a
2
Substituindo o valor de c
b = −2a+ 2c
b = −2a+ 2a
2
b = −2a+ a
b = −a
Assim, temos as seguintes possibilidades para o vetor ~v
~v =
(
a,−a, a
2
)
∀ ∈ R
Escolhendo a = 2
~v = (2,−2, 1)
Portanto, a equac¸a˜oda reta r e´
r : X = (1, 0, 3) + β(2,−2, 1) ∀β ∈ R
5
7. Calcule a distaˆncia do ponto P = (2, 3, 1) a` reta determinada pelos pontosA = (1, 0, 1) eB =
(1, 1, 0).
Para calcular a distaˆncia entre o ponto P e a reta que conte´m A e B vamos utilizar a
seguinte fo´rmula
d(r, P ) =
|| ~AP ∧ ~v||
||~v||
Onde A = (1, 0, 1), P = (2, 3, 1) e ~v = ~AB
~AB = B − A = (1, 1, 0)− (1, 0, 1) = (0, 1,−1)
~AP = P − A = (2, 3, 1)− (1, 0, 1) = (1, 3, 0)
Assim, temos
d(r, P ) =
||(1, 3, 0) ∧ (0, 1,−1)||
||(0, 1,−1)||
Vamos calcular o o produto vetorial (1, 3, 0) ∧ (0, 1,−1)
det
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 3 0
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −3i+ k + j = (−3, 1, 1)
Portanto,
d(r, P ) =
||(−3, 1, 1)||
||(0, 1,−1)|| =
√
(−3)2 + 12 + 12√
02 + 12 + (−1)2 =
√
9 + 1 + 1√
1 + 1
d(r, P ) =
√
11√
2
Racionalizando, temos
d(r, P ) =
√
22
2
≈ 2, 35
8. Determine a distaˆncia entre as retas: r : X = (1, 1, 0) + α(2, 1, 2), α ∈ R; e s : X =
(1, 2, 2) + β(2, 0, 3), β ∈ R.
Vamos primeiramente fazer o estudo da posic¸a˜o entre as retas. Como podemos perceber
as retas na˜o sa˜o paralelas, pois
(2, 1, 2) 6= k(2, 0, 3)
Portanto, sa˜o concorrentes ou reversas. Sabendo que o ~AB = B−A = (1, 2, 2)−(1, 1, 0) =
(0, 1, 2) vamos verificar se os vetores diretores juntamento com o vetor ~AB sa˜o LD.
det
∣∣∣∣∣∣
0 1 2
2 1 2
2 0 3
∣∣∣∣∣∣ = 0 + 4 + 0− 4 + 0− 6 = −6
Logo, as retas sa˜o reversas, e utilizaremos a seguinte fo´rmula
d(r, s) =
|[ ~AB, ~u,~v]|
||~u ∧ ~v||
6
Perceba que o determinante entre os vetores ja´ foi calculado, basta agora calcular o
produto vetorial,
vecu ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
2 1 2
2 0 3
∣∣∣∣∣∣ = 3i+ 4j + 0k − 2k − 0i− 6j = 3i− 2j − 2k = (3,−2,−2)
d(r, s) =
| − 6|
||(3,−2,−2)||
d(r, s) =
6√
32 + (−2)2 + (−2)2
d(r, s) =
6√
9 + 4 + 4
d(r, s) =
6√
17
Portanto, a distaˆncia e´
d(r, s) =
6
√
17
17
≈ 1, 46
7