Apostila de Derivadas - Cálculo 1

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Apostila 02 
 
SEMESTRE 2018 – 1 
 
O estudo das Derivadas 
 
 
Vamos pensar em situações que necessitamos analisar a taxa de variação de 
grandezas; 
Em química quando analisamos a taxa de variação de grandezas? 
Cite situações que necessitamos analisar variações de grandezas em química; 
No laboratório você analisa a taxa de variação de grandezas instantaneamente? E 
em intervalos de tempo? 
 
Nesta seção vamos iniciar nossos estudos em taxa de variação de grandezas 
expressas em funções contínuas em determinado intervalo e instantaneamente 
quando decidimos fazer a grandeza independente tender a zero. 
 
Iniciando o estudo das derivadas 
 
Derivada é a ferramenta matemática usada para estudar taxas nas quais variam as 
grandezas físicas. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇAO CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DE SANTA CATARINA– CAMPUS CRICIÚMA. 
Curso de Licenciatura em Química 
Prof. Marleide Coan Cardoso 
 2 
Um dos temas importante das ciências aplicadas é o desenvolvimento de métodos 
para aproximar grandezas cujo cálculo exato é difícil. 
 
A derivada como taxa de variação se constitui em um desses métodos. 
 
A DERIVADA COMO A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 
A derivada f’ de uma função pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em x 
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x, ou, alternativamente, como 
uma função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea da variação de y em 
relação a x no ponto x. 
 
A primeira interpretação de derivada é que corresponde à inclinação m da reta tangente 
a uma função num ponto qualquer 
).,( 00 yxP
. Assim a reta 
)( 00 xxmyy 
. O m 
pode ser determinado pela derivada. Assim 
mxf )(' 0
 
 
 
A definição de derivada pela fórmula e sua relação com a existência de limite 
 
 
 
 
Geometricamente significa que: 
 
 3 
 
Exemplo: 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
32²)(  xxxf
 nos seguintes 
casos: 
a) no ponto (3, 0) 
b) no ponto (-2,5) 
c) no ponto (1,-4) 
 
Qual a relação que existe entre a função e as equações das retas tangentes em 
relação ao crescimento da função? 
 
A DERIVADA COMO A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 
 
Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de máximo volume 
possível, cortando um quadrado em cada canto, conforme indica a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. 
a) calcular x 
b) calcular o volume máximo da caixa. 
A derivada de uma função f(x) é a taxa de variação instantânea da variação de y em 
relação a x num ponto 
).,( 00 yxP
 neste caso é representada pela seguinte definição: 
 
x
xfxxf
xf
dx
dy
x 



)()(
)(' lim
0
 
 
 
 
 
x 
x 
Assim a fórmula da definição de derivada fica a 
seguinte: 
 
x
xfxxf
x
y
dx
dy
xx 






)()(
limlim
00
 
 
Tem-se que 
)()( xfxxfy 
 
 
 
 
 4 
A figura mostra f; f ’ e f ” . Identifique cada uma das curvas e explique sua escolha. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Dado a função 
23²)(  xxxf
 determine: 
a) A derivada de f(x) em relação a x; 
b) Faça o esboço do gráfico de f e f ’ de x juntos e discuta a relação entre ambos. 
2) Dado a função 
xxf )(
, determine: 
a) A derivada da função em relação a x; 
b) Escolha um ponto para determinar a equação da reta tangente; 
c) Esboce o gráfico ilustrando f(x) e a equação da reta tangente no ponto que 
voe escolheu. 
 
Assim: 
 
Apenas admitem derivadas as funções contínuas. 
 
A notação de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no século XVII. 
Newton denotou a taxa de variação no tempo 
t
s
t 


lim
0
 hoje escrevemos f ’(t) no 
tempo e f ’(x) para variável x. Leibniz idealizou que o valor numérico da derivada é o 
limite de 
x
y
x 


lim
0
 escrito como 
dx
dy
, isto é, 
')('lim
0
yxf
x
y
dx
dy
x





 A notação f ’para derivada da função foi introduzida por 
Lagrange no século XVIII. f ’ para derivada da função e f ’(x) para derivada do número 
x. Também podemos dizer que a derivada é a variação da razão incremental. 
A operação de calcular a derivada f ’ de uma função f é chamada diferenciação. 
 
 Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de 
seu domínio. A função derivada mede a inclinação da curva num ponto genérico de 
coordenadas (x,y). 
 Outras notações podem ser usadas no lugar de 
)(' xfy 
: 
 5 
1) 
)(xfDx
 (lê-se derivada de f(x) em relação a x. 
2) 
yDx
= 
dx
xdf )(
 (lê-se derivada de y em relação a x) 
3) 
dx
dy
 (lê-se derivada de y em relação a x) 
 
Outros exemplos: 
 
1. Use a definição para determinar a derivada das seguintes funções. 
2
3
)()
1
3
)()
1²)()
3²2)()







x
x
xfd
x
xfc
xxxfb
xxxfa
 
2. Dada a função 
xxxf 3²2)( 
, determine os intervalos em que f ’(x) > 0, 
f ’(x) < 0 e f ’(x) = 0. 
1. Dadas as funções 
1
3
)(


x
xf
e 
xxxg 2²5)( 
, determine: 
a) f’(3) + g’(2) – g ”(3) 
b) 5 f ’(1) – 3g”(-1) 
 
Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x), por meio da 
definição. Entretanto, como esse processo é longo, estudaremos algumas regras que nos 
permitirão calcular a derivada de uma função. 
 
 
1) Derivada de uma constante 
 
 Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f '(x) = 0. 
 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 2  f ’(x) = 0 
b) f(x) = --3  f ’(x) = 0 
 
 
2) Regra da potência 
 
 Se n é um número racional e 
nxxf )(
, então 
1)('  nxnxf
 
 6 
Exemplos: 
a) f(x) = x
5
  f ’(x) = 5x4 
b) f(x) = 5x  f ’(x) = 5 
c) f(x) = x
10
  f ’(x) = 10x9 
x
xfxxfd
2
1
)('...)() 
 
3
3
2
3
2
)('...)()
x
xfxxfe 
 
 Derivada do produto de uma constante por uma função 
 Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por 
)(.)( xfcxg 
então se f ’(x) existe tem-se que
)('.)(' xfcxg 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 5x2 
b) g(z) = 3z7 
4) Derivada de uma soma 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f ’(x) e 
g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x). 
Exemplos: 
a) 
3²3³)(  xxxh
 então 
xxxh 6²3)(' 
 
b) g(y) = y
5
 - 4y
2
 + 2y +7  g’(y) = 5y4 - 8y + 2 
 
5) Derivada de um produto 
 
Sejam u e v funções e h a função definida por 
)().()( xgxfxh 
 ou 
vuh .
 
 
Se u’e v’existem, então: 
 
 
uvvuh '..'.' 
 
Exemplos: 
a) 
)4³2).(3²5()(  xxxxh
 
 
 
b) 
)43³2²).(7()( 4  xxxxxh
 
 7 
 
 
6) Derivada de um quociente 
 
Sejam u e v funções e h a função definida por: 
 
h
u
v

 Se u’e v’existem, então: 
2
''
)('
v
vuuv
xh

 (v  0) 
 
 
Exemplos: 
 
²
3
)()
4
x
x
xfa


 
1
13
)()
2



x
xx
xfb
 
 
7) Derivada da função composta 
 
nuy 
 então 
'..' 1 uuny
dx
dy n
 
Esta derivada também pode ser representada da seguinte forma: 
Dado que 
)(ugy 
 e que 
)(xfu 
 e 
)].([)( xfgugy 
determinar 
dx
dy
da função7)32³(  xxy
 significa que 
)(ugy 
 onde 
32³  xxu
. Assim para que a 
derivada fique completa tem-se a regra da cadeira 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.
 ou ainda 
)('.)(')(' xfugxy 
 ou seja: 
 
)32³(  xxu
 e 
7)( uuy 
daí tem-se que 
67u
du
dy

 
2²3'  xu
dx
du
 
Logo a derivada fica: 
 
)2²3()32³(7' 6  xxxy
dx
dy
 
 
Exemplos: 
 
a) y = 
105 )14(  xx
 
 
 8 
 
 
 
 
5 2 472)  xxyb
 
 
 
 
 
 
6 - Derivadas das funções elementares 
 
1) Derivada da função exponencial 
 
uay 
 
0a
 e 
1a
 
 
 A função exponencial 
uay 
 é derivável em todo ponto do seu domínio e 
 
').ln(' uaay
dx
dy u
. 
 
Em particular: Se 
xey 
 então 
xey
dx
dy
 '
 
 
Fórmulas Gerais 
 
 
1) 
'.' ueyey uu 
 
 
Exemplos: 
 
³6)
3
2
()1 xy 
 
xxey 
5
)2
 3)y e x 
24).3³()4 xexxy 
 
 
 
2) Derivada da função logarítmica 
 Se 
01,0)(log  xeaacomxy a
 então : 
De modo geral: 
e
u
u
yuy aa log
'
'log 
 
 
 
Caso Particular: Se 
x
yxy
1
'ln 
 
 9 
De modo geral: Se 
u
u
yuy
'
'ln 
 
 
Exemplos: 
 
a) 
)5³3ln( xxy 
 
)54³log()  xxyb
 c) 
13log)(  ssf
 
 
 Derivada das funções trigonométricas 
 
As funções 
)(usen
, 
)cos(u
, 
)(utg
, 
)(cot ug
, 
)sec(u
 e 
)(cos uec
 são 
deriváveis em todos os pontos do seu domínio. 
 
 
a) Derivada da função seno 
 
Se 
)(useny 
 então 
').cos(' uuy
du
dy

 
 
b) Derivada da função cosseno 
 
Se y = 
)cos(u
 então 
').(' uuseny
du
dy

 
 
c) Derivadas das demais funções trigonométricas: (tg(u), cotg(u), sec(u) e 
cosec(u). 
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e do cosseno 
podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. 
 se
)(utgy 
  
').(sec' 2 uuy
du
dy

 
 Se 
)(cot ugy 
  
').(cos' 2 uuecy
du
dy

 
 
 Se 
)(sec uy 
  
').().sec(' uutguy
du
dy

 
 
 Se 
)(cos uecty 
  
').(cot).(cos' uuguecy
du
dy

 
 
 
Exemplos: 
Determinar a derivada das seguintes funções: 
a) y = 
2)(xsen
 







x
yb
1
cos)
 
 10 
 
)3(cot3) xgxtgyc 
 
 
)(cot1
)cos(
)
xg
x
yd


 
 
3) Derivada das funções trigonométricas inversas 
 
a) Função arco seno 
21
'
')(
u
u
yuarcseny


 
b) Função arco cosseno 
21
'
')arccos(
u
u
yuy



 
c) Função arco tangente 
21
'
')(
u
u
yuarctgy


 
d) Função arco cotangente 
21
'
')(cot
u
u
yugarcy



 
e) Função arco secante 
1
'
')sec(
2 

uu
u
yuarcy
 
f) Função arco cossecante 
1
'
')(cos
2 


uu
u
yuecarcy
 
 
Exemplos: 
 
a) 
)sec()( xarcxf 
 
 
b) 
)()( xsenarcxf 
 
 
 
1)Utilizando o formulário calcule as derivadas abaixo: 
 
a) f(x) = 1 – 4x2 b) f( x) =2x2 –x –1 c)f(x) = x d) f(x) = 3x +2 
 
e) 
2)( rrf 
 f) f( w) = aw
2
 + b g) f(x) = 3x
2
 + 6x – 10 
 
 h) 
3
2
1
14)(  xxf
 i) f(x) = (2x + 1 ) ( 3x
2
 + 6) 
 11 
 
j) f(x) = (3x
5 – 1) ( 2 – x4) 1) l) 
)13)(1()( 2  xxxf
 
 
m) f( x) = 7(ax
2
+bx+c) n) 
13
42
)(



t
t
tf
 o) 
22)( wwf 
 
p) f(x) = 30 q) f(x) = 3x r) f(x) = 5x s) 
x
xf
2
)( 
 
 t) f(x) = 
54
53
xx

 u) f(x) = 
xxx 2
2
3
3
1 23 
 v) f(t) = 
1
153 2


t
tt
 
 
 
 
3)Use as regras de derivação para calcular as seguintes derivadas . 
a) 
)3cos()( ttf 
 b) 
)
5
()(
x
senxf 
 c) 
)( xtgy 
 
d) 
)sec()( axxf 
 e) 
)cos()( rtxtf 
 f) 
)()( baxsenxf 
 
 
g) 
²)()( usenuf 
 h) 
ttf cos)( 
 i) 
)cos(1cos)( xxf 
 
 
j) 
))cos(2()( xsenxf 
 l) 
)3()( ttgtf 
 m) 
)
1
sec(
x
y 
 
n) f ( x) = 
)4sen(52 xe xx 
 o) f ( x ) = 
)22ln( 2  xx
 
 12 
p) f( x ) = 3 q) f(x) = 2 – x r) f(x) = 
12 x
x
 
s) f (x) = 
xxx 53 35 
 t) f (x) = 
122 x
 u) f ( t ) = 
t
tt
3
54 3 
 
4) Calcule as derivadas 
















2
2
22
3
63
763
11
ln)
)42(log)
)5.()()
3
1
)()
2)()
)()
2)
2
2
xx
yg
xyf
xxexfe
exfd
xfc
exfb
eya
x
x
xx
x
xx
 
ttym
x
x
gxfl
xexfj
xsenxyi
xyh
xx
yg
x
3arccos.)
3seccos
1
cot)()
3cos.)()
2.cos2)
1log)
11
ln)
2
2
3
2


















 
 
6) 
 
7) 
 
8) Nos exercícios 17-24, calcule a derivada indicada